Mathe Kurvendiskussion: Eigenschaften und Tipps

Grundlagen der Kurvendiskussion

Die Kurvendiskussion hilft dir dabei, das komplette Verhalten einer Funktion zu verstehen. Du untersuchst systematisch verschiedene Eigenschaften wie Nullstellen, Extrempunkte und Symmetrien.

Nullstellen findest du, indem du f$x$ = 0 setzt und nach x auflöst - das sind die Schnittpunkte mit der x-Achse. Den y-Achsenabschnitt berechnest du einfach durch f(0).

Für Symmetrie prüfst du: Bei Achsensymmetrie gilt f$x$ = f$-x$, bei Punktsymmetrie gilt f$-x$ = -f$x$. Das spart dir später viel Rechenarbeit!

Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) findest du über die erste Ableitung: f'$x$ = 0 liefert die x-Werte. Die zweite Ableitung entscheidet dann: f''$x$ < 0 bedeutet Hochpunkt, f''$x$ > 0 bedeutet Tiefpunkt.

Merktipp: Bei Extrempunkten wechselt die Steigung von positiv zu negativ (oder umgekehrt) - deshalb ist f'$x$ = 0!

Wendepunkte entstehen, wo sich das Krümmungsverhalten ändert. Hier suchst du Nullstellen der zweiten Ableitung: f''$x$ = 0. Zur Kontrolle muss f'''$x$ ≠ 0 sein.

Das Monotonieverhalten erkennst du an der ersten Ableitung: f'$x$ > 0 bedeutet streng monoton steigend, f'$x$ < 0 bedeutet streng monoton fallend. Das Krümmungsverhalten zeigt die zweite Ableitung: f''$x$ > 0 ist linksgekrümmt (wie ein Lächeln), f''$x$ < 0 ist rechtsgekrümmt.