Logarithmen und Exponentialgleichungen verstehen

Stell dir vor, du legst 1€ an und der Betrag verdoppelt sich jedes Jahr. Nach nur 30 Jahren hättest du bereits eine Milliarde Euro! Bei solchen Wachstumsprozessen helfen uns Exponentialgleichungen und Logarithmen, die Zusammenhänge zu verstehen.

Der Logarithmus ist praktisch die "Umkehrfunktion" der Potenz. Die Formel lautet: $a^x = b \iff x = \log_a b$. Dabei ist $a$ die Basis und $\log_a b$ bedeutet "Logarithmus von $b$ zur Basis $a$". Wichtige Grundwerte sind $\log_a 1 = 0$ und $\log_a a = 1$.

Um Exponentialgleichungen zu lösen, kannst du oft die Logarithmus-Definition direkt anwenden. Bei der Gleichung $2^x = 4$ ist die Lösung $x = \log_2 4 = 2$. Bei komplexeren Gleichungen wie $12^x = \sqrt{12}$ musst du erst umformen, damit die Definitionsformel anwendbar ist.

💡 Merkregel: Der Logarithmus einer negativen Zahl ist nicht definiert! Wenn du versuchst, $x = \log_2 (-4)$ zu berechnen, gibt es keine Lösung, da $2^x$ für kein reelles $x$ negativ sein kann.

Für schwierigere Gleichungen wie $2^x = 3$ nutzt du das "Durchlogarithmieren" - nimm auf beiden Seiten den Logarithmus: $\log_2 2^x = \log_2 3$, daraus folgt $x \cdot \log_2 2 = \log_2 3$ und damit $x = \log_2 3 \approx 1,58$.

Rechenregeln für Logarithmen und weitere Exponentialgleichungen

Die Logarithmus-Rechenregeln ermöglichen es dir, komplizierte Ausdrücke zu vereinfachen:

• $\log_a (b \cdot c) = \log_a b + \log_a c$
• $\log_a (\frac{b}{c}) = \log_a b - \log_a c$
• $\log_a (b^c) = c \cdot \log_a b$

Besonders wichtig ist die Eulersche Zahl $e \approx 2,718$ – wenn du sie als Basis verwendest, schreibst du den Logarithmus als $\ln b$ statt $\log_e b$. Die Gleichung $e^x = 5$ wird dann ganz einfach zu $x = \ln 5 \approx 1,61$.

Bei komplexeren Gleichungen wie $e^{3x-2} - 5 \cdot e^{2x} = 0$ musst du erst umformen: $e^{2x} (e^{x-2} - 5) = 0$. Da $e^{2x}$ nie null sein kann, muss $e^{x-2} - 5 = 0$ gelten, woraus $x = \ln 5 + 2 \approx 3,61$ folgt.

💡 Lösungstrick: Bei Gleichungen wie $e^{2x} - 5e^x + 6 = 0$ hilft die Substitution. Setze $z = e^x$ und du erhältst eine quadratische Gleichung $z^2 - 5z + 6 = 0$, die du leicht lösen kannst.

Beachte bei Gleichungen mit $e^x$: Eine Lösung wie $e^x = -5$ kann es nicht geben, da die Exponentialfunktion stets positive Werte liefert. Versuche immer, die Eigenschaften der Exponentialfunktion im Blick zu behalten, wenn du Lösungen überprüfst.

Substitutionen bei Exponentialgleichungen

Bei Exponentialgleichungen mit mehreren Termen gleicher Art ist die Substitution besonders hilfreich. Betrachten wir die Gleichung $\frac{1}{2}e^{2x} + e^x = 10$, die auf den ersten Blick kompliziert erscheint.

Der erste Schritt ist, die Gleichung in Normalform zu bringen: $\frac{1}{2}e^{2x} + e^x - 10 = 0$. Nun kommt der Trick mit der Substitution: Wir setzen $z = e^x$ und erhalten $\frac{1}{2}z^2 + z - 10 = 0$, was eine quadratische Gleichung ist.

Nach der Lösungsformel bekommen wir $z_1 = 4$ und $z_2 = -5$. Nun müssen wir zurücksubstituieren: $e^x = 4$ ergibt $x_1 = \ln 4 \approx 1,39$. Die zweite "Lösung" $e^x = -5$ müssen wir verwerfen, da die Exponentialfunktion immer positive Werte liefert.

💡 Wichtig zu wissen: Der Wertebereich der Exponentialfunktion umfasst nur positive reelle Zahlen. Deshalb ist eine Lösung wie $e^x = -5$ unmöglich und muss aussortiert werden.

Diese Methode funktioniert gut bei Gleichungen, die sich auf die Form $az^2 + bz + c = 0$ bringen lassen, nachdem du $z = e^x$ (oder eine ähnliche Substitution) eingeführt hast.

