Fächer
Mathe
Deutsch
Englisch
Biologie
Geschichte
Friedensschlüsse und ordnungen des friedens in der moderne
Herausbildung moderner strukturen in gesellschaft und staat
Deutschland zwischen demokratie und diktatur
Imperialismus und erster weltkrieg
Das 20. jahrhundert
Bipolare welt und deutschland nach 1953
Das geteilte deutschland und die wiedervereinigung
Europa und globalisierung
Europa und die welt
Frühe neuzeit
Die zeit des nationalsozialismus
Der mensch und seine geschichte
Die moderne industriegesellschaft zwischen fortschritt und krise
Akteure internationaler politik in politischer perspektive
Großreiche
Alle Themen
35
0
Maja
7.12.2025
Mathe
Lernzettel Analysis Abitur
1.311
•
7. Dez. 2025
•
Maja
@sip_and_study
Hier sind die wichtigsten Konzepte der Analysis für eure Klausuren!... Mehr anzeigen
Eine Kurvendiskussion ist wie ein Steckbrief für Funktionen - ihr analysiert systematisch alle wichtigen Eigenschaften. Das ist ein echter Klassiker in Klausuren, also solltet ihr den Ablauf draufhaben!
Der Standard-Ablauf läuft immer gleich: Schnittpunkte mit den Achsen bestimmen , Extrempunkte finden (erste Ableitung null setzen), Monotonieverhalten untersuchen und das Grenzwertverhalten analysieren.
Bei den Wendepunkten braucht ihr die zweite Ableitung - null setzen und mit der dritten Ableitung oder Vorzeichenwechsel prüfen. Für die Symmetrie gilt: f(x) = f bedeutet Achsensymmetrie, f = -f(x) bedeutet Punktsymmetrie.
Das Krümmungsverhalten verrät euch, ob der Graph eine Links- oder Rechtskurve macht: f''(x) > 0 = Linkskurve, f''(x) < 0 = Rechtskurve.
Merktipp: Bei Extrempunkten ist f''(x) < 0 ein Hochpunkt, f''(x) > 0 ein Tiefpunkt - einfach merken als "negativ = nach unten geöffnet"!
Ableitungen sind das Herzstück der Analysis - sie zeigen euch die momentane Steigung an jedem Punkt. Während die Sekantensteigung nur die durchschnittliche Änderung zwischen zwei Punkten misst, gibt die Tangentensteigung die exakte Steigung an einem bestimmten Punkt an.
Die wichtigsten Ableitungsregeln sind schnell gelernt: Potenzregel , Summenregel (jeder Term einzeln ableiten) und Faktorregel (Konstanten bleiben vor der Ableitung stehen).
Funktionenscharen enthalten einen Parameter (meist a) - zu jedem Parameterwert gehört eine andere Funktion. Hier analysiert ihr erst das allgemeine Verhalten und bestimmt dann Ortskurven der Extrempunkte.
Bei "knickfrei" müssen zwei Funktionen den gleichen Funktionswert und die gleiche erste Ableitung haben. "Ruckfrei" bedeutet zusätzlich noch gleiche zweite Ableitung.
Praxis-Tipp: Tangentengleichungen braucht ihr ständig - erst ableiten für die Steigung, dann mit Punkt-Steigungsform die Gleichung aufstellen!
Lineare Funktionen sind die Basis von allem. Die Steigung m bestimmt, ob der Graph steigt (positiv) oder fällt (negativ), b ist der y-Achsenabschnitt. Bei Gleichungssystemen gibt's drei Möglichkeiten: keine Lösung (parallele Geraden), eine Lösung (Schnittpunkt) oder unendlich viele (identische Geraden).
Quadratische Funktionen haben drei wichtige Formen: Normalform , Scheitelpunktform a² + e und die faktorisierte Form. Der Parameter a bestimmt Öffnungsrichtung und Streckung - bei a > 1 wird gestreckt, bei 0 < a < 1 gestaucht.
