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4. Dez. 2025

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Mathematik-Abitur: Umfassende Zusammenfassung

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Lukas Kasper @lukas_kasper

Mathe-Abi steht vor der Tür und du fragst dich, was du alles für Analysis können musst? Hier bekommst... Mehr anzeigen

# Schriftliches Abitur Mathematik Inhaltsbezogene Kompetenzen Analysis | Thema | Definition

Trigonometrische und Exponentialfunktionen

Trigonometrische Funktionen wie der Sinus sind eigentlich ziemlich vorhersagbar, wenn du die Parameter verstehst. Für f(x)=a⋅sin⁡(b(x−c))+df(x) = a \cdot \sin(b(x - c)) + d musst du dir nur vier Dinge merken

Die Amplitude ist |a| (wie "hoch" die Welle schwingt), die Periode beträgt 2πb\frac{2π}{b} (wie oft sich die Welle wiederholt), und die Verschiebungen sind c (horizontal) und d (vertikal). Die Streckung in x-Richtung ist 1b\frac{1}{b}.

Bei natürlichen Exponentialfunktionen ist die Euler'sche Zahl e = 2,71828... der Star. Das Besondere an f(x)=exf(x) = e^x Die Funktion ist identisch mit ihrer eigenen Ableitung! Parameter verändern die Funktion durch Verschiebungen $f(x) + p$ oder $f(x + p)$ oder Streckungen $p \cdot f(x)$ oder $f(p \cdot x)$.

Merkhilfe Bei exe^x ist die Ableitung wieder exe^x - das macht Rechnungen super einfach!

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Zusammengesetzte Funktionen und Funktionscharen

Funktionsverkettung klingt komplizierter als sie ist. Bei (u∘v)(x)=u(v(x))(u \circ v)(x) = u(v(x)) setzt du einfach v(x)v(x) überall dort ein, wo in uu ein xx steht. Aus u(x)=(1−x)2u(x) = (1-x)^2 und v(x)=2x+1v(x) = 2x + 1 wird u(v(x))=4x2u(v(x)) = 4x^2.

Funktionscharen enthalten neben xx noch andere Variablen (Parameter), die du verändern kannst. Das ist wie ein Schieberegler, der die Funktion verändert.

Ortskurven entstehen, wenn du alle besonderen Punkte (wie Tiefpunkte) einer Funktionsschar verbindest. Beispiel Für ft(x)=ex⋅(ex−t)f_t(x) = e^x \cdot (e^x - t) liegen alle Tiefpunkte auf der Kurve y=−e2xy = -e^{2x}.

Tipp Bei Ortskurven eliminierst du den Parameter t, indem du ihn aus beiden Koordinaten herausrechnest!

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Ableitungen verstehen und berechnen

Die Ableitung f′(a)f'(a) zeigt die momentane Änderungsrate an der Stelle a. Sie entsteht als Grenzwert des Differenzenquotienten f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Der Unterschied zwischen mittlerer und momentaner Änderungsrate ist wichtig Die mittlere Änderungsrate ist der Differenzenquotient über ein Intervall, die momentane ist die Ableitung an einem Punkt.

Höhere Ableitungen entstehen durch wiederholtes Ableiten Aus f(x)=2x4f(x) = 2x^4 wird f′(x)=8x3f'(x) = 8x^3, dann f′′(x)=24x2f''(x) = 24x^2 und so weiter. Die zweite Ableitung gibt Aufschluss über die Krümmung des Graphen.

Wichtig Die Ableitung ist die Steigung der Tangente an diesem Punkt!

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Die wichtigsten Ableitungsregeln

Diese Ableitungsregeln musst du im Schlaf können! Die Summenregel besagt (k(x)+h(x))′=k′(x)+h′(x)(k(x) + h(x))' = k'(x) + h'(x). Die Potenzregel macht aus xrx^r einfach r⋅xr−1r \cdot x^{r-1}.

Die Kettenregel ist für verkettete Funktionen (u(v(x)))′=u′(v(x))⋅v′(x)(u(v(x)))' = u'(v(x)) \cdot v'(x) - "äußere mal innere Ableitung". Die Produktregel lautet (u(x)⋅v(x))′=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)(u(x) \cdot v(x))' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x).

