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9. Feb. 2026
•
Frauke Janse Janssen
@frauke808
Kurvenanpassung ist ein super wichtiges Thema in Mathe, das dir... Mehr anzeigen
Du hast drei verschiedene Methoden zur Auswahl, um lineare Gleichungssysteme zu knacken. Beim Gleichsetzungsverfahren stellst du beide Gleichungen nach derselben Variable um und setzt sie gleich - super einfach, wenn beide schon nach y aufgelöst sind.
Das Einsetzungsverfahren funktioniert perfekt, wenn eine Gleichung schon nach einer Variable aufgelöst ist. Du setzt diese einfach in die andere Gleichung ein und rechnest weiter. Beim Additionsverfahren addierst oder subtrahierst du die Gleichungen so geschickt, dass eine Variable wegfällt.
Symmetrien machen dir das Leben leichter! Wenn dein Graph zur y-Achse symmetrisch ist, brauchst du nur gerade Potenzen . Bei Punktsymmetrie zum Ursprung verwendest du nur ungerade Potenzen.
Tipp: Schau dir immer zuerst an, welche Methode am einfachsten aussieht - das spart dir Zeit und Fehler!
Trassierung bedeutet, dass du zwei Funktionsgraphen so miteinander verbindest, dass keine störenden Übergänge entstehen. Stell dir vor, du fährst mit dem Auto über diese Strecke - dann verstehst du sofort, warum glatte Übergänge wichtig sind.
Für einen sprungfreien Anschluss müssen die Funktionswerte an der Übergangsstelle gleich sein: g(xi) = f(xi). Das verhindert plötzliche Höhensprünge im Graphen.
Ein knickfreier Anschluss braucht zusätzlich gleiche erste Ableitungen: g'(xi) = f'(xi). Dadurch hast du keine scharfen Knicke mehr. Für krümmungsruckfreie Verbindungen müssen auch die zweiten Ableitungen übereinstimmen: g''(xi) = f''(xi).
Merkhilfe: Denk an eine Achterbahn - je mehr Bedingungen erfüllt sind, desto angenehmer wird die Fahrt!
Bei abschnittsweise definierten Funktionen untersuchst du das Verhalten an den Übergangsstellen besonders genau. Eine Funktion besteht aus mehreren Teilstücken, die über verschiedene Bereiche definiert sind.
Stetigkeit liegt vor, wenn der Graph an der Übergangsstelle keinen Sprung macht. Mathematisch bedeutet das: Der Grenzwert von links und rechts muss mit dem Funktionswert übereinstimmen. Du kannst den Graphen dann "in einem Zug" zeichnen.
Differenzierbarkeit ist strenger - hier darf der Graph keinen Knick haben. Die Steigungen von beiden Seiten müssen an der Übergangsstelle gleich sein. Ganzrationale Funktionen sind übrigens überall stetig und differenzierbar.
Wichtig: Jede differenzierbare Funktion ist automatisch stetig, aber nicht umgekehrt!
Eine Funktionenschar entsteht, wenn dein Funktionsterm neben der normalen Variable x noch einen Parameter (wie a) enthält. Jeder Wert des Parameters gibt dir eine neue Funktion - so entstehen ganze Familien von Graphen.
Ortslinien zeigen dir, wo bestimmte markante Punkte aller Graphen einer Schar liegen. Das Vorgehen ist immer gleich: Koordinaten in Abhängigkeit vom Parameter bestimmen, nach dem Parameter auflösen und einsetzen.
Im Beispiel fa(x) = x² liegen alle Wendepunkte auf der Ortslinie g(x) = 4x³. So kannst du das Verhalten der ganzen Funktionenschar auf einen Blick erfassen.
Tipp: Ortslinien helfen dir dabei, Muster in Funktionenscharen zu erkennen und Aufgaben schneller zu lösen!
Ein lineares Gleichungssystem kann drei verschiedene Ausgänge haben - und du erkennst schon beim Lösen, welcher Fall vorliegt. Genau eine Lösung bekommst du, wenn alles glatt aufgeht und du konkrete Werte erhältst.
