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Elly
4.12.2025
Mathe
Kurvendiskussion — Analysis
1.009
•
4. Dez. 2025
•
Elly
@ellygator
Die Kurvendiskussion ist eines der wichtigsten Themen in Mathe, das... Mehr anzeigen
Kurvendiskussion bedeutet, dass du eine Funktion systematisch untersuchst und alle ihre wichtigen Eigenschaften herausfindest. Das ist wie ein Steckbrief für Funktionen!
Du schaust dir dabei verschiedene Punkte an: Nullstellen, Schnittpunkt mit der Y-Achse, Extrempunkte , Wendepunkte und das Grenzverhalten. Zusätzlich bestimmst du noch Monotonie, Krümmung und Symmetrie.
💡 Merktipp: Eine vollständige Kurvendiskussion gibt dir alle Infos, um den Graphen einer Funktion perfekt zu zeichnen!
Nullstellen findest du, indem du die Funktion gleich null setzt: f(x) = 0. Das sind die Stellen, wo der Graph die x-Achse schneidet.
Bei linearen Funktionen f(x) = mx + t löst du einfach mx + t = 0 nach x auf und erhältst x = -t/m (falls m ≠ 0).
Bei ganzrationalen Funktionen wie f(x) = x⁴ + 2x³ + x² klammerst du die kleinste x-Potenz aus: x² = 0. Dann nutzt du die Produkt-Null-Regel: Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist.
💡 Praxistipp: Für quadratische Terme kannst du oft binomische Formeln oder die p-q-Formel verwenden!
Extremstellen sind Hoch- und Tiefpunkte deines Graphen. Du findest sie mit der ersten und zweiten Ableitung.
Notwendige Bedingung: f'(x) = 0. Das gibt dir die x-Werte der möglichen Extremstellen.
Hinreichende Bedingung: f''(x) ≠ 0. Wenn f''(x) > 0, hast du einen Tiefpunkt. Wenn f''(x) < 0, ist es ein Hochpunkt. Den y-Wert berechnest du, indem du den x-Wert in die ursprüngliche Funktion einsetzt.
💡 Eselsbrücke: Positive zweite Ableitung = Tiefpunkt (wie ein Lächeln 😊), negative = Hochpunkt (wie ein Frown 🙁)!
Wendepunkte sind die Stellen, wo der Graph sein Krümmungsverhalten ändert - von einer Linkskurve zu einer Rechtskurve oder umgekehrt.
Notwendige Bedingung: f''(x) = 0. Hinreichende Bedingung: f'''(x) ≠ 0.
Wenn f'''(x) > 0 hast du einen Rechts-Links-Wendepunkt, bei f'''(x) < 0 einen Links-Rechts-Wendepunkt. Den y-Wert berechnest du wieder durch Einsetzen in f(x).
Wendepunkte sind übrigens die Stellen der stärksten Zu- oder Abnahme einer Funktion - das wird gerne in Klausuren gefragt!
💡 Klausur-Tipp: Wenn nach "stärkster Zunahme" gefragt wird, suchst du den Wendepunkt!
Den Schnittpunkt mit der Y-Achse findest du super einfach: Setze x = 0 in deine Funktion ein. Das ergibt f(0) = y-Wert des Schnittpunkts.
Beim Grenzverhalten schaust du, was passiert, wenn x gegen +∞ oder -∞ geht. Dabei sind nur die höchste Potenz und ihr Koeffizient wichtig.
Faustregel: Bei gerader höchster Potenz und positivem Koeffizienten geht f(x) → +∞ für x → ±∞. Bei ungerader Potenz kommt es auf das Vorzeichen an: positive Koeffizienten bedeuten f(x) → +∞ für x → +∞ und f(x) → -∞ für x → -∞.
💡 Visualisierungs-Tipp: Stelle dir vor, du setzt sehr große positive und negative Zahlen ein!
Schauen wir uns konkrete Beispiele an: Bei 2x² (gerade Potenz, positiver Koeffizient) strebt f(x) → +∞ sowohl für x → +∞ als auch x → -∞.
Bei 3x³ (ungerade Potenz, positiver Koeffizient) hast du f(x) → +∞ für x → +∞ und f(x) → -∞ für x → -∞.
-3x² (gerade Potenz, negativer Koeffizient) führt zu f(x) → -∞ für x → ±∞. Bei -3x³ (ungerade Potenz, negativer Koeffizient) ist es umgekehrt: f(x) → -∞ für x → +∞ und f(x) → +∞ für x → -∞.
