Natürliche Exponentialfunktionen und e-Funktion

Die e-Funktion f$x$ = e^x ist deine neue beste Freundin in der Analysis. Die Basis ist die Euler'sche Zahl e ≈ 2,718 - eine irrationale Zahl, die überall in der Natur auftaucht.

Das Geniale an der e-Funktion: f'$x$ = e^x - die Ableitung ist identisch mit der ursprünglichen Funktion! Das macht Berechnungen super einfach. Genauso verhält es sich mit der Stammfunktion: F$x$ = e^x + C.

Bei zusammengesetzten Funktionen wie f$x$ = 5e^(2x) wendest du die Kettenregel an. Der innere Faktor wird mit multipliziert: f'$x$ = 5 · 2 · e^(2x) = 10e^(2x).

Der natürliche Logarithmus ln$x$ ist die Umkehrfunktion zur e-Funktion. Was e^x macht, macht ln$x$ rückgängig - wie bei einem Zaubertrick!

Merktipp: Bei e^x bleibt nach dem Ableiten alles beim Alten - nur bei zusammengesetzten Funktionen kommt der innere Faktor dazu!

Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis a^x lassen sich immer als e-Funktionen schreiben: a^x = e^(x·ln$a$). Für die Ableitung gilt dann: f'$x$ = a^x · ln$a$. So kannst du jede Exponentialfunktion ableiten, auch wenn die Basis nicht e ist.