Mathe /

Mathe Abitur Geometrie

Mathe Abitur Geometrie

user profile picture

Emma 🤍

1113 Followers
 

Mathe

 

11/12/13

Lernzettel

Mathe Abitur Geometrie

 1. VEKTOREN
1.1 Rechnen mit Vektoren
●
Addition und Substraktion
a
A
+ b₁
a2 + b2
193 + b3
10
18
+
â
1.9
1.0
Mittelpunkt
Mathe Abitur Geome

Kommentare (1)

Teilen

Speichern

208

Geometrie alles zusammengefasst - Lagebeziehungen, Vektoren, Ebenen, …

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

1. VEKTOREN 1.1 Rechnen mit Vektoren ● Addition und Substraktion a A + b₁ a2 + b2 193 + b3 10 18 + â 1.9 1.0 Mittelpunkt Mathe Abitur Geometrie a ₁ a₂ a3 H = 1/² · (A + B) einer Strecke. 1.2 Lineare (Un-) Abhängigkeit von Vektoren • linear abhängig wenn å ein skalares vielfaches von 6 ist bzw. à und b parallel sind Zwei Vektoren a und b 1.3 Skalarprodukt a = k· 6 bzw. à 116 Linear unabhängig, wenn à t (1). ( ba b2 b3 COS α = ba 63 = å. b lal. 161 Skalare Multiplikation r. an *(6) r. az r. a3 Schwerpunkt eines Dreiecks 5 = 3 ( A + B + C) • Berechnung der Lange eines ventors: Tắ1 = √ a² + a² +a}' · Ob vektoren. Senkrecht zueinander sind: à... = 0! winkel zwischen à und to berechnen: a₁ b₁ + a₂ b₁ + az· b3 Drei Vektoren a, b und c 2. à Linear abhängig, wenn sie alle in einer Ebene Liegen linear unabhängig, wenn sie den 2³ aufspannen à+ô à x 6 = 10 Ortsventor ( verbindung svektor b₁.- a - b2-a₂ 63 - az bA 18 1.4 Vektor- oder Kreuzprodukt 02 18 Ap lax bl : Apax bl : 10 1.0 Ã - (0²1) A AB a2b3-a3b2 a3b₁-anb3 anb₂-a₂b₁ ETmiHiung ein zu zwei vektoren a und 6 senterecht stehender vektor Č Flacheninhalt eines Parallelogramms / Dreiecheck volumen eines Spats / 3- seit. Pyramide Vs : lầ . (6xề) · | . V3. p ³ ¼·lâ · ( b × c ) | ổ 2. GERADEN UND EBENEN 2.1 Geraden . Parameterform A = A + 2. • 8 Anfangswert. V=Richtungswechsel ·BSP: Al11-2/2) B (2/1/1). V = 6 - A = (³) => x = ( 2² ) + ₂ · ( ₁ ) X X3 2...

Mit uns zu mehr Spaß am Lernen

Hilfe bei den Hausaufgaben

Mit dem Fragen-Feature hast du die Möglichkeit, jederzeit Fragen zu stellen und Antworten von anderen Schüler:innen zu erhalten.

Gemeinsam lernen

Mit Knowunity erhältest du Lerninhalte von anderen Schüler:innen auf eine moderne und gewohnte Art und Weise, um bestmöglich zu lernen. Schüler:innen teilen ihr Wissen, tauschen sich aus und helfen sich gegenseitig.

Sicher und geprüft

Ob Zusammenfassungen, Übungen oder Lernzettel - Knowunity kuratiert alle Inhalte und schafft eine sichere Lernumgebung zu der Ihr Kind jederzeit Zugang hat.