Ein komplexes Beispiel Für f(x)=c⋅(ekx+emx)hf(x) = c \cdot (e^{kx} + e^{mx})^h wendest du Faktor-, Ketten- und Summenregel kombiniert an f′(x)=c⋅h⋅(ekx+emx)h−1⋅(k⋅ekx+m⋅emx)f'(x) = c \cdot h \cdot (e^{kx} + e^{mx})^{h-1} \cdot (k \cdot e^{kx} + m \cdot e^{mx}).

Übungstipp Fang mit einfachen Beispielen an und steigere dich langsam - so werden die Regeln zur Routine!

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Stammfunktionen - das Gegenteil vom Ableiten

Eine Stammfunktion F ist das Gegenteil der Ableitung Wenn F′(x)=f(x)F'(x) = f(x), dann ist F eine Stammfunktion von f. Das brauchst du später für Integrale.

Die Regeln funktionieren ähnlich wie beim Ableiten Summenregel (g(x)+h(x))→G(x)+H(x)(g(x) + h(x)) \to G(x) + H(x), Potenzregel xr→1r+1⋅xr+1x^r \to \frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1} und Faktorregel c⋅g(x)→c⋅G(x)c \cdot g(x) \to c \cdot G(x).

Lineare Substitution hilft bei f(x)=g(ax+b)f(x) = g(ax + b) Die Stammfunktion ist F(x)=1a⋅G(ax+b)F(x) = \frac{1}{a} \cdot G(ax + b). Sonderfall Die Stammfunktion von 1x\frac{1}{x} ist ln⁡∣x∣\ln|x|.

Merkhilfe Bei der Potenzregel für Stammfunktionen erhöhst du den Exponenten um 1 und teilst durch die neue Zahl!

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Tangenten, Sekanten und Normalen

Die Tangente berührt den Graphen an genau einem Punkt und hat die Steigung f′(a)f'(a) an der Stelle a. Ihre Gleichung lautet y=f′(a)(x−a)+f(a)y = f'(a)(x - a) + f(a).

Eine Sekante schneidet den Graphen an zwei Punkten. Ihre Steigung ist der Differenzenquotient m=f(x+h)−f(x)hm = \frac{f(x+h) - f(x)}{h}. Wenn h gegen 0 geht, wird aus der Sekante eine Tangente.

Die Normale steht senkrecht zur Tangente. Ihre Steigung ist mn=−1f′(a)m_n = -\frac{1}{f'(a)} (negativer Kehrwert der Tangentensteigung).

Visualisierung hilft Stell dir vor, wie sich eine Sekante immer mehr der Tangente annähert, je näher die beiden Schnittpunkte zusammenrücken!

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Nullstellen und Symmetrien bestimmen

Nullstellen findest du, indem du f(x)=0f(x) = 0 setzt. Bei Produkten nutzt du den Satz vom Nullprodukt Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist. Bei Quotienten muss nur der Zähler null werden (Nenner ≠ 0!).

Die p-q-Formel x1,2=−p2±(p2)2−qx_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q} löst quadratische Gleichungen. Substitution hilft bei komplexeren Formen f(x)=e2x+ex−2f(x) = e^{2x} + e^x - 2 wird mit u=exu = e^x zu u2+u−2u^2 + u - 2.

Symmetrien erkennst du so Achsensymmetrie zur y-Achse bedeutet f(x)=f(−x)f(x) = f(-x), Punktsymmetrie zum Ursprung bedeutet −f(x)=f(−x)-f(x) = f(-x).

Kontrolle Prüf deine Nullstellen immer durch Einsetzen in die ursprüngliche Funktion!

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Grenzverhalten und Asymptoten

Bei ganzrationalen Funktionen entscheidet der höchste Grad das Grenzverhalten. Für x→±∞x \to \pm\infty schaust du nur auf den Term mit der höchsten Potenz.

Bei gebrochenrationalen Funktionen f(x)=p(x)q(x)f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} kommt es auf das Verhältnis der Zähler- und Nennergrade an Ist der Zählergrad kleiner, geht f gegen 0 waagrechte Asymptote $y = 0$. Sind beide Grade gleich, geht f gegen ab\frac{a}{b} (Verhältnis der Leitkoeffizienten).

Senkrechte Asymptoten entstehen bei Polstellen Wenn der Nenner null wird, aber der Zähler nicht, hast du eine senkrechte Asymptote bei x=x0x = x_0.

Faustregel Bei Asymptoten fragst du dich immer Was passiert, wenn x sehr groß wird oder wenn der Nenner null wird?

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Monotonie - wann steigt oder fällt eine Funktion?

