Was sind lineare Gleichungen?
Lineare Gleichungen erkennst du daran, dass alle Variablen nur in der ersten Potenz stehen. Einfache Beispiele sind 4x - 7 = 3 oder x + 3 = 6 - hier kommt x nie als x² oder höher vor.
Diese Gleichungen können eine, zwei oder sogar mehrere Unbekannte haben. Bei einer Variable wie ax + b = 0 suchst du nach einer einzigen Zahl. Bei zwei Variablen wie ax + by = c brauchst du ein Zahlenpaar als Lösung.
Wichtig zu wissen: Gleichungen wie x² + 3x = -4 sind NICHT linear, weil x² vorkommt. Das x muss immer ohne Exponenten oder mit Exponent 1 stehen.
💡 Merktipp: Linear = erste Potenz! Sobald x², x³ oder Brüche mit x im Nenner auftauchen, ist es nicht mehr linear.
Gleichungen lösen - zwei Wege zum Ziel
Äquivalenzumformungen sind dein Hauptwerkzeug. Du darfst auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren. Bei 3x - 4 = 2 addierst du +4 und erhältst 3x = 6, dann teilst du durch 3 und bekommst x = 2.
Die Lösung einer linearen Gleichung mit einer Variable ist immer genau eine Zahl. Setzt du diese Zahl ein, erhältst du eine wahre Aussage wie 6 = 6.
Grafisches Lösen funktioniert auch super: Bringe die Gleichung in die Form ax + b = 0 und finde heraus, wo die Gerade die x-Achse schneidet woy=0ist.
Bei zwei Variablen wie 5x - 7y = 35 gibt es unendlich viele Lösungspaare. Alle diese Punkte liegen auf einer Geraden im Koordinatensystem - deshalb heißen sie auch "lineare" Gleichungen!