Eigenschaften von Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen wie $f(x) = e^x$ und $g(x) = e^{-x}$ haben charakteristische Eigenschaften, die du gut kennen solltest. Die Funktion $e^x$ wächst für positive x-Werte immer schneller, während sie für negative x-Werte sich der x-Achse annähert.

Eine Asymptote ist eine Linie, der sich die Kurve immer weiter annähert, ohne sie je zu erreichen. Bei $f(x) = e^x$ ist die x-Achse $y = 0$ eine Asymptote für $x \to -\infty$. Bei $g(x) = e^{-x}$ hingegen ist die x-Achse eine Asymptote für $x \to +\infty$.

Der Vorfaktor $a$ in $f(x) = a \cdot e^x$ beeinflusst die Steigung:

• $a > 1$: Die Funktion verläuft steiler
• $0 < a < 1$: Die Funktion verläuft flacher
• $a < 0$: Die Funktion wird an der x-Achse gespiegelt

💡 Verschiebungsregel: Bei Exponentialfunktionen gilt eine besondere Regel: $e^{x+3} = e^3 \cdot e^x$. Ein konstanter Term im Exponenten wird zum Vorfaktor vor der gesamten Funktion.

Wichtige Merkmale von Exponentialfunktionen:

• Sie schneiden die y-Achse immer bei $f(0) = e^0 = 1$
• Sie haben keine Nullstellen da $e^x \neq 0$ für alle $x$
• Der Wertebereich umfasst nur positive Zahlen bei $e^x$ oder $e^{-x}$

Asymptoten bei Exponentialfunktionen und Gauß-Verfahren

Bei Funktionen, die Exponentialterme enthalten, kannst du Asymptoten leicht bestimmen. Dafür gelten zwei wichtige Regeln:

1. Wenn der e-Term mit Multiplikation verbunden ist z.B. $x \cdot e^x$, dann ist die x-Achse $y = 0$ eine Asymptote.

2. Wenn der e-Term mit Addition verbunden ist z.B. $2x - e^x$, dann ist alles außer dem e-Term die Asymptote hier: $y = 2x$.

Zusätzlich musst du das Vorzeichen des Exponenten beachten:

• Bei $e^x$ betrachtest du das Verhalten für $x \to -\infty$
• Bei $e^{-x}$ betrachtest du das Verhalten für $x \to +\infty$

💡 Tipp zur Bestimmung von Asymptoten: Bei gemischten Termen wie $x \cdot e^x + e^{-x} + 3$ können sich die Regeln widersprechen. In solchen Fällen dominiert meist der Term mit dem schnelleren Wachstum.

Das Gauß-Verfahren hilft dir, lineare Gleichungssysteme zu lösen. Mit ihm kannst du zum Beispiel eine Parabelgleichung $f(x) = ax^2 + bx + c$ bestimmen, die durch drei Punkte verläuft. Dabei bringst du das Gleichungssystem in Stufenform und löst es dann durch Rückwärtseinsetzen.

Für das Beispiel einer Parabel durch die Punkte A(2|1|1), B(-1|1|1), C(3|1|4) ergibt sich nach dem Gauß-Verfahren die Funktion $f(x) = 0,75x^2 - 0,75x - 0,5$.

Gauß-Verfahren für lineare Gleichungssysteme

Das Gauß-Verfahren ist eine systematische Methode, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Es basiert darauf, ein System in Stufenform zu bringen, aus der die Lösung leicht ablesbar ist.

Nehmen wir das Beispiel einer Parabel $f(x) = ax^2 + bx + c$, die durch die Punkte A(2|1), B(-1|1) und C(3|4) verläuft. Wenn wir die Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzen, erhalten wir ein Gleichungssystem:

• $4a + 2b + c = 1$ (Punkt A)
• $a - b + c = 1$ (Punkt B)
• $9a + 3b + c = 4$ (Punkt C)

Dieses System bringen wir in Matrixform und wenden folgende erlaubte Operationen an:

1. Zeilen mit einer Zahl ≠0 multiplizieren
2. Zeilen addieren oder subtrahieren
3. Zeilen oder Spalten vertauschen

💡 Arbeitsschritte beim Gauß-Verfahren: Bringe die Matrix schrittweise in Stufenform, indem du unter der Hauptdiagonale Nullen erzeugst. Dann bestimme durch Rückwärtseinsetzen nacheinander die Unbekannten.

Nach Anwendung des Verfahrens erhalten wir $c = -0,5$, $b = -0,75$ und $a = 0,75$, was zur Parabelgleichung $f(x) = 0,75x^2 - 0,75x - 0,5$ führt.

Das Gauß-Verfahren ist nicht nur für dieses Beispiel nützlich – du wirst es auch bei vielen anderen linearen Gleichungssystemen anwenden können, beispielsweise bei der Berechnung von Bewegungsgleichungen oder wirtschaftlichen Modellen.