Keine Lösung liegt vor, wenn du beim Rechnen auf eine falsche Aussage wie "0 = 2" stößt. Das System ist dann unlösbar - die Lösungsmenge ist leer. Bei unendlich vielen Lösungen erhältst du wahre Aussagen wie "0 = 0" und freie Parameter in der Lösung.
Die Anzahl der freien Parameter zeigt dir, wie viele Lösungen es gibt. Ein freier Parameter bedeutet eine ganze Gerade voller Lösungen, zwei Parameter ergeben eine Ebene.
Merkhilfe: Falsche Aussage = keine Lösung, wahre Aussage = unendlich viele Lösungen!
Das Bestimmen ganzrationaler Funktionen läuft immer nach dem gleichen Schema ab. Zuerst modellierst du die Sachsituation und legst ein Koordinatensystem fest. Dann formulierst du alle gegebenen Bedingungen mathematisch.
Der Grad deiner Funktion richtet sich nach der Anzahl der Bedingungen - für n Bedingungen brauchst du meist eine Funktion vom Grad n-1. Vergiss nicht die Symmetrien: Bei Punktsymmetrie zum Ursprung fallen alle geraden Potenzen weg.
Aus den Bedingungen erstellst du ein lineares Gleichungssystem und löst es mit einer der bekannten Methoden. Eine Probe mit dem Graphikrechner gibt dir Sicherheit, ob alles stimmt.
Praxis-Tipp: Nutze Symmetrien geschickt aus - sie reduzieren die Anzahl der Unbekannten erheblich!
Abschnittsweise definierte Funktionen bestehen aus mehreren Teilfunktionen über verschiedene Intervalle. An den Übergangsstellen prüfst du immer Stetigkeit und Differenzierbarkeit - das sind die entscheidenden Eigenschaften.
Für Stetigkeit muss der Graph "sprungfrei" durchzeichenbar sein. Die Grenzwerte von links und rechts müssen mit dem Funktionswert übereinstimmen. Differenzierbarkeit bedeutet zusätzlich "knickfrei" - die Steigungen von beiden Seiten müssen gleich sein.
Funktionenscharen entstehen durch Parameter im Funktionsterm. Jeder Parameterwert erzeugt eine neue Funktion der Schar. Mit Ortslinien kannst du das Wanderungsverhalten markanter Punkte visualisieren.
Für die Klausur: Arbeite systematisch - erst Stetigkeit prüfen, dann Differenzierbarkeit, und vergiss die Probe nicht!
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
Du kannst die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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Elisha
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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
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Frauke Janse Janssen
@frauke808
Kurvenanpassung ist ein super wichtiges Thema in Mathe, das dir zeigt, wie du Funktionen bestimmen und verschiedene Graphen geschickt verbinden kannst. Du lernst dabei verschiedene Verfahren zum Lösen von Gleichungssystemen kennen und verstehst, wie Funktionen an Übergangsstellen verhalten.
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Du hast drei verschiedene Methoden zur Auswahl, um lineare Gleichungssysteme zu knacken. Beim Gleichsetzungsverfahren stellst du beide Gleichungen nach derselben Variable um und setzt sie gleich - super einfach, wenn beide schon nach y aufgelöst sind.
Das Einsetzungsverfahren funktioniert perfekt, wenn eine Gleichung schon nach einer Variable aufgelöst ist. Du setzt diese einfach in die andere Gleichung ein und rechnest weiter. Beim Additionsverfahren addierst oder subtrahierst du die Gleichungen so geschickt, dass eine Variable wegfällt.
Symmetrien machen dir das Leben leichter! Wenn dein Graph zur y-Achse symmetrisch ist, brauchst du nur gerade Potenzen . Bei Punktsymmetrie zum Ursprung verwendest du nur ungerade Potenzen.
Tipp: Schau dir immer zuerst an, welche Methode am einfachsten aussieht - das spart dir Zeit und Fehler!
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Trassierung bedeutet, dass du zwei Funktionsgraphen so miteinander verbindest, dass keine störenden Übergänge entstehen. Stell dir vor, du fährst mit dem Auto über diese Strecke - dann verstehst du sofort, warum glatte Übergänge wichtig sind.
Für einen sprungfreien Anschluss müssen die Funktionswerte an der Übergangsstelle gleich sein: g(xi) = f(xi). Das verhindert plötzliche Höhensprünge im Graphen.