Sinusfunktionen und Potenzfunktionen haben ihre eigenen Besonderheiten. Bei Sinus merkt euch die wichtigen Winkel (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) und die entsprechenden Werte. Potenzfunktionen verhalten sich je nach Exponent unterschiedlich - gerade Exponenten sind achsensymmetrisch, ungerade punktsymmetrisch.
Die pq-Formel und quadratische Ergänzung sind eure Tools für Nullstellen. Bei der Diskriminante entscheidet das Vorzeichen: positiv = zwei Lösungen, null = eine Lösung, negativ = keine reelle Lösung.
Klausur-Hack: Macht bei quadratischen Funktionen immer eine Probe - setzt eure Nullstellen zurück in die ursprüngliche Gleichung ein!
Der Funktionsbegriff ist fundamental: Jedem x-Wert wird genau ein y-Wert zugeordnet. Die Definitionsmenge enthält alle erlaubten x-Werte, die Wertemenge alle möglichen y-Werte. Bei Brüchen dürft ihr nie durch null teilen, bei Wurzeln muss der Radikand positiv sein.
Transformationen verschieben und verzerren Graphen systematisch. Bei a·f + d steuert jeder Parameter etwas anderes: a verändert y-Richtung , b die x-Richtung, c verschiebt horizontal, d vertikal.
Wichtig bei Streckungen: In y-Richtung multipliziert ihr mit k, in x-Richtung setzt ihr x/k ein. Das führt oft zu Verwirrung, aber merkt euch: x-Richtung ist "umgekehrt"!
Die Normalensteigung ist der negative Kehrwert der Tangentensteigung. Wenn die Tangente Steigung 2 hat, hat die Normale Steigung -1/2. Der Steigungswinkel ergibt sich über tan α = m.
Versteh-Trick: Bei Transformationen ändert sich immer das Argument der Funktion oder die ganze Funktion - das hilft beim Unterscheiden von x- und y-Transformationen!
Die Integralrechnung ist das Gegenstück zum Ableiten - ihr berechnet Flächen unter Kurven. Das bestimmte Integral ∫ f(x) dx gibt euch die Flächenbilanz zwischen Graph und x-Achse im Intervall .
Wichtig: Flächeninhalt und Integralwert sind nicht immer gleich! Liegt die Kurve unter der x-Achse, wird das Integral negativ. Für den echten Flächeninhalt müsst ihr Betragsstriche setzen oder die Bereiche einzeln berechnen.
Die Aufleitungsregeln sind umgekehrte Ableitungsregeln: x^n wird zu x^/, Konstanten bleiben erhalten, Summen werden getrennt integriert. Bei trigonometrischen Funktionen: sin(x) wird zu -cos(x), cos(x) zu sin(x).
Rechenregeln erleichtern das Leben: Integrale mit gleichen Grenzen sind null, Grenzentausch ändert das Vorzeichen, und ihr könnt Integrale über aneinandergrenzende Intervalle addieren (Intervalladditivität).
Anwendungs-Tipp: Denkt an Sachzusammenhänge - Geschwindigkeit integriert ergibt Weg, Beschleunigung integriert Geschwindigkeit!
Uneigentliche Integrale behandeln unbegrenzte Flächen, wo sich der Graph einer Asymptote nähert. Ihr berechnet das Integral mit einer variablen Grenze und bildet dann den Grenzwert - manchmal konvergiert die Fläche gegen einen endlichen Wert, manchmal divergiert sie.
Bei Flächen zwischen zwei Graphen bildet ihr die Differenzfunktion d(x) = f(x) - g(x). Zuerst Schnittpunkte bestimmen, dann d(x) über die entsprechenden Intervalle integrieren. Das Vorzeichen zeigt an, welcher Graph oben liegt.
