Vektoren - Die Grundlagen

Vektoren sind wie Pfeile im Raum, die dir Richtung und Länge angeben. Der Vektor AB zeigt von Punkt A zu Punkt B und wird berechnet mit den Koordinaten: B minus A.

Es gibt ein paar spezielle Vektoren, die du kennen solltest. Der Nullvektor hat nur Nullen drin, der Einheitsvektor hat die Länge 1, und der Gegenvektor zeigt in die entgegengesetzte Richtung.

Orthogonale Vektoren stehen senkrecht aufeinander - das erkennst du daran, dass ihr Skalarprodukt null ergibt. Den Betrag eines Vektors berechnest du mit der Wurzel aus der Summe der Quadrate seiner Komponenten.

Merktipp: Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn a⃗ · b⃗ = 0 ist!

Rechenoperationen und geometrische Körper

Mit Vektoren kannst du genauso rechnen wie mit normalen Zahlen - nur komponentenweise. Addition und Subtraktion machst du einfach koordinatenweise, bei der Skalar-Multiplikation multiplizierst du jeden Wert mit der Zahl.

Das Vektorprodukt ist komplizierter, aber super nützlich für Flächenberechnungen. Damit berechnest du auch Volumina von Pyramiden und Spaten. Eine Pyramide hat das Volumen V = 1/6 ||(a⃗ × b⃗) · c⃗|| bei drei Kanten, bei vier Kanten teilst du durch 3.

Für Dreiecke und Parallelogramme brauchst du das Vektorprodukt für die Flächenberechnung. Die Formel A = 1/2 ||a⃗ × b⃗|| für Dreiecke solltest du dir gut merken.

Praxistipp: Das Vektorprodukt liefert immer einen Vektor, der senkrecht zu beiden ursprünglichen Vektoren steht!

Geometrische Formen und Winkelberechnung

Parallelogramme haben je zwei gleichlange Seiten, bei einer Raute sind sogar alle vier Seiten gleich lang. Ein Rechteck hat zusätzlich rechte Winkel, und beim Quadrat ist alles gleich - alle Seiten und alle Winkel.

Den Schwerpunkt eines Dreiecks findest du, indem du alle drei Koordinaten addierst und durch drei teilst. Bei einem Drachenviereck sind die Diagonalen orthogonal zueinander.

Winkel zwischen Vektoren berechnest du mit dem Kosinus: cos(α) = (a⃗ · b⃗)/(|a⃗| · |b⃗|). Das Wichtige ist: Bei gleichen Objekten $Vektor-Vektor, Ebene-Ebene$ verwendest du Kosinus, bei verschiedenen $Gerade-Ebene$ Sinus.

Eselsbrücke: Gleiches = Kosinus, Verschiedenes = Sinus!

Geradengleichungen und Lagebeziehungen

Eine Gerade beschreibst du mit der Parametergleichung: g: x⃗ = OA⃗ + r·u⃗. Der Punkt A liegt auf der Geraden, u⃗ ist der Richtungsvektor, und r ist der Parameter.

Ebenen haben zwei Richtungsvektoren: E: x⃗ = OA⃗ + r·u⃗ + s·v⃗. Du kannst sie auch als Koordinatengleichung schreiben: ax + by + cz = d. Der Vektor (a, b, c) ist dann der Normalenvektor.

Parallele Geraden haben proportionale Richtungsvektoren: u⃗₁ = k · u⃗₂. Identische Geraden sind parallel und haben zusätzlich einen gemeinsamen Punkt. Windschiefe Geraden sind nicht parallel und schneiden sich nicht.

Wichtig: Windschief bedeutet: Die Geraden liegen in verschiedenen Ebenen und haben keine gemeinsamen Punkte!

Schnittpunkte und spezielle Punkte

Ob sich eine Gerade mit einer Ebene schneidet, findest du heraus, indem du die Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzt. Bekommst du einen Wert für r, schneiden sie sich. Kürzt sich r weg, liegt die Gerade in der Ebene oder ist parallel.

Durchstoßpunkte sind die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen. Für die x-y-Ebene setzt du z = 0, für die x-z-Ebene y = 0, und für die y-z-Ebene x = 0.

Lotgeraden stehen senkrecht zu einer Ebene. Ihr Richtungsvektor ist der Normalenvektor der Ebene: g: x⃗ = OP⃗ + r·n⃗. Achsenabschnitte einer Ebene findest du, indem du jeweils zwei Koordinaten null setzt.

Tipp: Durchstoßpunkte helfen dir beim Zeichnen von Geraden im Koordinatensystem!

