Natürliche Exponentialfunktionen und e-Funktion

Die e-Funktion f(x) = e^x ist deine neue beste Freundin in der Analysis. Die Basis ist die Euler'sche Zahl e ≈ 2,718 - eine irrationale Zahl, die überall in der Natur auftaucht.

Das Geniale an der e-Funktion: f'(x) = e^x - die Ableitung ist identisch mit der ursprünglichen Funktion! Das macht Berechnungen super einfach. Genauso verhält es sich mit der Stammfunktion: F(x) = e^x + C.

Bei zusammengesetzten Funktionen wie f(x) = 5e^(2x) wendest du die Kettenregel an. Der innere Faktor wird mit multipliziert: f'(x) = 5 · 2 · e^(2x) = 10e^(2x).

Der natürliche Logarithmus ln(x) ist die Umkehrfunktion zur e-Funktion. Was e^x macht, macht ln(x) rückgängig - wie bei einem Zaubertrick!

Merktipp: Bei e^x bleibt nach dem Ableiten alles beim Alten - nur bei zusammengesetzten Funktionen kommt der innere Faktor dazu!

Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis a^x lassen sich immer als e-Funktionen schreiben: a^x = e^(x·ln(a)). Für die Ableitung gilt dann: f'(x) = a^x · ln(a). So kannst du jede Exponentialfunktion ableiten, auch wenn die Basis nicht e ist.