Rotationskörper entstehen, wenn ihr eine Fläche um die x-Achse dreht. Das Volumen berechnet ihr mit V = π ∫ (f(x))² dx. Stellt euch vor, der Körper wird in dünne Scheiben zerlegt - jede Scheibe ist ein kleiner Zylinder.
Der Mittelwert einer Funktion ergibt sich aus · ∫ f(x) dx. Das ist besonders nützlich bei Anwendungsaufgaben, wo ihr durchschnittliche Raten berechnen müsst.
Visualisierungs-Hilfe: Bei Rotationskörpern denkt an bekannte Formen - eine Parabel um die x-Achse gedreht ergibt einen Paraboloid!
Steckbriefaufgaben sind wie Kriminalfälle - aus gegebenen Eigenschaften müsst ihr die Funktionsgleichung rekonstruieren. Startet mit einem allgemeinen Ansatz und übersetzt die Bedingungen in Gleichungen.
Typische Bedingungen: "geht durch Punkt" bedeutet f(x₀) = y₀, "Extrempunkt" bedeutet f'(x₀) = 0, "Wendepunkt" bedeutet f''(x₀) = 0. "Berührt die x-Achse" ist eine doppelte Nullstelle, also f(x₀) = 0 und f'(x₀) = 0.
Extremwertaufgaben folgen einem festen Schema: Extremalbedingung aufstellen , Nebenbedingung finden (welche Beschränkung gibt's?), Zielfunktion bilden durch Einsetzen.
Der Definitionsbereich ist entscheidend - prüft immer die Randwerte! Manchmal liegt das absolute Extremum am Rand, nicht im Inneren. Vergesst den Antwortsatz nicht - schreibt eure Lösung in einem vollständigen Satz mit Einheit.
Erfolgs-Strategie: Macht bei Steckbriefaufgaben eine Probe - setzt eure gefundene Funktion in alle ursprünglichen Bedingungen ein!
Verschiedene Lösungsverfahren für verschiedene Probleme - ihr müsst das passende Tool auswählen! Die Produkt-Null-Regel funktioniert, wenn ihr Faktoren habt: Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist.
Substitution vereinfacht komplizierte Gleichungen - ersetzt komplexe Terme durch einfache Variablen (z.B. x² durch z). Die pq-Formel ist euer Standardwerkzeug für quadratische Gleichungen, die quadratische Ergänzung führt zur Scheitelpunktform.
Bei linearen Gleichungssystemen habt ihr drei Methoden: Additionsverfahren (Gleichungen so kombinieren, dass eine Variable wegfällt), Einsetzungsverfahren (eine Variable isolieren und einsetzen), Gleichsetzungsverfahren (beide nach derselben Variable auflösen).
Potenzgesetze sind fundamental: xⁿ · xᵐ = xⁿ⁺ᵐ, xⁿ : xᵐ = xⁿ⁻ᵐ, (xⁿ)ᵐ = xⁿ·ᵐ. Die Linearfaktorzerlegung zerlegt Polynome in ihre Faktoren - die Nullstellen werden zu Linearfaktoren mit getauschtem Vorzeichen.
Effizienz-Tipp: Wählt das Lösungsverfahren nach der Struktur der Gleichung - bei "schönen" Zahlen oft Additionsverfahren, bei einer isolierbaren Variable das Einsetzungsverfahren!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Maja
@sip_and_study
Hier sind die wichtigsten Konzepte der Analysis für eure Klausuren! Von der Kurvendiskussion über Ableitungen bis hin zur Integralrechnung - alles was ihr für die Oberstufe braucht, kompakt erklärt.
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Eine Kurvendiskussion ist wie ein Steckbrief für Funktionen - ihr analysiert systematisch alle wichtigen Eigenschaften. Das ist ein echter Klassiker in Klausuren, also solltet ihr den Ablauf draufhaben!
Der Standard-Ablauf läuft immer gleich: Schnittpunkte mit den Achsen bestimmen , Extrempunkte finden (erste Ableitung null setzen), Monotonieverhalten untersuchen und das Grenzwertverhalten analysieren.