💡 Merkregel: Gerade Potenzen verhalten sich symmetisch, ungerade Potenzen asymmetrisch!
Monotonie bestimmst du mit der ersten Ableitung: f'(x) ≥ 0 bedeutet monoton steigend, f'(x) ≤ 0 bedeutet monoton fallend. Bei > oder < ist die Funktion sogar streng monoton.
Die Krümmung erkennst du an der zweiten Ableitung: f''(x) > 0 bedeutet linksgekrümmt (wie ein U), f''(x) < 0 bedeutet rechtsgekrümmt (wie ein umgedrehtes U).
Intervallschreibweise ist eine praktische Abkürzung: bedeutet a ≤ x ≤ b (geschlossen), (a,b) bedeutet a < x < b (offen). Eckige Klammern schließen die Grenzen ein, runde nicht.
💡 Praxistipp: Die Intervallschreibweise sparst du viel Zeit beim Aufschreiben von Definitions- und Wertebereichen!
Symmetrie erkennst du schnell an den Exponenten deiner Funktion. Das ist ein echter Zeitsparer!
Kommen nur gerade Exponenten vor , dann ist die Funktion achsensymmetrisch zur Y-Achse. Der Graph sieht links und rechts der Y-Achse gleich aus.
Kommen nur ungerade Exponenten vor , dann ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. Wenn du den Graph um 180° um den Ursprung drehst, sieht er gleich aus.
💡 Übungs-Tipp: Probier die Übungsaufgabe f(x) = x³ - 3x² + 4 aus - so festigst du alle Schritte der Kurvendiskussion!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Elly
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Die Kurvendiskussion ist eines der wichtigsten Themen in Mathe, das dir hilft, Funktionen komplett zu verstehen und ihre Graphen zu zeichnen. Du untersuchst dabei systematisch alle wichtigen Eigenschaften einer Funktion - von Nullstellen bis zu Wendepunkten.
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Kurvendiskussion bedeutet, dass du eine Funktion systematisch untersuchst und alle ihre wichtigen Eigenschaften herausfindest. Das ist wie ein Steckbrief für Funktionen!
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Bei ganzrationalen Funktionen wie f(x) = x⁴ + 2x³ + x² klammerst du die kleinste x-Potenz aus: x² = 0. Dann nutzt du die Produkt-Null-Regel: Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist.
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Wendepunkte sind die Stellen, wo der Graph sein Krümmungsverhalten ändert - von einer Linkskurve zu einer Rechtskurve oder umgekehrt.
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Wendepunkte sind übrigens die Stellen der stärksten Zu- oder Abnahme einer Funktion - das wird gerne in Klausuren gefragt!
💡 Klausur-Tipp: Wenn nach "stärkster Zunahme" gefragt wird, suchst du den Wendepunkt!
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Den Schnittpunkt mit der Y-Achse findest du super einfach: Setze x = 0 in deine Funktion ein. Das ergibt f(0) = y-Wert des Schnittpunkts.
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Faustregel: Bei gerader höchster Potenz und positivem Koeffizienten geht f(x) → +∞ für x → ±∞. Bei ungerader Potenz kommt es auf das Vorzeichen an: positive Koeffizienten bedeuten f(x) → +∞ für x → +∞ und f(x) → -∞ für x → -∞.
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-3x² (gerade Potenz, negativer Koeffizient) führt zu f(x) → -∞ für x → ±∞. Bei -3x³ (ungerade Potenz, negativer Koeffizient) ist es umgekehrt: f(x) → -∞ für x → +∞ und f(x) → +∞ für x → -∞.
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Monotonie bestimmst du mit der ersten Ableitung: f'(x) ≥ 0 bedeutet monoton steigend, f'(x) ≤ 0 bedeutet monoton fallend. Bei > oder < ist die Funktion sogar streng monoton.
Die Krümmung erkennst du an der zweiten Ableitung: f''(x) > 0 bedeutet linksgekrümmt (wie ein U), f''(x) < 0 bedeutet rechtsgekrümmt (wie ein umgedrehtes U).
Intervallschreibweise ist eine praktische Abkürzung: bedeutet a ≤ x ≤ b (geschlossen), (a,b) bedeutet a < x < b (offen). Eckige Klammern schließen die Grenzen ein, runde nicht.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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