Alternativer Bildtext:

= 2 Senkrechtprojektion Projektion in die X₁ 1X₂ HOE = 0 A 3 Projektion in die x ₁/x KOE X₂ = 0 Projektion in die X₂ /X3 KOE X₁ = 0 Bsp: Al2/413) B(-2/512) in X₁/X3 koordinatenebene A' (21013) B (-21012) 1. 2. 3. 4. identisch/ parallel = wenn der Richtungsvektor bei beiden Geraden gleich oder ein vielfaches voneinander sind Lagebeziehungen von Geraden sie schneiden sich sie sind parallel sie sind identisch sie laufen aneinander vorbei sie sind windschief vorgehen: => = => T~~ 2 "" (³) ONN = 9: + 2 (²1) + a. (²) 6 + ^ . (= 1 ) bei unterschiedlicher Ergebnissen bei gleichen Ergebnissen (³) Gleichsetzen des Anfangspunktes g mit der Geraden h oder. andersherum Schnit/ windschief wenn der Richtungsvektor bei beiden Geraden nicht gleich oder ein vielfaches voneinander sind vorgehen: 9 = * = ( ₁² ) + ^ - ( 1²2 ) 22 = 1 ||. 2 = 1 + 2 М (-³) = (₁) + M² (²) M. 111. 4-20₁5 = 1 + 4.0, S λ = 0,5 M = 0,5 + 0,5 n = x = (2²) unterschiedliche μ d.h paraver h= parallel identisch. - (₁) + μ. Vorgehen: Einsetzen von λ = 015 in die Gerade g 2 (²³) = ( 3 ) (1) + μ- ( ² ) 4 SchniHpunkt! zwei Gleichungssysteme 1 kontrollgleichung ! => S ( 112/3) Gleichsetzen der beiden Geraden 2 Gleichungssysteme und a + μ lösen in kontrollgleichung einsetzen, um Schnittpunkt zu prüfen Einsetzen von oder u in Gerade Schnittpunkt 2.2 Ebenen Parameterform × = A + 2√ + μ J X = A + A = Anfangswert AB= Richtungsvektor i AC = = Richtungsventor 2 Bsp: n 2 = 1 2 = -1 2. X₁ X (³) μ = μ = Bsp: ↑ Normalenform Xa ở nx AB+ μ· AC 1 3sp: geg. n = n A . +2 (³) + μ- (-²1) (3141-3) (^1-4/^) X₂ + nx X3 + no = 0 • (-³). 2:3 1·1+1 · L-1) + no = 0 no = - 4 ; P (3/11-1) => 2x₁-1· X ₂ + 1. X . X₂ + 1 · X3 + n₁ = 0 Parameterform → Normalenform * - (²4) • ^ ·(5) - (7) = + 2 + 4 = 0 (-³) × (1) = (-³) 3x5x₂ + 6 x 3 + no = 0 3.1-5 ·l- -1) + 6⋅ 2 + no = 0 no = -20 NF: 3X₁5X2+ 6x3 - 200 Lotger ade: x= 。 • (-²) + ^ (-²) = automatisch senkrecht auf der Ebene → Lotgerade Spurpunkte. Punkte, an denen die Ebene von den koordinaten achsen durchstoßen wird Spurpunkte sing... vorgehen: Bsp: im Normalfau hat jede Ebene 3 Spurpunkte Ebene parallel zu koordinatenachse Ebene parallel zu koordinatenebene Punkte auf X₁ - Achse Punkte auf X₂ - Achse Punkte auf X3- Achse 8 Ebene E = Spurpunkt mit x₁- Achse I. 4+ 4 + 8μ = 0 spurpunkt mit xs Achse (0101 X3) III. 1+ 2+ 4 μ = 0 V Spurpunkt mit x₁ Achse LX₁/00) gleichsetzen: Spurt mit X₂ Achse (01 X₂10) Losen des Gleichungssystems 2 Gleichungen Null setzen fehlende koordinate berechnen (§) + n. (3) ► - Einsetzen in die 1. Gleichung LX₁/0/0) (01 X 210) (0/01 x3) - 2 M - ^ = 2μ = 0 