Abstände berechnen

Den Abstand zwischen zwei Punkten berechnest du mit der guten alten Abstandsformel: |AB| = √$(xb-xa)² + (yb-ya)² + (zb-za)²$. Das ist im Grunde der Satz des Pythagoras in 3D.

Für den Abstand eines Punktes zu einer Ebene gibt's eine praktische Formel: d(P;E) = |ax_p + by_p + cz_p - d|/√$a² + b² + c²$. Du setzt einfach den Punkt in die Koordinatengleichung ein und teilst durch die Länge des Normalenvektors.

Diese Abstandsformeln brauchst du oft in Klausuren, also lern sie gut auswendig. Sie funktionieren immer, egal wie kompliziert die Aufgabe aussieht.

Merkhilfe: Der Abstand Punkt-Ebene ist wie der Abstand zu einer Wand - du gehst senkrecht zur Wand!

Analysis - Funktionstypen und Symmetrie

Ganzrationale Funktionen sind deine Standard-Polynome: f(x) = ax^n + ... Funktionen 1. Grades sind linear, 2. Grades quadratisch, und so weiter. Je höher der Grad, desto mehr "Wellen" kann die Funktion haben.

Daneben gibt es Potenzfunktionen wie f(x) = √x oder f(x) = x^(-1), Exponentialfunktionen wie e^x, und die trigonometrischen Funktionen sin(x), cos(x) und tan(x).

Achsensymmetrie erkennst du daran, dass f(x) = f$-x$ ist - die Funktion hat nur gerade Exponenten. Punktsymmetrie bedeutet f$-x$ = -f(x) - nur ungerade Exponenten und kein absolutes Glied.

Symmetrie-Check: Ersetze x durch -x und schau, was passiert!

Kurvendiskussion - Der komplette Check

Bei einer Kurvendiskussion untersuchst du systematisch alle Eigenschaften einer Funktion. Definitionsbereich und Wertebereich geben an, welche x- und y-Werte erlaubt sind.

Monotonie bedeutet: Wo steigt die Funktion (f'(x) > 0) und wo fällt sie (f'(x) < 0)? Die Krümmung zeigt dir, ob der Graph links- oder rechtsgekrümmt ist.

Extrempunkte findest du, indem du die erste Ableitung null setzt. Ist die zweite Ableitung negativ, hast du ein Maximum, ist sie positiv, ein Minimum. Wendepunkte entstehen, wo die zweite Ableitung null ist.

Tangenten haben die Steigung f'(x₀), Normalen stehen senkrecht dazu mit der Steigung -1/f'(x₀).

Ableitungs-Trick: f'(x) = 0 für Extrema, f''(x) = 0 für Wendepunkte!

Integralrechnung - Flächen und Stammfunktionen

Ableiten und Integrieren sind Gegensätze. Die wichtigsten Ableitungsregeln: Faktorregel, Summenregel und Produktregel. Bei Stammfunktionen erhöhst du den Exponenten um 1 und teilst durch den neuen Exponenten.

Bestimmte Integrale ∫[a bis b] f(x)dx = F(b) - F(a) berechnen Flächen zwischen Graph und x-Achse. Unbestimmte Integrale sind die Menge aller Stammfunktionen mit einer Konstanten C.

Flächen zwischen Graphen berechnest du mit der Differenzfunktion. Erst die Schnittpunkte bestimmen, dann integrieren. Bei Flächen unter der x-Achse musst du den Betrag nehmen, weil Flächen immer positiv sind.

Integration = umgekehrtes Ableiten: Aus x² wird x³/3!

Rekonstruktion und Extremwertaufgaben

Bei der Rekonstruktion stellst du aus gegebenen Eigenschaften die Funktionsgleichung auf. Die Anzahl der Parameter entspricht der Anzahl der benötigten Gleichungen. Berührpunkte mit der x-Achse bedeuten: f(x) = 0 und f'(x) = 0.

Extremwertaufgaben löst du systematisch: Erst die Hauptbedingung (was soll optimiert werden?), dann die Nebenbedingung (welche Einschränkungen gibt es?). Daraus bildest du die Zielfunktion.

Die Zielfunktion leitest du ab und setzt sie null für die Extrema. Mit der zweiten Ableitung prüfst du, ob es ein Maximum oder Minimum ist. Diese Aufgaben kommen garantiert in der Klausur!

Extremwert-Schema: Hauptbedingung → Nebenbedingung → Zielfunktion → Ableitung → Extrema bestimmen!