Bei den Wendepunkten braucht ihr die zweite Ableitung - null setzen und mit der dritten Ableitung oder Vorzeichenwechsel prüfen. Für die Symmetrie gilt: f(x) = f bedeutet Achsensymmetrie, f = -f(x) bedeutet Punktsymmetrie.
Das Krümmungsverhalten verrät euch, ob der Graph eine Links- oder Rechtskurve macht: f''(x) > 0 = Linkskurve, f''(x) < 0 = Rechtskurve.
Merktipp: Bei Extrempunkten ist f''(x) < 0 ein Hochpunkt, f''(x) > 0 ein Tiefpunkt - einfach merken als "negativ = nach unten geöffnet"!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Ableitungen sind das Herzstück der Analysis - sie zeigen euch die momentane Steigung an jedem Punkt. Während die Sekantensteigung nur die durchschnittliche Änderung zwischen zwei Punkten misst, gibt die Tangentensteigung die exakte Steigung an einem bestimmten Punkt an.
Die wichtigsten Ableitungsregeln sind schnell gelernt: Potenzregel , Summenregel (jeder Term einzeln ableiten) und Faktorregel (Konstanten bleiben vor der Ableitung stehen).
Funktionenscharen enthalten einen Parameter (meist a) - zu jedem Parameterwert gehört eine andere Funktion. Hier analysiert ihr erst das allgemeine Verhalten und bestimmt dann Ortskurven der Extrempunkte.
Bei "knickfrei" müssen zwei Funktionen den gleichen Funktionswert und die gleiche erste Ableitung haben. "Ruckfrei" bedeutet zusätzlich noch gleiche zweite Ableitung.
Praxis-Tipp: Tangentengleichungen braucht ihr ständig - erst ableiten für die Steigung, dann mit Punkt-Steigungsform die Gleichung aufstellen!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Lineare Funktionen sind die Basis von allem. Die Steigung m bestimmt, ob der Graph steigt (positiv) oder fällt (negativ), b ist der y-Achsenabschnitt. Bei Gleichungssystemen gibt's drei Möglichkeiten: keine Lösung (parallele Geraden), eine Lösung (Schnittpunkt) oder unendlich viele (identische Geraden).
Quadratische Funktionen haben drei wichtige Formen: Normalform , Scheitelpunktform a² + e und die faktorisierte Form. Der Parameter a bestimmt Öffnungsrichtung und Streckung - bei a > 1 wird gestreckt, bei 0 < a < 1 gestaucht.
Sinusfunktionen und Potenzfunktionen haben ihre eigenen Besonderheiten. Bei Sinus merkt euch die wichtigen Winkel (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) und die entsprechenden Werte. Potenzfunktionen verhalten sich je nach Exponent unterschiedlich - gerade Exponenten sind achsensymmetrisch, ungerade punktsymmetrisch.
Die pq-Formel und quadratische Ergänzung sind eure Tools für Nullstellen. Bei der Diskriminante entscheidet das Vorzeichen: positiv = zwei Lösungen, null = eine Lösung, negativ = keine reelle Lösung.
Klausur-Hack: Macht bei quadratischen Funktionen immer eine Probe - setzt eure Nullstellen zurück in die ursprüngliche Gleichung ein!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Der Funktionsbegriff ist fundamental: Jedem x-Wert wird genau ein y-Wert zugeordnet. Die Definitionsmenge enthält alle erlaubten x-Werte, die Wertemenge alle möglichen y-Werte. Bei Brüchen dürft ihr nie durch null teilen, bei Wurzeln muss der Radikand positiv sein.
Transformationen verschieben und verzerren Graphen systematisch. Bei a·f + d steuert jeder Parameter etwas anderes: a verändert y-Richtung , b die x-Richtung, c verschiebt horizontal, d vertikal.