Ein knickfreier Anschluss braucht zusätzlich gleiche erste Ableitungen: g'(xi) = f'(xi). Dadurch hast du keine scharfen Knicke mehr. Für krümmungsruckfreie Verbindungen müssen auch die zweiten Ableitungen übereinstimmen: g''(xi) = f''(xi).
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Stetigkeit liegt vor, wenn der Graph an der Übergangsstelle keinen Sprung macht. Mathematisch bedeutet das: Der Grenzwert von links und rechts muss mit dem Funktionswert übereinstimmen. Du kannst den Graphen dann "in einem Zug" zeichnen.
Differenzierbarkeit ist strenger - hier darf der Graph keinen Knick haben. Die Steigungen von beiden Seiten müssen an der Übergangsstelle gleich sein. Ganzrationale Funktionen sind übrigens überall stetig und differenzierbar.
Wichtig: Jede differenzierbare Funktion ist automatisch stetig, aber nicht umgekehrt!
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Eine Funktionenschar entsteht, wenn dein Funktionsterm neben der normalen Variable x noch einen Parameter (wie a) enthält. Jeder Wert des Parameters gibt dir eine neue Funktion - so entstehen ganze Familien von Graphen.
Ortslinien zeigen dir, wo bestimmte markante Punkte aller Graphen einer Schar liegen. Das Vorgehen ist immer gleich: Koordinaten in Abhängigkeit vom Parameter bestimmen, nach dem Parameter auflösen und einsetzen.
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Ein lineares Gleichungssystem kann drei verschiedene Ausgänge haben - und du erkennst schon beim Lösen, welcher Fall vorliegt. Genau eine Lösung bekommst du, wenn alles glatt aufgeht und du konkrete Werte erhältst.
Keine Lösung liegt vor, wenn du beim Rechnen auf eine falsche Aussage wie "0 = 2" stößt. Das System ist dann unlösbar - die Lösungsmenge ist leer. Bei unendlich vielen Lösungen erhältst du wahre Aussagen wie "0 = 0" und freie Parameter in der Lösung.
Die Anzahl der freien Parameter zeigt dir, wie viele Lösungen es gibt. Ein freier Parameter bedeutet eine ganze Gerade voller Lösungen, zwei Parameter ergeben eine Ebene.
Merkhilfe: Falsche Aussage = keine Lösung, wahre Aussage = unendlich viele Lösungen!
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Das Bestimmen ganzrationaler Funktionen läuft immer nach dem gleichen Schema ab. Zuerst modellierst du die Sachsituation und legst ein Koordinatensystem fest. Dann formulierst du alle gegebenen Bedingungen mathematisch.
Der Grad deiner Funktion richtet sich nach der Anzahl der Bedingungen - für n Bedingungen brauchst du meist eine Funktion vom Grad n-1. Vergiss nicht die Symmetrien: Bei Punktsymmetrie zum Ursprung fallen alle geraden Potenzen weg.
Aus den Bedingungen erstellst du ein lineares Gleichungssystem und löst es mit einer der bekannten Methoden. Eine Probe mit dem Graphikrechner gibt dir Sicherheit, ob alles stimmt.
Praxis-Tipp: Nutze Symmetrien geschickt aus - sie reduzieren die Anzahl der Unbekannten erheblich!
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Abschnittsweise definierte Funktionen bestehen aus mehreren Teilfunktionen über verschiedene Intervalle. An den Übergangsstellen prüfst du immer Stetigkeit und Differenzierbarkeit - das sind die entscheidenden Eigenschaften.
Für Stetigkeit muss der Graph "sprungfrei" durchzeichenbar sein. Die Grenzwerte von links und rechts müssen mit dem Funktionswert übereinstimmen. Differenzierbarkeit bedeutet zusätzlich "knickfrei" - die Steigungen von beiden Seiten müssen gleich sein.
Funktionenscharen entstehen durch Parameter im Funktionsterm. Jeder Parameterwert erzeugt eine neue Funktion der Schar. Mit Ortslinien kannst du das Wanderungsverhalten markanter Punkte visualisieren.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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Elisha
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Paul T
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Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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