Grundlagen der Kurvendiskussion

Die Kurvendiskussion hilft dir dabei, das komplette Verhalten einer Funktion zu verstehen. Du untersuchst systematisch verschiedene Eigenschaften wie Nullstellen, Extrempunkte und Symmetrien.

Nullstellen findest du, indem du f$x$ = 0 setzt und nach x auflöst - das sind die Schnittpunkte mit der x-Achse. Den y-Achsenabschnitt berechnest du einfach durch f(0).

Für Symmetrie prüfst du: Bei Achsensymmetrie gilt f$x$ = f$-x$, bei Punktsymmetrie gilt f$-x$ = -f$x$. Das spart dir später viel Rechenarbeit!

Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) findest du über die erste Ableitung: f'$x$ = 0 liefert die x-Werte. Die zweite Ableitung entscheidet dann: f''$x$ < 0 bedeutet Hochpunkt, f''$x$ > 0 bedeutet Tiefpunkt.

Merktipp: Bei Extrempunkten wechselt die Steigung von positiv zu negativ (oder umgekehrt) - deshalb ist f'$x$ = 0!

Wendepunkte entstehen, wo sich das Krümmungsverhalten ändert. Hier suchst du Nullstellen der zweiten Ableitung: f''$x$ = 0. Zur Kontrolle muss f'''$x$ ≠ 0 sein.

Das Monotonieverhalten erkennst du an der ersten Ableitung: f'$x$ > 0 bedeutet streng monoton steigend, f'$x$ < 0 bedeutet streng monoton fallend. Das Krümmungsverhalten zeigt die zweite Ableitung: f''$x$ > 0 ist linksgekrümmt (wie ein Lächeln), f''$x$ < 0 ist rechtsgekrümmt.