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Alexa
26.11.2025
Mathe
Klausur Integralrechnung
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26. Nov. 2025
•
Alexa
@bella04_
Die Integralrechnung ist ein zentrales Thema in der Analysis der... Mehr anzeigen
Du fragst dich, was Differential- und Integralrechnung miteinander zu tun haben? Sie sind wie zwei Seiten einer Medaille! Die Ableitung und das Integrieren sind umgekehrte Operationen - wenn du eine Funktion ableitest und dann integrierst, kommst du wieder zur ursprünglichen Funktion zurück.
Ein Integral kannst du dir als Flächeninhalt unter einer Kurve vorstellen. Geometrisch gesehen misst es, wie viel Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse liegt.
Bei Stammfunktionen geht es darum, eine Funktion zu finden, deren Ableitung die gegebene Funktion ergibt. Das ist wie Rückwärtsrechnen! Für Funktionen wie verwendest du die Regel: Die Stammfunktion von ist .
Merktipp: Kontrolliere deine Stammfunktion immer durch Ableiten - du solltest die ursprüngliche Funktion erhalten!
Bestimmte Integrale haben konkrete Zahlenwerte und werden mit Grenzen geschrieben: . Hier rechnest du: Stammfunktion an der oberen Grenze minus Stammfunktion an der unteren Grenze.
Der Fahrtenschreiber-Fall mit Rudolph zeigt dir, wie nützlich Integrale sind! Die Fläche unter dem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm gibt dir die zurückgelegte Strecke. Officer Mouse kann so berechnen, wie weit Rudolph gefahren ist.
Bei der Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse musst du aufpassen: Liegt der Graph unterhalb der x-Achse, wird das Integral negativ. Für den echten Flächeninhalt brauchst du den Betrag!
Praxistipp: Bei Funktionen wie im Intervall können sich positive und negative Bereiche aufheben - deshalb kann das Integral 0 sein, obwohl es eine Fläche gibt!
Mit dem GTR und Formelsammlungen kannst du komplexere Aufgaben lösen. Für Stammfunktionen von , oder findest du die Regeln in deiner Formelsammlung.
Die Glühwein-Aufgabe zeigt dir Integrale im Alltag: Die Funktion beschreibt die Änderungsrate des Füllstands. Das Integral dieser Funktion gibt dir die tatsächliche Füllstandsänderung.
Um den maximalen Füllstand zu finden, suchst du die Nullstelle von - dort wechselt die Funktion von Zu- zu Abfluss. Vorher steigt der Füllstand, nachher sinkt er.
Erfolgsgarantie: Zeichne dir bei Sachaufgaben immer eine Skizze - so verstehst du schneller, was mathematisch passiert!
Bei Flächen zwischen zwei Graphen wie und brauchst du zuerst die Schnittpunkte. Diese findest du, indem du setzt.
Die Gesamtfläche berechnest du durch Integration von . Achte darauf, welcher Graph oben liegt! In verschiedenen Intervallen kann das wechseln.
Bei der Dreiecksteilung musst du zeigen, dass die Kurve die Dreiecksfläche im Verhältnis 2:1 teilt. Berechne dazu die Fläche oberhalb und unterhalb der Kurve separat.
Der arithmetische Mittelwert einer Funktion über ein Intervall ist: . Das ist wie der Durchschnitt, aber für kontinuierliche Funktionen!
Erfolgsstrategie: Teile komplexe Flächenaufgaben in kleinere Abschnitte auf - zwischen je zwei Schnittpunkten ist die Rechnung viel einfacher!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Alexa
@bella04_
Die Integralrechnung ist ein zentrales Thema in der Analysis der Oberstufe. Sie hilft dir dabei, Flächeninhalte zu berechnen, Geschwindigkeitsverläufe zu analysieren und komplexe mathematische Probleme zu lösen.
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Bei Stammfunktionen geht es darum, eine Funktion zu finden, deren Ableitung die gegebene Funktion ergibt. Das ist wie Rückwärtsrechnen! Für Funktionen wie verwendest du die Regel: Die Stammfunktion von ist .
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Bestimmte Integrale haben konkrete Zahlenwerte und werden mit Grenzen geschrieben: . Hier rechnest du: Stammfunktion an der oberen Grenze minus Stammfunktion an der unteren Grenze.
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Der arithmetische Mittelwert einer Funktion über ein Intervall ist: . Das ist wie der Durchschnitt, aber für kontinuierliche Funktionen!
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Entdecken Sie die Grundlagen der Integralrechnung, einschließlich unbestimmter und bestimmter Integrale, Flächeninhalte zwischen Graphen und die Anwendung des Hauptsatzes der Analysis. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und Erklärungen zu den wichtigsten Konzepten der Integralrechnung, ideal für Schüler im Mathematik Leistungskurs.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Integralrechnung und Flächenanalyse in diesem umfassenden Lernmaterial. Themen umfassen Stammfunktionen, Flächenbilanz, Integralschreibweise, das Gauß-Verfahren, Mittelwertbestimmung und die Berechnung von Flächeninhalten zwischen zwei Graphen. Ideal für Studierende der Mathematik, die ihre Kenntnisse in der Differential- und Integralrechnung vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten, der Stammfunktion und der Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Diese Zusammenfassung behandelt auch die Berechnung von Volumen durch Rotationskörper und den Mittelwert von Funktionen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Stammfunktionen, unbestimmten und bestimmten Integralen. Erfahren Sie, wie man Flächeninhalte unter Kurven mit der Streifenmethode bestimmt und die Konzepte von Obersumme und Untersumme anwendet. Ideal für Mathematikstudenten, die ihr Verständnis der Differential- und Integralrechnung vertiefen möchten.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Integralrechnung für das Mathe-LK-Abitur 2023. Sie umfasst die grundlegenden Rechengesetze, den orientierten Flächeninhalt, die Berechnung von Rotationskörpern, endliche und uneigentliche Integrale sowie die Integralfunktion. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Integralrechnung mit Fokus auf Flächeninhalte unter und zwischen Funktionsgraphen. Diese Zusammenfassung behandelt die Nullstellenbestimmung, die Berechnung von Stammfunktionen und die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Anna
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Jana V
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