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Mathematik

Vektorraumoperationen

orthogonale Vektoren

1.987

•

22. Jan. 2026

•

6 Seiten

Vektoren einfach erklärt: Definition, Berechnungen und Anwendungen

E

Emma

@emma_iqlw

Vektoren sind mega wichtig in der Oberstufe - sie helfen... Mehr anzeigen

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# VEKTOREN ## GERADEN GLEICHUNG AUFSTELLEN * ALLGEMEIN: $g: \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{AB}$ * Punkt A (1|2|3) wird zu $\vec{OA}$

Geraden und Ebenen - Die Basics

Geradengleichungen stellst du ganz einfach auf: Du brauchst einen Punkt A und einen Richtungsvektor AB⃗\vec{AB}. Die allgemeine Form ist g:x⃗=OA⃗+k⋅AB⃗g: \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{AB}. Den Richtungsvektor berechnest du durch B−AB - A.

Bei Lagebeziehungen zweier Geraden setzt du beide Geraden gleich und löst das Gleichungssystem. Je nach Lösung sind die Geraden parallel, identisch, schneiden sich oder sind windschief.

Ebenengleichungen funktionieren ähnlich wie Geraden, nur brauchst du drei Punkte: E:x⃗=OA⃗+r⋅AB⃗+s⋅AC⃗E: \vec{x} = \vec{OA} + r \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AC}. Wichtig: Die Vektoren AB⃗\vec{AB} und AC⃗\vec{AC} dürfen nicht kollinear (parallel) sein.

Tipp: Bei Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen gehst du genauso vor - gleichsetzen und das Gleichungssystem analysieren!

Für Schattenpunkte bestimmst du den höchsten Punkt, den Sonnenstrahl-Vektor und setzt für die Ebene x3=0x_3 = 0.

# VEKTOREN ## GERADEN GLEICHUNG AUFSTELLEN * ALLGEMEIN: $g: \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{AB}$ * Punkt A (1|2|3) wird zu $\vec{OA}$

Längen, Skalarprodukt und Ebenenformen

Längen berechnest du mit der Formel ∣a⃗∣=a12+a22+a32|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.

Zwei Vektoren sind orthogonal (senkrecht), wenn ihr Skalarprodukt null ergibt. Das ist super wichtig für viele Berechnungen!

Es gibt drei verschiedene Ebenenformen: Die Parameterform kennst du schon. Die Normalform brauchst du für Abstände: E:n⃗⋅x⃗=n⃗⋅a⃗E: \vec{n} \cdot \vec{x} = \vec{n} \cdot \vec{a}. Den Normalvektor n⃗\vec{n} findest du, indem du ihn orthogonal zu beiden Richtungsvektoren machst.

Merke: Die Koordinatenform ist einfach die Normalform mit eingesetzten Koordinaten - perfekt für Punktproben!

Die Koordinatenform sieht dann so aus: n1x1+n2x2+n3x3=dn_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = d.

# VEKTOREN ## GERADEN GLEICHUNG AUFSTELLEN * ALLGEMEIN: $g: \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{AB}$ * Punkt A (1|2|3) wird zu $\vec{OA}$

Punktproben und Schnittgeraden

Um zu prüfen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt, machst du eine Punktprobe mit der Koordinatenform. Setzt du die Koordinaten ein und die Gleichung stimmt, liegt der Punkt in der Ebene.

Bei Lagebeziehungen zweier Ebenen gibt es drei Möglichkeiten: Sie sind identisch, parallel oder schneiden sich in einer Geraden. Du erkennst das wieder am Gleichungssystem.

Schnittgeraden berechnest du unterschiedlich, je nachdem in welcher Form deine Ebenen vorliegen. Beide in Parameterform ist am einfachsten - du setzt gleich, löst nach den Variablen auf und setzt eine Variable in eine Ebene ein.

Profi-Tipp: Bei einer Ebene in Parameter- und einer in Koordinatenform setzt du die Parameterform in die Koordinatenform ein!

Wenn beide Ebenen in Koordinatenform vorliegen, löst du das Gleichungssystem und klammerst am Ende eine Variable aus.

