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•
30. Nov. 2025
•
Franziska
@franziska_gp
Funktionen sind überall um uns herum - von der Handy-Rechnung... Mehr anzeigen
Stell dir eine Funktion wie eine perfekte Maschine vor: Du gibst einen x-Wert rein und bekommst immer genau einen y-Wert raus. Das ist das Grundprinzip jeder Funktion.
Eine Funktionsgleichung wie f(x) = 3x² + 5 zeigt dir die Rechenvorschrift. Der Definitionsbereich gibt an, welche x-Werte du einsetzen darfst. Aufpassen musst du bei zwei Dingen: niemals durch null teilen und keine Wurzel aus negativen Zahlen ziehen.
Die Schreibweise ist wichtig: x ∈ D bedeutet "x ist Element des Definitionsbereichs", x ∉ D heißt "x gehört nicht dazu". So weißt du immer, womit du rechnen kannst.
Merktipp: Eine Funktion ist wie ein Automat - ein Input, ein Output, immer zuverlässig!
Der Wertebereich sammelt alle möglichen y-Werte einer Funktion. Bei geraden Exponenten wie x² bekommst du nie negative Ergebnisse, bei ungeraden wie x³ ist alles möglich.
Intervalle helfen dir, Bereiche sauber aufzuschreiben. schließt die Randwerte ein, (a,b) lässt sie weg. Gemischte Schreibweisen wie [a,b) sind auch möglich - praktisch für Definitionslücken.
Die Kurzschreibweisen ℝ⁺ (positive Zahlen ohne null) und ℝ₀⁺ (positive Zahlen mit null) sparst du dir viel Schreibarbeit. In Aufgaben heißen x-Werte oft "Stellen" und y-Werte "Funktionswerte".
Praxistipp: Zeichne dir schwierige Intervalle auf einem Zahlenstrahl - dann siehst du sofort, was gemeint ist!
Lineare Funktionen f(x) = mx + b sind Geraden. Die Steigung m zeigt, wie steil es wird, b ist der y-Achsenabschnitt. Die Nullstelle findest du mit f(x) = 0.
Quadratische Funktionen gibt's in drei Formen: Die allgemeine Form ax² + bx + c, die Scheitelpunktform a² + e und die faktorisierte Form a. Jede Form hat ihre Vorteile je nach Aufgabe.
Nullstellen findest du mit verschiedenen Methoden: pq-Formel, Ausklammern, Wurzelziehen oder direkt aus der faktorisierten Form ablesen. Der Streckfaktor a bestimmt, ob die Parabel gestaucht oder gestreckt wird.
Strategietipp: Wähle die Lösungsmethode je nach gegebener Form - das spart Zeit und Nerven!
Nullstellen zu finden ist wie Detektivarbeit - verschiedene Methoden für verschiedene Fälle. Bei faktorisierten Formen liest du die Nullstellen direkt ab: Wenn a = 0 ist, sind die Nullstellen x = 1 und x = 3.
Der Satz vom Nullprodukt ist dein bester Freund: Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist. Beim Ausklammern ziehst du gemeinsame Faktoren vor die Klammer.
Umformen und Wurzelziehen funktioniert, wenn du die Gleichung auf x² = Zahl bringen kannst. Dann ziehst du einfach die Wurzel und denkst an beide Vorzeichen!
Erfolgstrick: Prüfe deine Nullstellen immer durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung!
Potenzfunktionen f(x) = a·xⁿ verhalten sich je nach Exponent völlig unterschiedlich. Gerade Exponenten (2, 4, 6...) schaffen achsensymmetrische Graphen zur y-Achse, ungerade Exponenten (1, 3, 5...) punktsymmetrische zum Ursprung.
Bei geraden Exponenten sind alle Funktionswerte positiv (für a > 0), bei ungeraden wechselt das Vorzeichen. Der Streckfaktor a bestimmt: |a| > 1 streckt, |a| < 1 staucht, a < 0 spiegelt an der x-Achse.
Alle Potenzfunktionen laufen durch den Ursprung (0|0) und die charakteristischen Punkte (1|a) und . Das Monotonieverhalten hängt vom Exponenten ab.
Visualisierungstipp: Skizziere immer die Grundform zuerst, dann überlege dir die Transformationen!
Potenzfunktionen mit negativen Exponenten f(x) = ax⁻ⁿ sind Hyperbeln. Sie haben eine Definitionslücke bei x = 0, weil du dort durch null teilen würdest.
