Lineare Funktionen sind überall um uns herum - ob beim...
Mathe1.129 aufrufe·Aktualisiert 7. Aug. 2026·3 SeitenLineare Funktionen einfach erklärt
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Grundlagen linearer Funktionen
Stell dir vor, Peter hat 50€ und bekommt jede Woche 10€ Taschengeld dazu. Mit einer linearen Funktion kannst du genau berechnen, wie viel Geld er nach jeder beliebigen Woche hat. Das funktioniert mit der Funktionsgleichung y = 10x + 50, wobei x die Wochen und y das Gesamtgeld darstellt.
Die allgemeine Form einer linearen Funktion ist f = mx + b. Hier ist m die Steigung (wie stark sich der Wert pro Schritt ändert) und b der Anfangswert oder Achsenabschnitt (der Startwert bei x = 0).
Um eine Funktionsgleichung aus zwei gegebenen Punkten zu bestimmen, nutzt du die Zwei-Punkte-Formel: m = /. Bei Heikes Autofahrt mit 32,5 Liter nach 5 Stunden und 10,5 Liter nach 9 Stunden ergibt das: m = / = -5,5 Liter pro Stunde.
Merke dir: Die Steigung kann positiv (Anstieg) oder negativ (Abfall) sein - wie bei Heikes Benzinverbrauch!
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Funktionsgleichung bestimmen und anwenden
Nachdem du die Steigung m = -5,5 berechnet hast, brauchst du noch den Anfangswert b. Setze einfach einen bekannten Punkt in die Gleichung ein: 32,5 = -5,5 × 5 + b. Nach dem Umformen erhältst du b = 60 - Heike startete also mit 60 Liter im Tank.
Mit der vollständigen Funktionsgleichung f = -5,5x + 60 kannst du jetzt alle möglichen Fragen beantworten. Wann hat sie noch 15 Liter? Setze 15 = -5,5x + 60 und löse nach x auf - das ergibt 8,18 Stunden.
Die Nullstelle ist besonders wichtig: Sie zeigt, wann der Graph die x-Achse schneidet. Bei Heikes Tank bedeutet das: Wann ist er leer? Setze f = 0 und du erhältst x = 10,91 Stunden.
Praxis-Tipp: Du kannst auch prüfen, ob bestimmte Punkte auf dem Graphen liegen, indem du die x-Koordinate in die Funktion einsetzt!
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Graphen zeichnen und Schnittpunkte finden
Um Schnittpunkte zweier Funktionen zu berechnen, setzt du beide Gleichungen gleich. Wenn Heikes Funktion fₕ = -5,5x + 60 und Claras Funktion fᶜ = -4x + 50 ist, dann löst du -5,5x + 60 = -4x + 50. Das Ergebnis: Nach 6,67 Stunden haben beide 23,32 Liter im Tank.
Zum Graphen zeichnen brauchst du nur zwei Punkte. Bei Antons Bergwanderung f = 200x + 600 nimmst du den Startpunkt (0|600) und einen weiteren wie (5|1600). Verbinde diese Punkte mit einer geraden Linie - fertig!
Funktionsgleichungen am Graphen ablesen funktioniert umgekehrt: Wähle zwei Punkte, bilde ein Steigungsdreieck und lies die Differenzen ab. Bei der Aktie steigt der Wert um 200€ in 4 Jahren, also m = 200/4 = 50. Der Achsenabschnitt ist der y-Wert bei x = 0.
Visualisierungs-Trick: Das Steigungsdreieck zeigt dir sofort, wie stark und in welche Richtung sich dein Graph entwickelt!
Wir dachten schon, du fragst nie...
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Grundlagen linearer Funktionen
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Um eine Funktionsgleichung aus zwei gegebenen Punkten zu bestimmen, nutzt du die Zwei-Punkte-Formel: m = /. Bei Heikes Autofahrt mit 32,5 Liter nach 5 Stunden und 10,5 Liter nach 9 Stunden ergibt das: m = / = -5,5 Liter pro Stunde.
Merke dir: Die Steigung kann positiv (Anstieg) oder negativ (Abfall) sein - wie bei Heikes Benzinverbrauch!
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