# VEKTOREN ## GERADEN GLEICHUNG AUFSTELLEN * ALLGEMEIN: $g: \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{AB}$ * Punkt A (1|2|3) wird zu $\vec{OA}$

Kreuzprodukt und Winkel

Das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) gibt dir einen Vektor, der senkrecht zu beiden ursprünglichen Vektoren steht. Es ist perfekt für Normalvektoren und Flächenberechnungen. Mit ∣a⃗×b⃗∣|\vec{a} \times \vec{b}| bekommst du die Fläche eines Parallelogramms, geteilt durch 2 die eines Dreiecks.

Der Kosinussatz hilft dir in Dreiecken: a2=b2+c2−2bccos⁡(α)a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha). Das kennst du vielleicht schon aus der Mittelstufe.

Winkel zwischen Vektoren berechnest du mit: cos⁡(α)=∣a⃗⋅b⃗∣∣a⃗∣⋅∣b⃗∣\cos(\alpha) = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}. Den Winkel selbst findest du dann mit α=arccos⁡(Ergebnis)\alpha = \arccos(\text{Ergebnis}).

Wichtig: Bei Winkeln zwischen Ebenen nimmst du die Normalvektoren der Ebenen!

Das Kreuzprodukt kannst du übrigens super einfach mit dem GTR berechnen.

# VEKTOREN ## GERADEN GLEICHUNG AUFSTELLEN * ALLGEMEIN: $g: \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{AB}$ * Punkt A (1|2|3) wird zu $\vec{OA}$

Abstände - Teil 1

Abstände zwischen Punkten sind einfach: d(A,B)=∣AB⃗∣=(b1−a1)2+(b2−a2)2+(b3−a3)2d(A,B) = |\vec{AB}| = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2}.

Für Abstände Punkt-Ebene verwendest du das Lotfußpunktverfahren: Stelle eine Lotgerade durch den Punkt mit dem Normalvektor der Ebene auf, finde den Schnittpunkt (Lotfußpunkt) und berechne den Abstand zwischen Punkt und Lotfußpunkt.

Bei Abständen Punkt-Gerade stellst du einen allgemeinen Punkt H auf der Gerade auf. Der Vektor vom gegebenen Punkt zu H muss orthogonal zum Richtungsvektor der Gerade sein.

Trick: Das Skalarprodukt zwischen Verbindungsvektor und Richtungsvektor muss null sein!

Abstände zwischen parallelen Ebenen funktionieren wie Punkt-Ebene: Nimm einen Punkt aus der ersten Ebene und berechne seinen Abstand zur zweiten Ebene.

# VEKTOREN ## GERADEN GLEICHUNG AUFSTELLEN * ALLGEMEIN: $g: \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{AB}$ * Punkt A (1|2|3) wird zu $\vec{OA}$

Abstände - Teil 2

Bei parallelen Geraden erstellst du eine Hilfsebene H, die senkrecht zu beiden Geraden steht. Der Normalvektor ist ein Vielfaches des gemeinsamen Richtungsvektors. Dann berechnest du den Abstand zwischen einem Punkt der ersten Gerade und dem Schnittpunkt der zweiten Gerade mit der Hilfsebene.

Windschiefe Geraden sind kniffliger. Du hast zwei Methoden: Entweder über eine Hilfsebene (eine Gerade liegt in H, die andere ist parallel dazu) oder über Orthogonalität.

Bei der Orthogonalitätsmethode suchst du die kürzeste Verbindung zwischen den Geraden. Diese Strecke ist orthogonal zu beiden Richtungsvektoren.

Profi-Level: Du stellst allgemeine Punkte auf beiden Geraden auf und nutzt die Bedingung, dass der Verbindungsvektor zu beiden Richtungsvektoren orthogonal ist!

Das Kreuzprodukt aus beiden Richtungsvektoren gibt dir übrigens direkt den Normalvektor für die Hilfsebene.



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Beliebtester Inhalt: orthogonale Vektoren

Mathe LK Abitur Lernzettel 2024 NRW

Alle drei Inhaltsfelder, die relevant fürs Mathe LK Abitur sind mit Stochastik, analytische Geometrie und Analysis zusammengefasst. Alle Themen des Mathe Abis 2025.