Wichtig bei Streckungen: In y-Richtung multipliziert ihr mit k, in x-Richtung setzt ihr x/k ein. Das führt oft zu Verwirrung, aber merkt euch: x-Richtung ist "umgekehrt"!
Die Normalensteigung ist der negative Kehrwert der Tangentensteigung. Wenn die Tangente Steigung 2 hat, hat die Normale Steigung -1/2. Der Steigungswinkel ergibt sich über tan α = m.
Versteh-Trick: Bei Transformationen ändert sich immer das Argument der Funktion oder die ganze Funktion - das hilft beim Unterscheiden von x- und y-Transformationen!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Die Integralrechnung ist das Gegenstück zum Ableiten - ihr berechnet Flächen unter Kurven. Das bestimmte Integral ∫ f(x) dx gibt euch die Flächenbilanz zwischen Graph und x-Achse im Intervall .
Wichtig: Flächeninhalt und Integralwert sind nicht immer gleich! Liegt die Kurve unter der x-Achse, wird das Integral negativ. Für den echten Flächeninhalt müsst ihr Betragsstriche setzen oder die Bereiche einzeln berechnen.
Die Aufleitungsregeln sind umgekehrte Ableitungsregeln: x^n wird zu x^/, Konstanten bleiben erhalten, Summen werden getrennt integriert. Bei trigonometrischen Funktionen: sin(x) wird zu -cos(x), cos(x) zu sin(x).
Rechenregeln erleichtern das Leben: Integrale mit gleichen Grenzen sind null, Grenzentausch ändert das Vorzeichen, und ihr könnt Integrale über aneinandergrenzende Intervalle addieren (Intervalladditivität).
Anwendungs-Tipp: Denkt an Sachzusammenhänge - Geschwindigkeit integriert ergibt Weg, Beschleunigung integriert Geschwindigkeit!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Uneigentliche Integrale behandeln unbegrenzte Flächen, wo sich der Graph einer Asymptote nähert. Ihr berechnet das Integral mit einer variablen Grenze und bildet dann den Grenzwert - manchmal konvergiert die Fläche gegen einen endlichen Wert, manchmal divergiert sie.
Bei Flächen zwischen zwei Graphen bildet ihr die Differenzfunktion d(x) = f(x) - g(x). Zuerst Schnittpunkte bestimmen, dann d(x) über die entsprechenden Intervalle integrieren. Das Vorzeichen zeigt an, welcher Graph oben liegt.
Rotationskörper entstehen, wenn ihr eine Fläche um die x-Achse dreht. Das Volumen berechnet ihr mit V = π ∫ (f(x))² dx. Stellt euch vor, der Körper wird in dünne Scheiben zerlegt - jede Scheibe ist ein kleiner Zylinder.
Der Mittelwert einer Funktion ergibt sich aus · ∫ f(x) dx. Das ist besonders nützlich bei Anwendungsaufgaben, wo ihr durchschnittliche Raten berechnen müsst.
Visualisierungs-Hilfe: Bei Rotationskörpern denkt an bekannte Formen - eine Parabel um die x-Achse gedreht ergibt einen Paraboloid!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Steckbriefaufgaben sind wie Kriminalfälle - aus gegebenen Eigenschaften müsst ihr die Funktionsgleichung rekonstruieren. Startet mit einem allgemeinen Ansatz und übersetzt die Bedingungen in Gleichungen.
Typische Bedingungen: "geht durch Punkt" bedeutet f(x₀) = y₀, "Extrempunkt" bedeutet f'(x₀) = 0, "Wendepunkt" bedeutet f''(x₀) = 0. "Berührt die x-Achse" ist eine doppelte Nullstelle, also f(x₀) = 0 und f'(x₀) = 0.
Extremwertaufgaben folgen einem festen Schema: Extremalbedingung aufstellen , Nebenbedingung finden (welche Beschränkung gibt's?), Zielfunktion bilden durch Einsetzen.