App herunterladen

Alternativer Bildtext:

= 2 Senkrechtprojektion Projektion in die X₁ 1X₂ HOE = 0 A 3 Projektion in die x ₁/x KOE X₂ = 0 Projektion in die X₂ /X3 KOE X₁ = 0 Bsp: Al2/413) B(-2/512) in X₁/X3 koordinatenebene A' (21013) B (-21012) 1. 2. 3. 4. identisch/ parallel = wenn der Richtungsvektor bei beiden Geraden gleich oder ein vielfaches voneinander sind Lagebeziehungen von Geraden sie schneiden sich sie sind parallel sie sind identisch sie laufen aneinander vorbei sie sind windschief vorgehen: => = => T~~ 2 "" (³) ONN = 9: + 2 (²1) + a. (²) 6 + ^ . (= 1 ) bei unterschiedlicher Ergebnissen bei gleichen Ergebnissen (³) Gleichsetzen des Anfangspunktes g mit der Geraden h oder. andersherum Schnit/ windschief wenn der Richtungsvektor bei beiden Geraden nicht gleich oder ein vielfaches voneinander sind vorgehen: 9 = * = ( ₁² ) + ^ - ( 1²2 ) 22 = 1 ||. 2 = 1 + 2 М (-³) = (₁) + M² (²) M. 111. 4-20₁5 = 1 + 4.0, S λ = 0,5 M = 0,5 + 0,5 n = x = (2²) unterschiedliche μ d.h paraver h= parallel identisch. - (₁) + μ. Vorgehen: Einsetzen von λ = 015 in die Gerade g 2 (²³) = ( 3 ) (1) + μ- ( ² ) 4 SchniHpunkt! zwei Gleichungssysteme 1 kontrollgleichung ! => S ( 112/3) Gleichsetzen der beiden Geraden 2 Gleichungssysteme und a + μ lösen in kontrollgleichung einsetzen, um Schnittpunkt zu prüfen Einsetzen von oder u in Gerade Schnittpunkt 2.2 Ebenen Parameterform × = A + 2√ + μ J X = A + A = Anfangswert AB= Richtungsvektor i AC = = Richtungsventor 2 Bsp: n 2 = 1 2 = -1 2. X₁ X (³) μ = μ = Bsp: ↑ Normalenform Xa ở nx AB+ μ· AC 1 3sp: geg. n = n A . +2 (³) + μ- (-²1) (3141-3) (^1-4/^) X₂ + nx X3 + no = 0 • (-³). 2:3 1·1+1 · L-1) + no = 0 no = - 4 ; P (3/11-1) => 2x₁-1· X ₂ + 1. X . X₂ + 1 · X3 + n₁ = 0 Parameterform → Normalenform * - (²4) • ^ ·(5) - (7) = + 2 + 4 = 0 (-³) × (1) = (-³) 3x5x₂ + 6 x 3 + no = 0 3.1-5 ·l- -1) + 6⋅ 2 + no = 0 no = -20 NF: 3X₁5X2+ 6x3 - 200 Lotger ade: x= 。 • (-²) + ^ (-²) = automatisch senkrecht auf der Ebene → Lotgerade Spurpunkte. Punkte, an denen die Ebene von den koordinaten achsen durchstoßen wird Spurpunkte sing... vorgehen: Bsp: im Normalfau hat jede Ebene 3 Spurpunkte Ebene parallel zu koordinatenachse Ebene parallel zu koordinatenebene Punkte auf X₁ - Achse Punkte auf X₂ - Achse Punkte auf X3- Achse 8 Ebene E = Spurpunkt mit x₁- Achse I. 4+ 4 + 8μ = 0 spurpunkt mit xs Achse (0101 X3) III. 1+ 2+ 4 μ = 0 V Spurpunkt mit x₁ Achse LX₁/00) gleichsetzen: Spurt mit X₂ Achse (01 X₂10) Losen des Gleichungssystems 2 Gleichungen Null setzen fehlende koordinate berechnen (§) + n. (3) ► - Einsetzen in die 1. Gleichung LX₁/0/0) (01 X 210) (0/01 x3) - 2 M - ^ = 2μ = 0 M = 0 - X₂, X3 = 0 42 = 8 м - 4 ·2= -A- -4μ 1- +μ. - 4μ λ= 2 Spurpunkte 1 Spurpunkt - 1 (§) [1 OO 2= 1+1 ; + Spurgerade Geraden, die zwei Spurgeraden verbinden - 2 м-1 Spurpunkt (31010) im Normalfall hat jede Ebene 3 Spurgeraden Ebene parallel zu koordinatenachse Ebene parallel zu koordinatenebene IM 1 Spurgerade →Spurgerade Normalform →Parameterform Bsp: -.2x₁2x₂ + (-4) X3 + 1 = 0 Spurpunkt mit XA- Achse X₂ + x3 = .0 = 0,5 SP, (0,5/0 1.0) . 文 ↑ + 2 Parameter form bilden 2.B. mit ersten Spurpunkt als Anfangspunkt * = (85) -0.5 (-015) 0125 = SPA + X^ Ebene, Gerade. 2.3 Lagebeziehungen + μ a · [SP₂ - SP₁] + μ· [SP3- SP₁]. 2X₁ - 4x2 + 6 x 3 + 3 = 0 Spurpunkt mit X₂- X₁ + X3 = 0. ·SP₂L 01-0₁ 510) Parameter form der Gerade. a in Normalform einsetzen g g schneidet E Parameterform der Gerade E Achse X₂ = 015 ہے a) Schnitpunkt Ebene als Normal form angeben bzw. umformung von parameter form in Normal form g verläuft parallel zu E E SP LOISIALO). Einsetzen der Koordinaten X₁₁ X₂ und X₂. der einzelnen zeilen der Geraden parameter form in Normalform * = (-41) + a (²) Spurpunkt mit X3- Achse X₁ + X₂= 0 X 3 = 015 SP₂(0/0/0,5) * = (-1) + a ( 8 ) E g liegt in E b) kein Schnitpunkt, parallele Lage Ebene als Normalform angeben bzw. umformung von Parameter form in Normal form 2Х1 ° Ч Х 2 + 6X 3 + 3 = 0 Einsetzen der Koordinaten X₁₁ X₂. und X3 der einzelnen zeilen der in Normal form => 2 (1 + 2) - 4 · 1 + 6 ( - 1-2 a) + 3 = 0 - 5 A0 = 0 λ= -0,5 Geradenparameter form => 2 (1+ 6A) - 4 · 1 + 6 ( − 1 − 2 A) + 3 = 0 - 5 = 0 (C) unendlich viele Schnittpunkte 9 liegt in E. Ebene als Normal form angeben bzw. umformung von parameter form in Normal form 2х4 - ЧХ 2 + 6X3 + 3 = 0 Einsetzen der Koordinaten X₁₁ X₂ und X₂. der einzelnen zeilen der Geraden parameter form in Normalform. Parameter form der Gerade Ebene, Ebene a) parallel E: X₁ - 2X₂ + 3x3 + 4 = 0 H: -2x₁ + 4x₂ - 6x3 + 7 = 0 n² = (-2/²2 ) 4 2X₁ + 4X26X3 + 8 = 0. 12 = (-1/2) 2.4 Schnittwinkel Zwischen zwei Geraden ✓10 2 d COS α = là . bi Tai-161 2.5 Abstandsberechnungen Punkt-Punkt AL21-4/2) B (215/2) * = (-0,25) + AB = IABI= |( 8 )) = 6 + a (b) identisch E: X₁ 2x₂ + 3x3 + 4 = 0 H: -2x₁ + 4x₂ - 6x3 + 8 = 0 ME = ( ²2² ) -(-²) = n² = (-2²) ne 15 - 602 S 2X₁ +4x2 Zwischen Gerade und Ebene 4 . cos Y: → L = 90°- 4 => in al inl·lal. Punkt Gerade 2L1 + 62) -4 (- 0,25) + 6 (-1 - 2 a) + 3 = 0 0 0 9 .6X3 + 8 = 0 1. Zwischen zwei Ebenen 2. koordinaten einsetzen von 9 in H L = L-21411) 3. | PLI = |(3²³) - (3²)) = 6 ઇsp? PL-115) g: (º) + » · ( ²2 ) ( ²³ ) · (R· - ( 3°¶)) =.0 2x1₁- 2x₂ + x3 + 11= 0 λ = 1 + einsetzen H= Sy H = COS α = in mi ini. Imi