M = 0 - X₂, X3 = 0 42 = 8 м - 4 ·2= -A- -4μ 1- +μ. - 4μ λ= 2 Spurpunkte 1 Spurpunkt - 1 (§) [1 OO 2= 1+1 ; + Spurgerade Geraden, die zwei Spurgeraden verbinden - 2 м-1 Spurpunkt (31010) im Normalfall hat jede Ebene 3 Spurgeraden Ebene parallel zu koordinatenachse Ebene parallel zu koordinatenebene IM 1 Spurgerade →Spurgerade Normalform →Parameterform Bsp: -.2x₁2x₂ + (-4) X3 + 1 = 0 Spurpunkt mit XA- Achse X₂ + x3 = .0 = 0,5 SP, (0,5/0 1.0) . 文 ↑ + 2 Parameter form bilden 2.B. mit ersten Spurpunkt als Anfangspunkt * = (85) -0.5 (-015) 0125 = SPA + X^ Ebene, Gerade. 2.3 Lagebeziehungen + μ a · [SP₂ - SP₁] + μ· [SP3- SP₁]. 2X₁ - 4x2 + 6 x 3 + 3 = 0 Spurpunkt mit X₂- X₁ + X3 = 0. ·SP₂L 01-0₁ 510) Parameter form der Gerade. a in Normalform einsetzen g g schneidet E Parameterform der Gerade E Achse X₂ = 015 ہے a) Schnitpunkt Ebene als Normal form angeben bzw. umformung von parameter form in Normal form g verläuft parallel zu E E SP LOISIALO). Einsetzen der Koordinaten X₁₁ X₂ und X₂. der einzelnen zeilen der Geraden parameter form in Normalform * = (-41) + a (²) Spurpunkt mit X3- Achse X₁ + X₂= 0 X 3 = 015 SP₂(0/0/0,5) * = (-1) + a ( 8 ) E g liegt in E b) kein Schnitpunkt, parallele Lage Ebene als Normalform angeben bzw. umformung von Parameter form in Normal form 2Х1 ° Ч Х 2 + 6X 3 + 3 = 0 Einsetzen der Koordinaten X₁₁ X₂. und X3 der einzelnen zeilen der in Normal form => 2 (1 + 2) - 4 · 1 + 6 ( - 1-2 a) + 3 = 0 - 5 A0 = 0 λ= -0,5 Geradenparameter form => 2 (1+ 6A) - 4 · 1 + 6 ( − 1 − 2 A) + 3 = 0 - 5 = 0 (C) unendlich viele Schnittpunkte 9 liegt in E. Ebene als Normal form angeben bzw. umformung von parameter form in Normal form 2х4 - ЧХ 2 + 6X3 + 3 = 0 Einsetzen der Koordinaten X₁₁ X₂ und X₂. der einzelnen zeilen der Geraden parameter form in Normalform. Parameter form der Gerade Ebene, Ebene a) parallel E: X₁ - 2X₂ + 3x3 + 4 = 0 H: -2x₁ + 4x₂ - 6x3 + 7 = 0 n² = (-2/²2 ) 4 2X₁ + 4X26X3 + 8 = 0. 12 = (-1/2) 2.4 Schnittwinkel Zwischen zwei Geraden ✓10 2 d COS α = là . bi Tai-161 2.5 Abstandsberechnungen Punkt-Punkt AL21-4/2) B (215/2) * = (-0,25) + AB = IABI= |( 8 )) = 6 + a (b) identisch E: X₁ 2x₂ + 3x3 + 4 = 0 H: -2x₁ + 4x₂ - 6x3 + 8 = 0 ME = ( ²2² ) -(-²) = n² = (-2²) ne 15 - 602 S 2X₁ +4x2 Zwischen Gerade und Ebene 4 . cos Y: → L = 90°- 4 => in al inl·lal. Punkt Gerade 2L1 + 62) -4 (- 0,25) + 6 (-1 - 2 a) + 3 = 0 0 0 9 .6X3 + 8 = 0 1. Zwischen zwei Ebenen 2. koordinaten einsetzen von 9 in H L = L-21411) 3. | PLI = |(3²³) - (3²)) = 6 ઇsp? PL-115) g: (º) + » · ( ²2 ) ( ²³ ) · (R· - ( 3°¶)) =.0 2x1₁- 2x₂ + x3 + 11= 0 λ = 1 + einsetzen H= Sy H = COS α = in mi ini. Imi