Diese Definitionslücke teilt den Graph in zwei Äste. Die Koordinatenachsen werden zu Asymptoten - Linien, denen sich der Graph unendlich annähert, ohne sie zu berühren.
Gerade negative Exponenten erzeugen achsensymmetrische Hyperbeln, ungerade negative Exponenten punktsymmetrische. Der Wertebereich ist immer ℝ{0} - alle reellen Zahlen außer null.
Asymptoten-Regel: Die Graphenteile schmiegen sich an beide Koordinatenachsen an, berühren sie aber nie!
Verschiebungen sind einfach: f(x) + e verschiebt nach oben/unten, f nach links/rechts. Aufpassen: Bei x-Verschiebungen ist das Vorzeichen umgedreht!
Streckungen und Stauchungen in y-Richtung: a·f(x) mit |a| > 1 streckt, |a| < 1 staucht. Bei a < 0 kommt noch eine Spiegelung an der x-Achse dazu.
In x-Richtung funktioniert f(b·x) genau umgekehrt: b > 1 staucht den Graph (wird schmaler), 0 < b < 1 streckt ihn (wird breiter). Das verwirrt am Anfang, aber mit Übung wird's automatisch.
Transformations-Trick: Arbeite systematisch: erst Streckungen, dann Verschiebungen - so verlierst du nicht den Überblick!
Transformationen folgen klaren Mustern, die du dir merken kannst. Streckfaktor in y-Richtung: g(x) = a·f(x) - je größer |a|, desto steiler wird der Graph. Bei a < 0 wird zusätzlich gespiegelt.
Transformationen in x-Richtung sind trickreich: g(x) = f(b·x) staucht bei b > 1 und streckt bei 0 < b < 1. Das liegt daran, dass größere b-Werte die x-Werte schneller "durchlaufen".
Die Kombination aller Transformationen: g(x) = a·f + d gibt dir die komplette Kontrolle. Rechne immer von innen nach außen: erst b und c , dann a und d .
Übungsidee: Nimm eine einfache Funktion wie f(x) = x² und probiere verschiedene Parameter aus - so bekommst du ein Gefühl dafür!
Die Sinusfunktion f(x) = sin(x) hat Amplitude 1 und Periode 2π. Mit g(x) = a·sin + d kannst du sie komplett anpassen.
Amplitude ändern: |a| bestimmt die Höhe der Schwingung. Periode ändern: Die neue Periode ist 2π/|b| - größeres b macht schnellere Schwingungen, kleineres b langsamere.
Phasenverschiebung: c verschiebt die komplette Funktion nach links (c > 0) oder rechts (c < 0). Vertikalverschiebung: d hebt oder senkt die Mittellinie der Schwingung.
Sinus-Tipp: Bei trigonometrischen Funktionen hilft es, sich die Transformationen als Veränderungen einer Schwingung vorzustellen!
Ganzrationale Funktionen sind die "Allrounder" unter den Funktionen: f(x) = aₙxⁿ + ... + a₁x + a₀. Der höchste Exponent n bestimmt den Grad, der Leitkoeffizient aₙ das Verhalten für große x-Werte.
Das absolute Glied a₀ ist der y-Achsenabschnitt - den liest du direkt ab. Der Definitionsbereich ist immer ℝ, da du keine problematischen Operationen hast.
Je höher der Grad, desto mehr "Wendungen" kann der Graph haben. Polynome sind super wichtig, weil sie viele reale Phänomene gut beschreiben können.
Polynome-Power: Diese Funktionen können fast jede beliebige Form annehmen - deshalb sind sie in der Mathematik so beliebt!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
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Franziska
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Funktionen sind überall um uns herum - von der Handy-Rechnung bis zur Flugbahn eines Balls. Hier lernst du, wie verschiedene Funktionsarten aufgebaut sind und wie du sie verstehst und verwendest.
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Stell dir eine Funktion wie eine perfekte Maschine vor: Du gibst einen x-Wert rein und bekommst immer genau einen y-Wert raus. Das ist das Grundprinzip jeder Funktion.
Eine Funktionsgleichung wie f(x) = 3x² + 5 zeigt dir die Rechenvorschrift. Der Definitionsbereich gibt an, welche x-Werte du einsetzen darfst. Aufpassen musst du bei zwei Dingen: niemals durch null teilen und keine Wurzel aus negativen Zahlen ziehen.
Die Schreibweise ist wichtig: x ∈ D bedeutet "x ist Element des Definitionsbereichs", x ∉ D heißt "x gehört nicht dazu". So weißt du immer, womit du rechnen kannst.
