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Mathe
24. Nov. 2025
1.111
3 Seiten
Julia @julia_135
Lineare Funktionen sind überall um uns herum - ob beim Taschengeld, Benzinverbrauch oder Aktienkursen. Sie helfen dir dabei,... Mehr anzeigen
Stell dir vor, Peter hat 50€ und bekommt jede Woche 10€ Taschengeld dazu. Mit einer linearen Funktion kannst du genau berechnen, wie viel Geld er nach jeder beliebigen Woche hat. Das funktioniert mit der Funktionsgleichung y = 10x + 50, wobei x die Wochen und y das Gesamtgeld darstellt.
Die allgemeine Form einer linearen Funktion ist f(x) = mx + b. Hier ist m die Steigung (wie stark sich der Wert pro Schritt ändert) und b der Anfangswert oder Achsenabschnitt .
Um eine Funktionsgleichung aus zwei gegebenen Punkten zu bestimmen, nutzt du die Zwei-Punkte-Formel m = /. Bei Heikes Autofahrt mit 32,5 Liter nach 5 Stunden und 10,5 Liter nach 9 Stunden ergibt das m = (10,5 - 32,5)/(9 - 5) = -5,5 Liter pro Stunde.
Merke dir Die Steigung kann positiv (Anstieg) oder negativ (Abfall) sein - wie bei Heikes Benzinverbrauch!
Nachdem du die Steigung m = -5,5 berechnet hast, brauchst du noch den Anfangswert b. Setze einfach einen bekannten Punkt in die Gleichung ein 32,5 = -5,5 × 5 + b. Nach dem Umformen erhältst du b = 60 - Heike startete also mit 60 Liter im Tank.
Mit der vollständigen Funktionsgleichung f(x) = -5,5x + 60 kannst du jetzt alle möglichen Fragen beantworten. Wann hat sie noch 15 Liter? Setze 15 = -5,5x + 60 und löse nach x auf - das ergibt 8,18 Stunden.
Die Nullstelle ist besonders wichtig Sie zeigt, wann der Graph die x-Achse schneidet. Bei Heikes Tank bedeutet das Wann ist er leer? Setze f(x) = 0 und du erhältst x = 10,91 Stunden.
Praxis-Tipp Du kannst auch prüfen, ob bestimmte Punkte auf dem Graphen liegen, indem du die x-Koordinate in die Funktion einsetzt!
Um Schnittpunkte zweier Funktionen zu berechnen, setzt du beide Gleichungen gleich. Wenn Heikes Funktion fₕ(x) = -5,5x + 60 und Claras Funktion fᶜ(x) = -4x + 50 ist, dann löst du -5,5x + 60 = -4x + 50. Das Ergebnis Nach 6,67 Stunden haben beide 23,32 Liter im Tank.
Zum Graphen zeichnen brauchst du nur zwei Punkte. Bei Antons Bergwanderung f(x) = 200x + 600 nimmst du den Startpunkt (0|600) und einen weiteren wie (5|1600). Verbinde diese Punkte mit einer geraden Linie - fertig!
Funktionsgleichungen am Graphen ablesen funktioniert umgekehrt Wähle zwei Punkte, bilde ein Steigungsdreieck und lies die Differenzen ab. Bei der Aktie steigt der Wert um 200€ in 4 Jahren, also m = 200/4 = 50. Der Achsenabschnitt ist der y-Wert bei x = 0.
Visualisierungs-Trick Das Steigungsdreieck zeigt dir sofort, wie stark und in welche Richtung sich dein Graph entwickelt!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Erlerne die Schritte zur Bestimmung von Funktionsgleichungen für verschiedene Bedingungen. Diese Zusammenfassung behandelt die allgemeine Form von Funktionen, Ableitungen, das Aufstellen und Lösen linearer Gleichungssysteme sowie die Anwendung von Regression zur Lösung von Wertetabellen. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Fähigkeiten im Umgang mit Funktionen und deren Eigenschaften verbessern möchten.
MatheErfahren Sie, wie man Funktionen rekonstruiert, einschließlich der Bestimmung von Gleichungen und der Analyse von Extrempunkten. Diese Übersicht bietet Beispiele und Schritt-für-Schritt-Anleitungen zur Anwendung der allgemeinen Funktion und ihrer Ableitungen. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse in der Funktionalanalyse vertiefen möchten.
MatheDieser Lernzettel behandelt die Bestimmung ganzrationaler Funktionen 3. und 4. Grades. Er umfasst die allgemeine Funktionsgleichung, Ableitungen, Bedingungen für Hoch- und Tiefpunkte sowie die Lösung von linearen Gleichungssystemen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheErfahren Sie, wie Sie die Gleichung einer Funktion rekonstruieren können. Diese Zusammenfassung behandelt die Schritte zur Bestimmung einer Funktion, einschließlich der Aufstellung eines Gleichungssystems und der Anwendung auf ein Beispiel mit einer quadratischen Parabel. Ideal für Studierende, die sich mit der Rekonstruktion von Funktionen beschäftigen.
MatheErfahre alles über die Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen, Beispiele und wichtige Konzepte wie Sprungstellen, Knick- und Krümmungsfreiheit sowie die Berechnung von Funktionsgleichungen. Ideal für Studierende der Mathematik und für die Vorbereitung auf Prüfungen.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Funktionenscharen mit praktischen Beispielen. Diese Zusammenfassung behandelt die Verwendung von Parametern in Funktionen, das Verschieben von Graphen und die Analyse von Extrempunkten. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen über mathematische Funktionen vertiefen möchten.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Julia
@julia_135
Lineare Funktionen sind überall um uns herum - ob beim Taschengeld, Benzinverbrauch oder Aktienkursen. Sie helfen dir dabei, Zusammenhänge zwischen zwei Größen zu verstehen und vorherzusagen, wie sich Werte entwickeln.