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Vektoren: Mathe Abitur GK

Umfassende Zusammenfassung für das Matheabitur im Bereich Vektoren. Behandelt Themen wie Skalarprodukt, Winkelberechnung, orthogonale Vektoren, Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen sowie lineare Gleichungssysteme. Ideal für Schüler in NRW, die sich auf das Abitur vorbereiten.

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Vektorgeometrie Zusammenfassung

Diese Zusammenfassung behandelt die wichtigsten Konzepte der Vektorgeometrie, einschließlich der Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen, dem Skalarprodukt zur Winkelberechnung, der Berechnung von Abständen und der Darstellung geometrischer Objekte im 3D-Koordinatensystem. Ideal für das Abitur 2023 in NRW. Themen: Orthogonalität, lineare Abhängigkeit, Punktproben und mehr.

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Analytische Geometrie: Vektoren & Ebenen

Diese Zusammenfassung behandelt die wesentlichen Konzepte der analytischen Geometrie, einschließlich Punkte und Vektoren, Geraden und Ebenen, Abstände zwischen Punkten und Ebenen sowie Winkelbeziehungen. Ideal für die Vorbereitung auf das Abitur und das Verständnis linearer Algebra. Themen: Orthogonalität, Lagebeziehungen und Parametergleichungen.

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Vektoren: Grundlagen und Anwendungen

Entdecken Sie die wesentlichen Konzepte der Vektoren, einschließlich Addition, Subtraktion, Geradengleichungen, Skalarprodukt und Abstandsberechnung. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zu linearer Abhängigkeit, Orthogonalität und den Lagebeziehungen von Geraden. Ideal für die Vorbereitung auf Klausuren in der Mathematik.

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Winkel zwischen Vektoren

Erfahren Sie, wie man den Winkel zwischen Vektoren berechnet, einschließlich der Verwendung des Skalarprodukts und der Beträge. Diese Zusammenfassung behandelt die Grundlagen der Vektorwinkelberechnung, orthogonale Vektoren und spezielle Fälle. Ideal für Studierende der Mathematik und Physik.

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Vektoren und Geometrie

Vertiefte Zusammenfassung zu Vektoren, Geraden, Ebenen und deren Lagebeziehungen. Erlerne die Berechnung von Abständen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen sowie die Anwendung der Hesse'schen Normalenform. Ideal für Abiturvorbereitung in der Vektorgeometrie.

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Vektorielle Geometrie: Grundlagen

Entdecken Sie die wesentlichen Konzepte der vektoriellen Geometrie, einschließlich der Normalgleichung von Ebenen, Koordinatengleichungen, Abstandsberechnungen, Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen sowie dem Hesse'schen Normalform. Ideal für das Abitur 2023 im Leistungskurs. Themen: Vektoren, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, orthogonale Beziehungen und mehr.

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Vektoren und Lagebeziehungen

Entdecken Sie die Grundlagen der Vektoren, einschließlich ihrer Eigenschaften, Skalarprodukt, Punktprobe und Lagebeziehungen von Geraden im Raum. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zu orthogonalen Vektoren, parallelen Linien und mehr. Ideal für Studierende der analytischen Geometrie.

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Entdecken Sie die Grundlagen quadratischer Funktionen und Parabeln. Lernen Sie, wie man Funktionsgleichungen bestimmt, Nullstellen findet und die verschiedenen Formen (Scheitelpunkt-, allgemeine und faktorisierte Form) anwendet. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse vertiefen möchten.

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Kombinatorik und Wahrscheinlichkeiten

Entdecken Sie die Grundlagen der Stochastik, einschließlich Kombinatorik, Bernoulli-Experimente, bedingte Wahrscheinlichkeiten und die Vierfeldertafel. Erfahren Sie mehr über Histogramme, Erwartungswert und Standardabweichung sowie die Pfadregeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Ideal für Studierende der Statistik und Mathematik.

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Mathematik Abitur Zusammenfassung

Umfassende Zusammenfassung für das Mathematik Abitur, die Analysis, analytische Geometrie und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrationsregeln, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Untersuchung von Funktionen. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.