Mathe /

Mathe Abitur Geometrie

Mathe Abitur Geometrie

user profile picture

Emma 🤍

1113 Followers
 

Mathe

 

11/12/13

Lernzettel

Mathe Abitur Geometrie

Dieser Inhalt ist nur in der Knowunity App verfügbar.

 1. VEKTOREN
1.1 Rechnen mit Vektoren
●
Addition und Substraktion
a
A
+ b₁
a2 + b2
193 + b3
10
18
+
â
1.9
1.0
Mittelpunkt
Mathe Abitur Geome

App öffnen

Teilen

Speichern

208

Kommentare (1)

R

Vielen Dank, wirklich hilfreich für mich, da wir gerade genau das Thema in der Schule haben 😁

Geometrie alles zusammengefasst - Lagebeziehungen, Vektoren, Ebenen, …

Ähnliche Knows

Vektoren

Know Vektoren thumbnail

1235

 

11/12/10

Analytische Geometrie

Know Analytische Geometrie  thumbnail

213

 

11/12

Spurpunkte einer Geraden und Ebene

Know Spurpunkte einer Geraden und Ebene thumbnail

42

 

12/13

10

Analytische Geometrie Abiturzusammenfassung (Lk)

Know Analytische Geometrie Abiturzusammenfassung (Lk) thumbnail

1233

 

11/12/13

Mehr

1. VEKTOREN 1.1 Rechnen mit Vektoren ● Addition und Substraktion a A + b₁ a2 + b2 193 + b3 10 18 + â 1.9 1.0 Mittelpunkt Mathe Abitur Geometrie a ₁ a₂ a3 H = 1/² · (A + B) einer Strecke. 1.2 Lineare (Un-) Abhängigkeit von Vektoren • linear abhängig wenn å ein skalares vielfaches von 6 ist bzw. à und b parallel sind Zwei Vektoren a und b 1.3 Skalarprodukt a = k· 6 bzw. à 116 Linear unabhängig, wenn à t (1). ( ba b2 b3 COS α = ba 63 = å. b lal. 161 Skalare Multiplikation r. an *(6) r. az r. a3 Schwerpunkt eines Dreiecks 5 = 3 ( A + B + C) • Berechnung der Lange eines ventors: Tắ1 = √ a² + a² +a}' · Ob vektoren. Senkrecht zueinander sind: à... = 0! winkel zwischen à und to berechnen: a₁ b₁ + a₂ b₁ + az· b3 Drei Vektoren a, b und c 2. à Linear abhängig, wenn sie alle in einer Ebene Liegen linear unabhängig, wenn sie den 2³ aufspannen à+ô à x 6 = 10 Ortsventor ( verbindung svektor b₁.- a - b2-a₂ 63 - az bA 18 1.4 Vektor- oder Kreuzprodukt 02 18 Ap lax bl : Apax bl : 10 1.0 Ã - (0²1) A AB a2b3-a3b2 a3b₁-anb3 anb₂-a₂b₁ ETmiHiung ein zu zwei vektoren a und 6 senterecht stehender vektor Č Flacheninhalt eines Parallelogramms / Dreiecheck volumen eines Spats / 3- seit. Pyramide Vs : lầ . (6xề) · | . V3. p ³ ¼·lâ · ( b × c ) | ổ 2. GERADEN UND EBENEN 2.1 Geraden . Parameterform A = A + 2. • 8 Anfangswert. V=Richtungswechsel ·BSP: Al11-2/2) B (2/1/1). V = 6 - A = (³) => x = ( 2² ) + ₂ · ( ₁ ) X X3 2...

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Mit uns zu mehr Spaß am Lernen

Hilfe bei den Hausaufgaben

Mit dem Fragen-Feature hast du die Möglichkeit, jederzeit Fragen zu stellen und Antworten von anderen Schüler:innen zu erhalten.

Gemeinsam lernen

Mit Knowunity erhältest du Lerninhalte von anderen Schüler:innen auf eine moderne und gewohnte Art und Weise, um bestmöglich zu lernen. Schüler:innen teilen ihr Wissen, tauschen sich aus und helfen sich gegenseitig.

Sicher und geprüft

Ob Zusammenfassungen, Übungen oder Lernzettel - Knowunity kuratiert alle Inhalte und schafft eine sichere Lernumgebung zu der Ihr Kind jederzeit Zugang hat.

App herunterladen

Knowunity

Schule. Endlich Einfach.

