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Lösungen und Gleichungssysteme

Lineares Gleichungssystem

Mathe1.657Aktualisiert 20. Sept. 20262 Seiten

Lineares Gleichungssystem - Erklärung und Lösungsverfahren

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Leonie@leonie22
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Du kennst das bestimmt: Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten - und du sollst herausfinden, welche Zahlen beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Genau das sind lineare Gleichungssysteme , und sie begegnen dir überall im Mathe-Unterricht und später auch im echten Leben!
Lineares Gleichungssystem – Seite 1

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Grundlagen linearer Gleichungssystem

Stell dir vor, du hast zwei Gleichungen wie ax+by=cax + by = c - das sind lineare Gleichungen mit zwei Variablen. Wenn du zwei davon zusammenfügst, entsteht ein lineares Gleichungssystem (LGS). Die Lösung ist das Zahlenpaar (x∣y)(x|y), das beide Gleichungen erfüllt.

Die Normalform schreibst du so auf: I ax+by=c1ax + by = c_1 und II dx+ey=c2dx + ey = c_2. Dabei sind a,b,d,ea, b, d, e die Koeffizienten und c1,c2c_1, c_2 die Absolutglieder. Deine Lösungsmenge L={(x∣y)}L = \{(x|y)\} enthält alle Zahlenpaare, die funktionieren.

Zum graphischen Lösen stellst du beide Gleichungen nach yy um, zeichnest die Geraden ins Koordinatensystem und liest den Schnittpunkt ab. Vergiss nicht die Probe - setz deine Werte in beide ursprünglichen Gleichungen ein!

Tipp: Beim graphischen Lösen erhältst du oft nur näherungsweise Lösungen - für exakte Ergebnisse brauchst du rechnerische Verfahren.

Lineares Gleichungssystem – Seite 2

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Lösungsmöglichkeiten und Additionsverfahren

Hier wird's richtig interessant: Ein lineares Gleichungssystem kann drei verschiedene Ausgänge haben! Fall 1: Die Geraden schneiden sich in einem Punkt - du hast genau eine Lösung. Fall 2: Die Geraden sind parallel - keine Lösung möglich. Fall 3: Die Geraden sind identisch - unendlich viele Lösungen.

Das erkennst du an den Anstiegen: Bei m1≠m2m_1 ≠ m_2 schneiden sich die Geraden. Sind m1=m2m_1 = m_2, aber die Achsenabschnitte unterschiedlich, hast du parallele Geraden ohne Lösung.

Für exakte Lösungen verwendest du das Additionsverfahren - das Beste der drei rechnerischen Verfahren! Du addierst oder subtrahierst die Gleichungen seitenweise, um eine Variable zu eliminieren. Falls die Koeffizienten nicht passen, multiplizierst du vorher geschickt.

Merkhilfe: Beim Additionsverfahren sollen sich die Koeffizienten einer Variable "aufheben" - dann bleibt nur noch eine Variable übrig, die du leicht lösen kannst.

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