Potenzfunktionen, Polynome und Ableitungen
Potenzfunktionen f(x) = a·xⁿ verhalten sich je nach Exponent unterschiedlich. Gerade Exponenten sind achsensymmetrisch zur y-Achse, ungerade punktsymmetrisch zum Ursprung. Bei negativen Exponenten aufpassen - der Definitionsbereich schließt die Null aus!
Polynomfunktionen wie f(x) = ax³ + bx² + cx + d haben maximal so viele Nullstellen wie ihr Grad angibt. Lösungsmethoden sind Ausklammern, Substitution z.B.z=x2beix4−Termen oder die Linearfaktordarstellung.
Die Ableitung f'(x) gibt die momentane Änderungsrate an - also die Steigung der Tangente an jedem Punkt. Ableitungsregeln sind dein Werkzeug: Potenzregel f(x) = xⁿ → f'(x) = n·xⁿ⁻¹, Summenregel (Einzeln ableiten), Faktorregel (Konstante bleibt stehen).
Merksatz: Die mittlere Änderungsrate ist die Steigung der Sekante, die momentane Änderungsrate die Steigung der Tangente!
Symmetrien erkennst du so: f−x = f(x) bedeutet Achsensymmetrie, f−x = -f(x) bedeutet Punktsymmetrie. Das Grenzverhalten entspricht immer dem Term mit dem höchsten Exponenten.