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Entdecken Sie die grundlegenden Rechenregeln für unbestimmte und bestimmte Integrale, einschließlich der Potenzregel, Summenregel und Substitutionsregel. Lernen Sie, wie man Stammfunktionen findet und die Fläche unter Graphen mit bestimmten Integralen berechnet. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften.

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Mathe Abi: Analysis, Vektoren, Stochastik

Umfassender Lernzettel für das Abitur in Mathematik, der die Themen Analysis, Vektoren und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrale, Vektorgeometrie, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mehr. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen.

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Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Einführung in die Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter und zwischen Graphen. Er behandelt wichtige Konzepte wie das Integralzeichen, die Bestimmung von Ober- und Untersummen, sowie die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.

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Entdecken Sie die Grundlagen der Potenzfunktionen in der Mathematik. Diese Zusammenfassung behandelt die allgemeine Form, Symmetrie, Asymptoten, und die Auswirkungen von Exponenten auf den Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen auffrischen möchten.

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Binomische Formeln verstehen

Entdecke die drei Binomischen Formeln mit detaillierten Erklärungen und Beispielen. Lerne, wie man sie anwendet, um algebraische Ausdrücke zu vereinfachen und zu lösen. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in Algebra vertiefen möchten.

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

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Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

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Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

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Rohan U

Android-Nutzer

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Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

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Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

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Anna

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Thomas R

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

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David K

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Sudenaz Ocak

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Rohan U

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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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Mathematik

Vektorraumoperationen

orthogonale Vektoren

 

Mathe

•

1.987

•

22. Jan. 2026

•

6 Seiten

Vektoren einfach erklärt: Definition, Berechnungen und Anwendungen

E

Emma

@emma_iqlw

Vektoren sind mega wichtig in der Oberstufe - sie helfen dir, Geraden, Ebenen und deren Beziehungen zueinander zu verstehen. Mit den richtigen Formeln und Methoden kannst du Abstände berechnen, Winkel bestimmen und herausfinden, ob sich Objekte schneiden oder parallel sind.

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Geraden und Ebenen - Die Basics

Geradengleichungen stellst du ganz einfach auf: Du brauchst einen Punkt A und einen Richtungsvektor AB⃗\vec{AB}. Die allgemeine Form ist g:x⃗=OA⃗+k⋅AB⃗g: \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{AB}. Den Richtungsvektor berechnest du durch B−AB - A.

Bei Lagebeziehungen zweier Geraden setzt du beide Geraden gleich und löst das Gleichungssystem. Je nach Lösung sind die Geraden parallel, identisch, schneiden sich oder sind windschief.

Ebenengleichungen funktionieren ähnlich wie Geraden, nur brauchst du drei Punkte: E:x⃗=OA⃗+r⋅AB⃗+s⋅AC⃗E: \vec{x} = \vec{OA} + r \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AC}. Wichtig: Die Vektoren AB⃗\vec{AB} und AC⃗\vec{AC} dürfen nicht kollinear (parallel) sein.

Tipp: Bei Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen gehst du genauso vor - gleichsetzen und das Gleichungssystem analysieren!

Für Schattenpunkte bestimmst du den höchsten Punkt, den Sonnenstrahl-Vektor und setzt für die Ebene x3=0x_3 = 0.

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Längen, Skalarprodukt und Ebenenformen

Längen berechnest du mit der Formel ∣a⃗∣=a12+a22+a32|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.

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Es gibt drei verschiedene Ebenenformen: Die Parameterform kennst du schon. Die Normalform brauchst du für Abstände: E:n⃗⋅x⃗=n⃗⋅a⃗E: \vec{n} \cdot \vec{x} = \vec{n} \cdot \vec{a}. Den Normalvektor n⃗\vec{n} findest du, indem du ihn orthogonal zu beiden Richtungsvektoren machst.

Merke: Die Koordinatenform ist einfach die Normalform mit eingesetzten Koordinaten - perfekt für Punktproben!

Die Koordinatenform sieht dann so aus: n1x1+n2x2+n3x3=dn_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = d.