Monotonie beschreibt, ob eine Funktion steigt oder fällt. Streng monoton wachsend bedeutet Für x1<x2x_1 < x_2 ist auch f(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2) - die Funktion wird immer größer.

Streng monoton fallend ist das Gegenteil Für x1<x2x_1 < x_2 ist f(x1)>f(x2)f(x_1) > f(x_2) - die Funktion wird immer kleiner.

Die Ableitung macht's einfach Ist f′(x)>0f'(x) > 0, steigt die Funktion streng monoton. Ist f′(x)<0f'(x) < 0, fällt sie streng monoton. Bei f′(x)=0f'(x) = 0 hast du einen waagrechten Bereich oder Extrempunkt.

Praktischer Tipp Bestimme die Nullstellen von f'(x) - sie teilen den Definitionsbereich in Monotonie-Intervalle auf!

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Stefan S

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Hans T

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Trigonometrische und Exponentialfunktionen

Trigonometrische Funktionen wie der Sinus sind eigentlich ziemlich vorhersagbar, wenn du die Parameter verstehst. Für f(x)=a⋅sin⁡(b(x−c))+df(x) = a \cdot \sin(b(x - c)) + d musst du dir nur vier Dinge merken:

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Ortskurven entstehen, wenn du alle besonderen Punkte (wie Tiefpunkte) einer Funktionsschar verbindest. Beispiel: Für ft(x)=ex⋅(ex−t)f_t(x) = e^x \cdot (e^x - t) liegen alle Tiefpunkte auf der Kurve y=−e2xy = -e^{2x}.

Tipp: Bei Ortskurven eliminierst du den Parameter t, indem du ihn aus beiden Koordinaten herausrechnest!

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Ableitungen verstehen und berechnen

Die Ableitung f′(a)f'(a) zeigt die momentane Änderungsrate an der Stelle a. Sie entsteht als Grenzwert des Differenzenquotienten: f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Der Unterschied zwischen mittlerer und momentaner Änderungsrate ist wichtig: Die mittlere Änderungsrate ist der Differenzenquotient über ein Intervall, die momentane ist die Ableitung an einem Punkt.

Höhere Ableitungen entstehen durch wiederholtes Ableiten: Aus f(x)=2x4f(x) = 2x^4 wird f′(x)=8x3f'(x) = 8x^3, dann f′′(x)=24x2f''(x) = 24x^2 und so weiter. Die zweite Ableitung gibt Aufschluss über die Krümmung des Graphen.

Wichtig: Die Ableitung ist die Steigung der Tangente an diesem Punkt!

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Die wichtigsten Ableitungsregeln

Diese Ableitungsregeln musst du im Schlaf können! Die Summenregel besagt: (k(x)+h(x))′=k′(x)+h′(x)(k(x) + h(x))' = k'(x) + h'(x). Die Potenzregel macht aus xrx^r einfach r⋅xr−1r \cdot x^{r-1}.

Die Kettenregel ist für verkettete Funktionen: (u(v(x)))′=u′(v(x))⋅v′(x)(u(v(x)))' = u'(v(x)) \cdot v'(x) - "äußere mal innere Ableitung". Die Produktregel lautet: (u(x)⋅v(x))′=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)(u(x) \cdot v(x))' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x).

Ein komplexes Beispiel: Für f(x)=c⋅(ekx+emx)hf(x) = c \cdot (e^{kx} + e^{mx})^h wendest du Faktor-, Ketten- und Summenregel kombiniert an: f′(x)=c⋅h⋅(ekx+emx)h−1⋅(k⋅ekx+m⋅emx)f'(x) = c \cdot h \cdot (e^{kx} + e^{mx})^{h-1} \cdot (k \cdot e^{kx} + m \cdot e^{mx}).

Übungstipp: Fang mit einfachen Beispielen an und steigere dich langsam - so werden die Regeln zur Routine!

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Stammfunktionen - das Gegenteil vom Ableiten

Eine Stammfunktion F ist das Gegenteil der Ableitung: Wenn F′(x)=f(x)F'(x) = f(x), dann ist F eine Stammfunktion von f. Das brauchst du später für Integrale.

Die Regeln funktionieren ähnlich wie beim Ableiten: Summenregel (g(x)+h(x))→G(x)+H(x)(g(x) + h(x)) \to G(x) + H(x), Potenzregel xr→1r+1⋅xr+1x^r \to \frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1} und Faktorregel c⋅g(x)→c⋅G(x)c \cdot g(x) \to c \cdot G(x).

