Stammfunktionen und Ableitungen

Stammfunktionen zu bilden ist wie das Rückwärtsgehen der Ableitung. Bei einer Potenzfunktion f(x) = a * x^m lautet die Stammfunktion F(x) = $a/(m+1)$ * x^$m+1$ + C. Der Exponent wird um 1 erhöht und durch diesen neuen Wert geteilt.

Beispiele machen es klarer: Für f(x) = -x^3 + 3x^2 ist die Stammfunktion F(x) = -(1/4) * x^4 + x^3. Bei Wurzelfunktionen wie f(x) = x^(1/2) wird daraus F(x) = (2/3) * x^(3/2).

Bei E-Funktionen gilt eine Besonderheit: e^x bleibt beim Ableiten konstant! Die Stammfunktion von f(x) = e^x ist einfach F(x) = e^x + c. Bei komplexeren Ausdrücken wie f(x) = e^{3x} wird die Stammfunktion F(x) = (1/3) * e^{3x} + c.

💡 Merke: Die E-Funktion hat keine Nullstelle, da eine Potenz niemals 0 sein kann. Das macht sie besonders für Wachstums- und Zerfallsprozesse!

Beim Ableiten gibt es wichtige Regeln zu beachten:

• Konstante fallen weg: f(x) = 2x + 5 wird zu f'(x) = 2
• Bei Potenzen: Exponent mit der Zahl vor x multiplizieren und dann um 1 verringern
• Produktregel bei Multiplikationen: f'(x) = u'v + v'u
• Kettenregel bei Verschachtelungen: innere mal äußere Ableitung

Für das praktische Rechnen sind auch Einheitenumrechnungen wichtig. Denk an die Zehnerpotenzen zwischen Längeneinheiten (mm, cm, dm, m, km) und Masseneinheiten (mg, g, kg, t).