App öffnen

Alternativer Bildtext:

= 2 Senkrechtprojektion Projektion in die X₁ 1X₂ HOE = 0 A 3 Projektion in die x ₁/x KOE X₂ = 0 Projektion in die X₂ /X3 KOE X₁ = 0 Bsp: Al2/413) B(-2/512) in X₁/X3 koordinatenebene A' (21013) B (-21012) 1. 2. 3. 4. identisch/ parallel = wenn der Richtungsvektor bei beiden Geraden gleich oder ein vielfaches voneinander sind Lagebeziehungen von Geraden sie schneiden sich sie sind parallel sie sind identisch sie laufen aneinander vorbei sie sind windschief vorgehen: => = => T~~ 2 "" (³) ONN = 9: + 2 (²1) + a. (²) 6 + ^ . (= 1 ) bei unterschiedlicher Ergebnissen bei gleichen Ergebnissen (³) Gleichsetzen des Anfangspunktes g mit der Geraden h oder. andersherum Schnit/ windschief wenn der Richtungsvektor bei beiden Geraden nicht gleich oder ein vielfaches voneinander sind vorgehen: 9 = * = ( ₁² ) + ^ - ( 1²2 ) 22 = 1 ||. 2 = 1 + 2 М (-³) = (₁) + M² (²) M. 111. 4-20₁5 = 1 + 4.0, S λ = 0,5 M = 0,5 + 0,5 n = x = (2²) unterschiedliche μ d.h paraver h= parallel identisch. - (₁) + μ. Vorgehen: Einsetzen von λ = 015 in die Gerade g 2 (²³) = ( 3 ) (1) + μ- ( ² ) 4 SchniHpunkt! zwei Gleichungssysteme 1 kontrollgleichung ! => S ( 112/3) Gleichsetzen der beiden Geraden 2 Gleichungssysteme und a + μ lösen in kontrollgleichung einsetzen, um Schnittpunkt zu prüfen Einsetzen von oder u in Gerade Schnittpunkt 2.2 Ebenen Parameterform × = A + 2√ + μ J X = A + A = Anfangswert AB= Richtungsvektor i AC = = Richtungsventor 2 Bsp: n 2 = 1 2 = -1 2. X₁ X (³) μ = μ = Bsp: ↑ Normalenform Xa ở nx AB+ μ· AC 1 3sp: geg. n = n A . +2 (³) + μ- (-²1) (3141-3) (^1-4/^) X₂ + nx X3 + no = 0 • (-³). 2:3 1·1+1 · L-1) + no = 0 no = - 4 ; P (3/11-1) => 2x₁-1· X ₂ + 1. X . X₂ + 1 · X3 + n₁ = 0 Parameterform → Normalenform * - (²4) • ^ ·(5) - (7) = + 2 + 4 = 0 (-³) × (1) = (-³) 3x5x₂ + 6 x 3 + no = 0 3.1-5 ·l- -1) + 6⋅ 2 + no = 0 no = -20 NF: 3X₁5X2+ 6x3 - 200 Lotger ade: x= 。 • (-²) + ^ (-²) = automatisch senkrecht auf der Ebene → Lotgerade Spurpunkte. Punkte, an denen die Ebene von den koordinaten achsen durchstoßen wird Spurpunkte sing... vorgehen: Bsp: im Normalfau hat jede Ebene 3 Spurpunkte Ebene parallel zu koordinatenachse Ebene parallel zu koordinatenebene Punkte auf X₁ - Achse Punkte auf X₂ - Achse Punkte auf X3- Achse 8 Ebene E = Spurpunkt mit x₁- Achse I. 4+ 4 + 8μ = 0 spurpunkt mit xs Achse (0101 X3) III. 1+ 2+ 4 μ = 0 V Spurpunkt mit x₁ Achse LX₁/00) gleichsetzen: Spurt mit X₂ Achse (01 X₂10) Losen des Gleichungssystems 2 Gleichungen Null setzen fehlende koordinate berechnen (§) + n. (3) ► - Einsetzen in die 1. Gleichung LX₁/0/0) (01 X 210) (0/01 x3) - 2 M - ^ = 