Lineare Substitution hilft bei f(x)=g(ax+b)f(x) = g(ax + b): Die Stammfunktion ist F(x)=1a⋅G(ax+b)F(x) = \frac{1}{a} \cdot G(ax + b). Sonderfall: Die Stammfunktion von 1x\frac{1}{x} ist ln⁡∣x∣\ln|x|.

Merkhilfe: Bei der Potenzregel für Stammfunktionen erhöhst du den Exponenten um 1 und teilst durch die neue Zahl!

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Tangenten, Sekanten und Normalen

Die Tangente berührt den Graphen an genau einem Punkt und hat die Steigung f′(a)f'(a) an der Stelle a. Ihre Gleichung lautet: y=f′(a)(x−a)+f(a)y = f'(a)(x - a) + f(a).

Eine Sekante schneidet den Graphen an zwei Punkten. Ihre Steigung ist der Differenzenquotient: m=f(x+h)−f(x)hm = \frac{f(x+h) - f(x)}{h}. Wenn h gegen 0 geht, wird aus der Sekante eine Tangente.

Die Normale steht senkrecht zur Tangente. Ihre Steigung ist mn=−1f′(a)m_n = -\frac{1}{f'(a)} (negativer Kehrwert der Tangentensteigung).

Visualisierung hilft: Stell dir vor, wie sich eine Sekante immer mehr der Tangente annähert, je näher die beiden Schnittpunkte zusammenrücken!

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Nullstellen und Symmetrien bestimmen

Nullstellen findest du, indem du f(x)=0f(x) = 0 setzt. Bei Produkten nutzt du den Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist. Bei Quotienten muss nur der Zähler null werden (Nenner ≠ 0!).

Die p-q-Formel x1,2=−p2±(p2)2−qx_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q} löst quadratische Gleichungen. Substitution hilft bei komplexeren Formen: f(x)=e2x+ex−2f(x) = e^{2x} + e^x - 2 wird mit u=exu = e^x zu u2+u−2u^2 + u - 2.

Symmetrien erkennst du so: Achsensymmetrie zur y-Achse bedeutet f(x)=f(−x)f(x) = f(-x), Punktsymmetrie zum Ursprung bedeutet −f(x)=f(−x)-f(x) = f(-x).

Kontrolle: Prüf deine Nullstellen immer durch Einsetzen in die ursprüngliche Funktion!

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Grenzverhalten und Asymptoten

Bei ganzrationalen Funktionen entscheidet der höchste Grad das Grenzverhalten. Für x→±∞x \to \pm\infty schaust du nur auf den Term mit der höchsten Potenz.

Bei gebrochenrationalen Funktionen f(x)=p(x)q(x)f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} kommt es auf das Verhältnis der Zähler- und Nennergrade an: Ist der Zählergrad kleiner, geht f gegen 0 waagrechte Asymptote $y = 0$. Sind beide Grade gleich, geht f gegen ab\frac{a}{b} (Verhältnis der Leitkoeffizienten).

Senkrechte Asymptoten entstehen bei Polstellen: Wenn der Nenner null wird, aber der Zähler nicht, hast du eine senkrechte Asymptote bei x=x0x = x_0.

Faustregel: Bei Asymptoten fragst du dich immer: Was passiert, wenn x sehr groß wird oder wenn der Nenner null wird?

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Monotonie - wann steigt oder fällt eine Funktion?

Monotonie beschreibt, ob eine Funktion steigt oder fällt. Streng monoton wachsend bedeutet: Für x1<x2x_1 < x_2 ist auch f(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2) - die Funktion wird immer größer.

Streng monoton fallend ist das Gegenteil: Für x1<x2x_1 < x_2 ist f(x1)>f(x2)f(x_1) > f(x_2) - die Funktion wird immer kleiner.

Die Ableitung macht's einfach: Ist f′(x)>0f'(x) > 0, steigt die Funktion streng monoton. Ist f′(x)<0f'(x) < 0, fällt sie streng monoton. Bei f′(x)=0f'(x) = 0 hast du einen waagrechten Bereich oder Extrempunkt.

Praktischer Tipp: Bestimme die Nullstellen von f'(x) - sie teilen den Definitionsbereich in Monotonie-Intervalle auf!

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Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Anna

iOS user

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Jana V

iOS user

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Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Julia S

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Marcus B

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Sarah L

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Hans T

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