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Stell dir vor, Peter hat 50€ und bekommt jede Woche 10€ Taschengeld dazu. Mit einer linearen Funktion kannst du genau berechnen, wie viel Geld er nach jeder beliebigen Woche hat. Das funktioniert mit der Funktionsgleichung y = 10x + 50, wobei x die Wochen und y das Gesamtgeld darstellt.
Die allgemeine Form einer linearen Funktion ist f(x) = mx + b. Hier ist m die Steigung (wie stark sich der Wert pro Schritt ändert) und b der Anfangswert oder Achsenabschnitt .
Um eine Funktionsgleichung aus zwei gegebenen Punkten zu bestimmen, nutzt du die Zwei-Punkte-Formel: m = /. Bei Heikes Autofahrt mit 32,5 Liter nach 5 Stunden und 10,5 Liter nach 9 Stunden ergibt das: m = (10,5 - 32,5)/(9 - 5) = -5,5 Liter pro Stunde.
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Nachdem du die Steigung m = -5,5 berechnet hast, brauchst du noch den Anfangswert b. Setze einfach einen bekannten Punkt in die Gleichung ein: 32,5 = -5,5 × 5 + b. Nach dem Umformen erhältst du b = 60 - Heike startete also mit 60 Liter im Tank.
Mit der vollständigen Funktionsgleichung f(x) = -5,5x + 60 kannst du jetzt alle möglichen Fragen beantworten. Wann hat sie noch 15 Liter? Setze 15 = -5,5x + 60 und löse nach x auf - das ergibt 8,18 Stunden.
Die Nullstelle ist besonders wichtig: Sie zeigt, wann der Graph die x-Achse schneidet. Bei Heikes Tank bedeutet das: Wann ist er leer? Setze f(x) = 0 und du erhältst x = 10,91 Stunden.
Praxis-Tipp: Du kannst auch prüfen, ob bestimmte Punkte auf dem Graphen liegen, indem du die x-Koordinate in die Funktion einsetzt!
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Um Schnittpunkte zweier Funktionen zu berechnen, setzt du beide Gleichungen gleich. Wenn Heikes Funktion fₕ(x) = -5,5x + 60 und Claras Funktion fᶜ(x) = -4x + 50 ist, dann löst du -5,5x + 60 = -4x + 50. Das Ergebnis: Nach 6,67 Stunden haben beide 23,32 Liter im Tank.
Zum Graphen zeichnen brauchst du nur zwei Punkte. Bei Antons Bergwanderung f(x) = 200x + 600 nimmst du den Startpunkt (0|600) und einen weiteren wie (5|1600). Verbinde diese Punkte mit einer geraden Linie - fertig!
Funktionsgleichungen am Graphen ablesen funktioniert umgekehrt: Wähle zwei Punkte, bilde ein Steigungsdreieck und lies die Differenzen ab. Bei der Aktie steigt der Wert um 200€ in 4 Jahren, also m = 200/4 = 50. Der Achsenabschnitt ist der y-Wert bei x = 0.
Visualisierungs-Trick: Das Steigungsdreieck zeigt dir sofort, wie stark und in welche Richtung sich dein Graph entwickelt!
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Erlerne die Schritte zur Bestimmung von Funktionsgleichungen für verschiedene Bedingungen. Diese Zusammenfassung behandelt die allgemeine Form von Funktionen, Ableitungen, das Aufstellen und Lösen linearer Gleichungssysteme sowie die Anwendung von Regression zur Lösung von Wertetabellen. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Fähigkeiten im Umgang mit Funktionen und deren Eigenschaften verbessern möchten.
MatheErfahren Sie, wie man Funktionen rekonstruiert, einschließlich der Bestimmung von Gleichungen und der Analyse von Extrempunkten. Diese Übersicht bietet Beispiele und Schritt-für-Schritt-Anleitungen zur Anwendung der allgemeinen Funktion und ihrer Ableitungen. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse in der Funktionalanalyse vertiefen möchten.
MatheDieser Lernzettel behandelt die Bestimmung ganzrationaler Funktionen 3. und 4. Grades. Er umfasst die allgemeine Funktionsgleichung, Ableitungen, Bedingungen für Hoch- und Tiefpunkte sowie die Lösung von linearen Gleichungssystemen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheErfahren Sie, wie Sie die Gleichung einer Funktion rekonstruieren können. Diese Zusammenfassung behandelt die Schritte zur Bestimmung einer Funktion, einschließlich der Aufstellung eines Gleichungssystems und der Anwendung auf ein Beispiel mit einer quadratischen Parabel. Ideal für Studierende, die sich mit der Rekonstruktion von Funktionen beschäftigen.
MatheErfahre alles über die Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen, Beispiele und wichtige Konzepte wie Sprungstellen, Knick- und Krümmungsfreiheit sowie die Berechnung von Funktionsgleichungen. Ideal für Studierende der Mathematik und für die Vorbereitung auf Prüfungen.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Funktionenscharen mit praktischen Beispielen. Diese Zusammenfassung behandelt die Verwendung von Parametern in Funktionen, das Verschieben von Graphen und die Analyse von Extrempunkten. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen über mathematische Funktionen vertiefen möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Stefan S
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Julia S
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