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Der Wertebereich sammelt alle möglichen y-Werte einer Funktion. Bei geraden Exponenten wie x² bekommst du nie negative Ergebnisse, bei ungeraden wie x³ ist alles möglich.
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Quadratische Funktionen gibt's in drei Formen: Die allgemeine Form ax² + bx + c, die Scheitelpunktform a² + e und die faktorisierte Form a. Jede Form hat ihre Vorteile je nach Aufgabe.
Nullstellen findest du mit verschiedenen Methoden: pq-Formel, Ausklammern, Wurzelziehen oder direkt aus der faktorisierten Form ablesen. Der Streckfaktor a bestimmt, ob die Parabel gestaucht oder gestreckt wird.
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Potenzfunktionen f(x) = a·xⁿ verhalten sich je nach Exponent völlig unterschiedlich. Gerade Exponenten (2, 4, 6...) schaffen achsensymmetrische Graphen zur y-Achse, ungerade Exponenten (1, 3, 5...) punktsymmetrische zum Ursprung.
Bei geraden Exponenten sind alle Funktionswerte positiv (für a > 0), bei ungeraden wechselt das Vorzeichen. Der Streckfaktor a bestimmt: |a| > 1 streckt, |a| < 1 staucht, a < 0 spiegelt an der x-Achse.
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Potenzfunktionen mit negativen Exponenten f(x) = ax⁻ⁿ sind Hyperbeln. Sie haben eine Definitionslücke bei x = 0, weil du dort durch null teilen würdest.
Diese Definitionslücke teilt den Graph in zwei Äste. Die Koordinatenachsen werden zu Asymptoten - Linien, denen sich der Graph unendlich annähert, ohne sie zu berühren.
Gerade negative Exponenten erzeugen achsensymmetrische Hyperbeln, ungerade negative Exponenten punktsymmetrische. Der Wertebereich ist immer ℝ{0} - alle reellen Zahlen außer null.
Asymptoten-Regel: Die Graphenteile schmiegen sich an beide Koordinatenachsen an, berühren sie aber nie!
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Verschiebungen sind einfach: f(x) + e verschiebt nach oben/unten, f nach links/rechts. Aufpassen: Bei x-Verschiebungen ist das Vorzeichen umgedreht!
Streckungen und Stauchungen in y-Richtung: a·f(x) mit |a| > 1 streckt, |a| < 1 staucht. Bei a < 0 kommt noch eine Spiegelung an der x-Achse dazu.
In x-Richtung funktioniert f(b·x) genau umgekehrt: b > 1 staucht den Graph (wird schmaler), 0 < b < 1 streckt ihn (wird breiter). Das verwirrt am Anfang, aber mit Übung wird's automatisch.
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Transformationen in x-Richtung sind trickreich: g(x) = f(b·x) staucht bei b > 1 und streckt bei 0 < b < 1. Das liegt daran, dass größere b-Werte die x-Werte schneller "durchlaufen".
Die Kombination aller Transformationen: g(x) = a·f + d gibt dir die komplette Kontrolle. Rechne immer von innen nach außen: erst b und c , dann a und d .
Übungsidee: Nimm eine einfache Funktion wie f(x) = x² und probiere verschiedene Parameter aus - so bekommst du ein Gefühl dafür!
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Die Sinusfunktion f(x) = sin(x) hat Amplitude 1 und Periode 2π. Mit g(x) = a·sin + d kannst du sie komplett anpassen.
Amplitude ändern: |a| bestimmt die Höhe der Schwingung. Periode ändern: Die neue Periode ist 2π/|b| - größeres b macht schnellere Schwingungen, kleineres b langsamere.
Phasenverschiebung: c verschiebt die komplette Funktion nach links (c > 0) oder rechts (c < 0). Vertikalverschiebung: d hebt oder senkt die Mittellinie der Schwingung.
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Erklärung zu Potenzfunktionen, deren Verschiebungen und den verschiedenen Regressionstypen. Er behandelt die Parameter der Funktionen, die grafische Darstellung und die Erstellung von Prognosen anhand von Daten. Ideal für Schüler, die sich auf Mathematikprüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis von Funktionstypen vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die wesentlichen Konzepte der Funktionen, einschließlich linearer, quadratischer und exponentieller Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt Nullstellen, y-Achsenabschnitte, Schnittpunkte und die Steigung von Funktionen. Ideal für Schüler der 9. Klasse, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis von mathematischen Funktionen vertiefen möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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