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Punktproben und Schnittgeraden

Um zu prüfen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt, machst du eine Punktprobe mit der Koordinatenform. Setzt du die Koordinaten ein und die Gleichung stimmt, liegt der Punkt in der Ebene.

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Schnittgeraden berechnest du unterschiedlich, je nachdem in welcher Form deine Ebenen vorliegen. Beide in Parameterform ist am einfachsten - du setzt gleich, löst nach den Variablen auf und setzt eine Variable in eine Ebene ein.

Profi-Tipp: Bei einer Ebene in Parameter- und einer in Koordinatenform setzt du die Parameterform in die Koordinatenform ein!

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Kreuzprodukt und Winkel

Das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) gibt dir einen Vektor, der senkrecht zu beiden ursprünglichen Vektoren steht. Es ist perfekt für Normalvektoren und Flächenberechnungen. Mit ∣a⃗×b⃗∣|\vec{a} \times \vec{b}| bekommst du die Fläche eines Parallelogramms, geteilt durch 2 die eines Dreiecks.

Der Kosinussatz hilft dir in Dreiecken: a2=b2+c2−2bccos⁡(α)a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha). Das kennst du vielleicht schon aus der Mittelstufe.

Winkel zwischen Vektoren berechnest du mit: cos⁡(α)=∣a⃗⋅b⃗∣∣a⃗∣⋅∣b⃗∣\cos(\alpha) = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}. Den Winkel selbst findest du dann mit α=arccos⁡(Ergebnis)\alpha = \arccos(\text{Ergebnis}).

Wichtig: Bei Winkeln zwischen Ebenen nimmst du die Normalvektoren der Ebenen!

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Abstände - Teil 1

Abstände zwischen Punkten sind einfach: d(A,B)=∣AB⃗∣=(b1−a1)2+(b2−a2)2+(b3−a3)2d(A,B) = |\vec{AB}| = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2}.

Für Abstände Punkt-Ebene verwendest du das Lotfußpunktverfahren: Stelle eine Lotgerade durch den Punkt mit dem Normalvektor der Ebene auf, finde den Schnittpunkt (Lotfußpunkt) und berechne den Abstand zwischen Punkt und Lotfußpunkt.

Bei Abständen Punkt-Gerade stellst du einen allgemeinen Punkt H auf der Gerade auf. Der Vektor vom gegebenen Punkt zu H muss orthogonal zum Richtungsvektor der Gerade sein.

Trick: Das Skalarprodukt zwischen Verbindungsvektor und Richtungsvektor muss null sein!

Abstände zwischen parallelen Ebenen funktionieren wie Punkt-Ebene: Nimm einen Punkt aus der ersten Ebene und berechne seinen Abstand zur zweiten Ebene.

# VEKTOREN ## GERADEN GLEICHUNG AUFSTELLEN * ALLGEMEIN: $g: \vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{AB}$ * Punkt A (1|2|3) wird zu $\vec{OA}$

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Abstände - Teil 2

Bei parallelen Geraden erstellst du eine Hilfsebene H, die senkrecht zu beiden Geraden steht. Der Normalvektor ist ein Vielfaches des gemeinsamen Richtungsvektors. Dann berechnest du den Abstand zwischen einem Punkt der ersten Gerade und dem Schnittpunkt der zweiten Gerade mit der Hilfsebene.

Windschiefe Geraden sind kniffliger. Du hast zwei Methoden: Entweder über eine Hilfsebene (eine Gerade liegt in H, die andere ist parallel dazu) oder über Orthogonalität.

Bei der Orthogonalitätsmethode suchst du die kürzeste Verbindung zwischen den Geraden. Diese Strecke ist orthogonal zu beiden Richtungsvektoren.

Profi-Level: Du stellst allgemeine Punkte auf beiden Geraden auf und nutzt die Bedingung, dass der Verbindungsvektor zu beiden Richtungsvektoren orthogonal ist!

Das Kreuzprodukt aus beiden Richtungsvektoren gibt dir übrigens direkt den Normalvektor für die Hilfsebene.

Wir dachten schon, du fragst nie...

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

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Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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Paul T

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