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mieke
1.12.2025
Mathe
Mathe:Ableitung/Monotonie/Krümmung/Extrem- und Wendepunkte
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1. Dez. 2025
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mieke
@mi.2005
Die Differentialrechnung ist eines der wichtigsten Werkzeuge in der Analysis... Mehr anzeigen
Die Ableitung zeigt dir, wie steil eine Funktion an einem bestimmten Punkt ist. Stell dir vor, du fährst mit dem Auto einen Berg hoch – die Ableitung sagt dir, wie steil es gerade wird.
Für die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Punkten A und B verwendest du die Formel: m = /. Das ist wie die Durchschnittsgeschwindigkeit auf einer Strecke. Die Verbindungslinie zwischen den Punkten nennst du Sekante.
Die momentane Änderungsrate ist dagegen die Steigung genau in einem Punkt – wie die Geschwindigkeit auf dem Tacho in diesem Moment. Diese entspricht der Steigung der Tangente am Graphen.
Merkhilfe: Sekante = zwischen zwei Punkten, Tangente = berührt nur einen Punkt!
Das Ableiten wird viel einfacher, wenn du die wichtigsten Regeln drauf hast. Die Potenzregel ist dabei dein bester Freund: f(x) = x^n wird zu f'(x) = n·x^.
Mit der Faktorregel ziehst du konstante Faktoren einfach vor die Ableitung. Die Summenregel bedeutet: Du leitest jeden Summanden einzeln ab – super praktisch bei komplexeren Funktionen.
Wichtige Ableitungen solltest du auswendig können: Die Ableitung von sin(x) ist cos(x), die von cos(x) ist -sin(x). Konstanten werden zu null, x wird zu 1.
Tipp: Übe die Potenzregel zuerst – damit löst du schon 80% aller Aufgaben!
Die Tangentengleichung lautet: y = f'(a)· + f(a). Hier brauchst du den Punkt a, den Funktionswert f(a) und die Steigung f'(a).
Monotonie beschreibt, ob eine Funktion steigt oder fällt. Der Monotoniesatz macht es dir einfach: Ist f'(x) > 0, dann steigt die Funktion. Ist f'(x) < 0, dann fällt sie.
Um Monotonieintervalle zu finden, suchst du zuerst die Nullstellen von f'(x). Diese teilen den Graphen in Bereiche auf. Dann testest du mit Werten zwischen diesen Nullstellen, ob f'(x) positiv oder negativ ist.
Die Krümmung verrät dir, ob der Graph wie ein Lächeln (linksgekrümmt) oder wie ein Frown (rechtsgekrümmt) aussieht. Hierfür brauchst du die zweite Ableitung f''(x): f''(x) > 0 bedeutet linksgekrümmt, f''(x) < 0 bedeutet rechtsgekrümmt.
Eselsbrücke: f' positiv = Funktion steigt, f'' positiv = Graph lächelt !
Extrempunkte findest du, wo f'(x) = 0 ist. Aber Vorsicht: Nicht jede Nullstelle von f' ist auch ein Extrempunkt! Du musst den Vorzeichenwechsel prüfen.
Für Wendepunkte setzt du f''(x) = 0 und prüfst, ob f'''(x) ≠ 0 ist. Ein Wendepunkt ist die Stelle, wo sich die Krümmung ändert – vom Lächeln zum Frown oder umgekehrt.
Ein Sattelpunkt ist ein besonderer Wendepunkt, bei dem auch f'(x) = 0 ist. Hier hat die Funktion weder ein Maximum noch ein Minimum, sondern nur einen "waagerechten Knick".
Prüfschema: 1) f'(x) = 0 für Extremstellen, 2) Vorzeichenwechsel prüfen, 3) f''(x) = 0 für Wendestellen, 4) f'''(x) ≠ 0 bestätigen.
Die praktische Anwendung zeigt sich oft in Geschwindigkeits- und Beschleunigungsproblemen: f'(x) ist die Geschwindigkeit, f''(x) die Beschleunigung.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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mieke
@mi.2005
Die Differentialrechnung ist eines der wichtigsten Werkzeuge in der Analysis – sie hilft dir zu verstehen, wie sich Funktionen verändern und wo sie ihre Höhen und Tiefen haben. Mit diesen Grundlagen kannst du sowohl in der Schule als auch später... Mehr anzeigen
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Die Ableitung zeigt dir, wie steil eine Funktion an einem bestimmten Punkt ist. Stell dir vor, du fährst mit dem Auto einen Berg hoch – die Ableitung sagt dir, wie steil es gerade wird.
Für die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Punkten A und B verwendest du die Formel: m = /. Das ist wie die Durchschnittsgeschwindigkeit auf einer Strecke. Die Verbindungslinie zwischen den Punkten nennst du Sekante.
Die momentane Änderungsrate ist dagegen die Steigung genau in einem Punkt – wie die Geschwindigkeit auf dem Tacho in diesem Moment. Diese entspricht der Steigung der Tangente am Graphen.
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Das Ableiten wird viel einfacher, wenn du die wichtigsten Regeln drauf hast. Die Potenzregel ist dabei dein bester Freund: f(x) = x^n wird zu f'(x) = n·x^.
Mit der Faktorregel ziehst du konstante Faktoren einfach vor die Ableitung. Die Summenregel bedeutet: Du leitest jeden Summanden einzeln ab – super praktisch bei komplexeren Funktionen.
Wichtige Ableitungen solltest du auswendig können: Die Ableitung von sin(x) ist cos(x), die von cos(x) ist -sin(x). Konstanten werden zu null, x wird zu 1.
Tipp: Übe die Potenzregel zuerst – damit löst du schon 80% aller Aufgaben!
Die Tangentengleichung lautet: y = f'(a)· + f(a). Hier brauchst du den Punkt a, den Funktionswert f(a) und die Steigung f'(a).
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Monotonie beschreibt, ob eine Funktion steigt oder fällt. Der Monotoniesatz macht es dir einfach: Ist f'(x) > 0, dann steigt die Funktion. Ist f'(x) < 0, dann fällt sie.
Um Monotonieintervalle zu finden, suchst du zuerst die Nullstellen von f'(x). Diese teilen den Graphen in Bereiche auf. Dann testest du mit Werten zwischen diesen Nullstellen, ob f'(x) positiv oder negativ ist.
Die Krümmung verrät dir, ob der Graph wie ein Lächeln (linksgekrümmt) oder wie ein Frown (rechtsgekrümmt) aussieht. Hierfür brauchst du die zweite Ableitung f''(x): f''(x) > 0 bedeutet linksgekrümmt, f''(x) < 0 bedeutet rechtsgekrümmt.
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Extrempunkte findest du, wo f'(x) = 0 ist. Aber Vorsicht: Nicht jede Nullstelle von f' ist auch ein Extrempunkt! Du musst den Vorzeichenwechsel prüfen.
Für Wendepunkte setzt du f''(x) = 0 und prüfst, ob f'''(x) ≠ 0 ist. Ein Wendepunkt ist die Stelle, wo sich die Krümmung ändert – vom Lächeln zum Frown oder umgekehrt.
Ein Sattelpunkt ist ein besonderer Wendepunkt, bei dem auch f'(x) = 0 ist. Hier hat die Funktion weder ein Maximum noch ein Minimum, sondern nur einen "waagerechten Knick".
Prüfschema: 1) f'(x) = 0 für Extremstellen, 2) Vorzeichenwechsel prüfen, 3) f''(x) = 0 für Wendestellen, 4) f'''(x) ≠ 0 bestätigen.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Marcus B
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