2μ = 0 M = 0 - X₂, X3 = 0 42 = 8 м - 4 ·2= -A- -4μ 1- +μ. - 4μ λ= 2 Spurpunkte 1 Spurpunkt - 1 (§) [1 OO 2= 1+1 ; + Spurgerade Geraden, die zwei Spurgeraden verbinden - 2 м-1 Spurpunkt (31010) im Normalfall hat jede Ebene 3 Spurgeraden Ebene parallel zu koordinatenachse Ebene parallel zu koordinatenebene IM 1 Spurgerade →Spurgerade Normalform →Parameterform Bsp: -.2x₁2x₂ + (-4) X3 + 1 = 0 Spurpunkt mit XA- Achse X₂ + x3 = .0 = 0,5 SP, (0,5/0 1.0) . 文 ↑ + 2 Parameter form bilden 2.B. mit ersten Spurpunkt als Anfangspunkt * = (85) -0.5 (-015) 0125 = SPA + X^ Ebene, Gerade. 2.3 Lagebeziehungen + μ a · [SP₂ - SP₁] + μ· [SP3- SP₁]. 2X₁ - 4x2 + 6 x 3 + 3 = 0 Spurpunkt mit X₂- X₁ + X3 = 0. ·SP₂L 01-0₁ 510) Parameter form der Gerade. a in Normalform einsetzen g g schneidet E Parameterform der Gerade E Achse X₂ = 015 ہے a) Schnitpunkt Ebene als Normal form angeben bzw. umformung von parameter form in Normal form g verläuft parallel zu E E SP LOISIALO). Einsetzen der Koordinaten X₁₁ X₂ und X₂. der einzelnen zeilen der Geraden parameter form in Normalform * = (-41) + a (²) Spurpunkt mit X3- Achse X₁ + X₂= 0 X 3 = 015 SP₂(0/0/0,5) * = (-1) + a ( 8 ) E g liegt in E b) kein Schnitpunkt, parallele Lage Ebene als Normalform angeben bzw. umformung von Parameter form in Normal form 2Х1 ° Ч Х 2 + 6X 3 + 3 = 0 Einsetzen der Koordinaten X₁₁ X₂. und X3 der einzelnen zeilen der in Normal form => 2 (1 + 2) - 4 · 1 + 6 ( - 1-2 a) + 3 = 0 - 5 A0 = 0 λ= -0,5 Geradenparameter form => 2 (1+ 6A) - 4 · 1 + 6 ( − 1 − 2 A) + 3 = 0 - 5 = 0 (C) unendlich viele Schnittpunkte 9 liegt in E. Ebene als Normal form angeben bzw. umformung von parameter form in Normal form 2х4 - ЧХ 2 + 6X3 + 3 = 0 Einsetzen der Koordinaten X₁₁ X₂ und X₂. der einzelnen zeilen der Geraden parameter form in Normalform. Parameter form der Gerade Ebene, Ebene a) parallel E: X₁ - 2X₂ + 3x3 + 4 = 0 H: -2x₁ + 4x₂ - 6x3 + 7 = 0 n² = (-2/²2 ) 4 2X₁ + 4X26X3 + 8 = 0. 12 = (-1/2) 2.4 Schnittwinkel Zwischen zwei Geraden ✓10 2 d COS α = là . bi Tai-161 2.5 Abstandsberechnungen Punkt-Punkt AL21-4/2) B (215/2) * = (-0,25) + AB = IABI= |( 8 )) = 6 + a (b) identisch E: X₁ 2x₂ + 3x3 + 4 = 0 H: -2x₁ + 4x₂ - 6x3 + 8 = 0 ME = ( ²2² ) -(-²) = n² = (-2²) ne 15 - 602 S 2X₁ +4x2 Zwischen Gerade und Ebene 4 . cos Y: → L = 90°- 4 => in al inl·lal. Punkt Gerade 2L1 + 62) -4 (- 0,25) + 6 (-1 - 2 a) + 3 = 0 0 0 9 .6X3 + 8 = 0 1. Zwischen zwei Ebenen 2. koordinaten einsetzen von 9 in H L = L-21411) 3. | PLI = |(3²³) - (3²)) = 6 ઇsp? PL-115) g: (º) + » · ( ²2 ) ( ²³ ) · (R· - ( 3°¶)) =.0 2x1₁- 2x₂ + x3 + 11= 0 λ = 1 + einsetzen H= Sy H = COS α = in mi ini. Imi