Lineare Funktionen erklärt: Steigung, Achsenabschnitt und Geraden

Lineare Funktionen verstehen

Die Funktionsgleichung f$x$ = mx + b ist dein wichtigstes Werkzeug für lineare Funktionen. Dabei steht m für die Steigung und b für den y-Achsenabschnitt.

Die Steigung berechnest du mit der Formel m = $y₂ - y₁$/$x₂ - x₁$ oder liest sie am Steigungsdreieck ab. Sie zeigt dir, wie steil deine Gerade verläuft.

Der y-Achsenabschnitt b ist der Punkt, wo deine Gerade die y-Achse schneidet. Wenn du einen Punkt und die Steigung kennst, setzt du einfach in die Formel ein und löst nach b auf.

Beispiel: Bei m = 4 und Punkt P$-1|3$ erhältst du: 3 = 4·$-1$ + b → b = 7 → f$x$ = 4x + 7

Tipp: Zeichne dir immer ein Steigungsdreieck - das macht die Steigung viel anschaulicher!

Bei senkrechten Geraden gilt: mₛ = -1/m₁. Die Steigungen sind negative Kehrwerte voneinander. Parallele Geraden haben dieselbe Steigung: m₁ = m₂.

Schnittwinkel zweier Geraden

Schnittwinkel entstehen nur, wenn zwei Geraden unterschiedliche Steigungen haben - sonst sind sie parallel! An jedem Schnittpunkt gibt es vier Winkel, wobei immer zwei gleich groß sind.

Du hast zwei Möglichkeiten zur Berechnung: Entweder nutzt du Nebenwinkel $α + β = 180°$ oder die Tangens-Formel.

Die Tangens-Formel lautet: tan(α) = |$m₁ - m₂$/$1 + m₁ · m₂$|. Die Betragsstriche sorgen dafür, dass du immer den kleineren, positiven Winkel erhältst.

Um den Winkel α zu berechnen, verwendest du: α = tan⁻¹$|(m₁ - m₂)/(1 + m₁ · m₂)|$. Das tan⁻¹ (auch arctan genannt) findest du auf deinem Taschenrechner.

Merke: Die Betragsstriche sind wichtig - du willst ja den kleineren Schnittwinkel berechnen!