Der Definitionsbereich ist entscheidend - prüft immer die Randwerte! Manchmal liegt das absolute Extremum am Rand, nicht im Inneren. Vergesst den Antwortsatz nicht - schreibt eure Lösung in einem vollständigen Satz mit Einheit.
Erfolgs-Strategie: Macht bei Steckbriefaufgaben eine Probe - setzt eure gefundene Funktion in alle ursprünglichen Bedingungen ein!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Verschiedene Lösungsverfahren für verschiedene Probleme - ihr müsst das passende Tool auswählen! Die Produkt-Null-Regel funktioniert, wenn ihr Faktoren habt: Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist.
Substitution vereinfacht komplizierte Gleichungen - ersetzt komplexe Terme durch einfache Variablen (z.B. x² durch z). Die pq-Formel ist euer Standardwerkzeug für quadratische Gleichungen, die quadratische Ergänzung führt zur Scheitelpunktform.
Bei linearen Gleichungssystemen habt ihr drei Methoden: Additionsverfahren (Gleichungen so kombinieren, dass eine Variable wegfällt), Einsetzungsverfahren (eine Variable isolieren und einsetzen), Gleichsetzungsverfahren (beide nach derselben Variable auflösen).
Potenzgesetze sind fundamental: xⁿ · xᵐ = xⁿ⁺ᵐ, xⁿ : xᵐ = xⁿ⁻ᵐ, (xⁿ)ᵐ = xⁿ·ᵐ. Die Linearfaktorzerlegung zerlegt Polynome in ihre Faktoren - die Nullstellen werden zu Linearfaktoren mit getauschtem Vorzeichen.
Effizienz-Tipp: Wählt das Lösungsverfahren nach der Struktur der Gleichung - bei "schönen" Zahlen oft Additionsverfahren, bei einer isolierbaren Variable das Einsetzungsverfahren!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
35
Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Erfahren Sie, wie man Wahrscheinlichkeitsbaumdiagramme zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten verwendet. Dieses Beispiel zeigt die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten beim Ziehen von Kugeln aus einer Urne mit roten und schwarzen Kugeln. Ideal für Mathematikstudenten, die die Konzepte der bedingten Wahrscheinlichkeiten und Pfadregeln verstehen möchten.
MatheErlernen Sie die Schritte zur Rekonstruktion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades. Diese Zusammenfassung behandelt die Aufstellung der allgemeinen Funktionsgleichung, Ableitungen, das Lösen von Gleichungssystemen und die Überprüfung graphischer Eigenschaften. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis von Funktionen vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die verschiedenen Diagrammarten wie Kreis-, Säulen- und Balkendiagramme in dieser Präsentation. Erfahren Sie, wie sie Daten visuell darstellen, Trends aufzeigen und Größenverhältnisse vergleichen. Ideal für Studierende, die die Grundlagen der deskriptiven Statistik und graphischen Datenanalyse verstehen möchten.
DeutschEntdecken Sie die Grundlagen der Erwartungswertberechnung mit praktischen Übungsaufgaben. Diese Zusammenstellung behandelt stochastische Probleme, Wahrscheinlichkeiten und deren Anwendung in Glücksspielen. Ideal für Schüler der 10. Klasse, die ihre Kenntnisse in Statistik und Wahrscheinlichkeit vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsberechnung mit Baumdiagrammen und multistufigen Zufallsexperimenten. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie abhängige Ereignisse, kumulative Wahrscheinlichkeiten und die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in verschiedenen Szenarien. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse in der Stochastik vertiefen möchten.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Berechnung von Irrtumswahrscheinlichkeiten, Hypothesentests (1. und 2. Art), die Binomialverteilung sowie grundlegende Konzepte der Stochastik. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten und ein vertieftes Verständnis für Wahrscheinlichkeiten und statistische Tests entwickeln möchten.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
