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1.079
•
12. Dez. 2025
•
sina
@.sina.
Die natürliche Exponentialfunktion f(x) = e^x ist eine der wichtigsten... Mehr anzeigen
Die Funktion f(x) = e^x ist eine besondere Exponentialfunktion mit der Eulerschen Zahl e ≈ 2,7 als Basis. Sie hat wichtige Eigenschaften: Sie schneidet die y-Achse bei (0|1), ist monoton steigend und nimmt nur positive Werte an. Für x → +∞ geht f(x) → +∞, und für x → -∞ geht f(x) → 0.
Das Besondere an dieser Funktion ist, dass ihre Ableitungsfunktion wieder sie selbst ist: f'(x) = e^x. Dies macht sie in der Differentialrechnung besonders wertvoll.
Bei Exponentialgleichungen mit e nutzen wir den natürlichen Logarithmus (ln) als Gegenstück. Zum Beispiel: Bei e^x = 7 wenden wir auf beiden Seiten ln an und erhalten x = ln(7) ≈ 1,99. Bei komplexeren Gleichungen wie e^ = 4 lösen wir schrittweise: Erst ln = ln(4), dann x-7 = ln(4) und schließlich x = ln(4) + 7 ≈ 8,39.
Merke dir: Die e-Funktion ist die einzige Funktion, die mit ihrer eigenen Ableitung identisch ist. Diese Eigenschaft macht sie für viele Anwendungen in Naturwissenschaften und Wirtschaft so wichtig!
Bei zusammengesetzten Funktionen mit e^x wendest du die normalen Ableitungsregeln an. Beispielsweise wird f(x) = 2e^x + 3x + 7 zu f'(x) = 2e^x + 3 und f''(x) = 2e^x. Der Term mit e^x bleibt nach der Ableitung erhalten, während konstante Terme verschwinden.
Die Tangentengleichung t(x) = mx + n an eine Funktion lässt sich einfach bestimmen. Du brauchst die Steigung m und einen Punkt (x₀|f(x₀)). Bei f(x) = e^x und x₀ = 0 gilt: f'(0) = e^0 = 1 und f(0) = 1. Daraus folgt n = 1 und somit t(x) = x + 1.
Beim Lösen von e-Funktionsgleichungen ist der natürliche Logarithmus dein wichtigstes Werkzeug. Isoliere zunächst den Term mit e und wende dann ln an. Bei e^(x²) + 1 = 7 subtrahierst du 1, erhältst e^(x²) = 6, dann x² = ln(6) und schließlich x = ±√ln(6) ≈ ±0,97.
Prüfungstipp: Bei Gleichungen mit e-Funktionen ist der Lösungsweg fast immer: Isolieren der e-Funktion → Anwendung des natürlichen Logarithmus → Auflösen nach der Variablen.
Bei komplexeren e-Funktionen brauchst du spezielle Ableitungsregeln. Es gibt drei typische Fälle:
Verkettung: Bei f(x) = e^(7x) ist die äußere Funktion e^x und die innere 7x. Nach der Kettenregel ist f'(x) = e^(7x) · 7 = 7e^(7x). Die Ableitung der inneren Funktion (hier 7) wird mit der äußeren Funktion, angewendet auf die innere , multipliziert.
Produktregel: Bei f(x) = 2x · e^x multiplizierst du zwei Funktionen. Nach der Formel (u·v)' = u'·v + u·v' erhältst du f'(x) = 2·e^x + 2x·e^x = e^x. Hier ist u(x) = 2x und v(x) = e^x.
Kombination: Bei f(x) = ·e^(3x) wendest du beide Regeln an. Mit u(x) = x+2 und v(x) = e^(3x) erhältst du f'(x) = 1·e^(3x) + ·3e^(3x) = e^(3x) = e^(3x).
Übungstipp: Identifiziere immer zuerst, ob es sich um Verkettung, Produkt oder beides handelt, bevor du mit dem Ableiten beginnst. Das spart Zeit und vermeidet Fehler!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
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Samantha Klich
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Timo S
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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sina
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Die natürliche Exponentialfunktion f(x) = e^x ist eine der wichtigsten Funktionen in der Mathematik. Sie basiert auf der Eulerschen Zahl e ≈ 2,718 und hat besondere Eigenschaften, die sie in vielen Anwendungsbereichen unersetzlich machen. In diesen Notizen lernst du, wie... Mehr anzeigen
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Die Funktion f(x) = e^x ist eine besondere Exponentialfunktion mit der Eulerschen Zahl e ≈ 2,7 als Basis. Sie hat wichtige Eigenschaften: Sie schneidet die y-Achse bei (0|1), ist monoton steigend und nimmt nur positive Werte an. Für x → +∞ geht f(x) → +∞, und für x → -∞ geht f(x) → 0.
Das Besondere an dieser Funktion ist, dass ihre Ableitungsfunktion wieder sie selbst ist: f'(x) = e^x. Dies macht sie in der Differentialrechnung besonders wertvoll.
Bei Exponentialgleichungen mit e nutzen wir den natürlichen Logarithmus (ln) als Gegenstück. Zum Beispiel: Bei e^x = 7 wenden wir auf beiden Seiten ln an und erhalten x = ln(7) ≈ 1,99. Bei komplexeren Gleichungen wie e^ = 4 lösen wir schrittweise: Erst ln = ln(4), dann x-7 = ln(4) und schließlich x = ln(4) + 7 ≈ 8,39.
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Bei zusammengesetzten Funktionen mit e^x wendest du die normalen Ableitungsregeln an. Beispielsweise wird f(x) = 2e^x + 3x + 7 zu f'(x) = 2e^x + 3 und f''(x) = 2e^x. Der Term mit e^x bleibt nach der Ableitung erhalten, während konstante Terme verschwinden.
Die Tangentengleichung t(x) = mx + n an eine Funktion lässt sich einfach bestimmen. Du brauchst die Steigung m und einen Punkt (x₀|f(x₀)). Bei f(x) = e^x und x₀ = 0 gilt: f'(0) = e^0 = 1 und f(0) = 1. Daraus folgt n = 1 und somit t(x) = x + 1.
Beim Lösen von e-Funktionsgleichungen ist der natürliche Logarithmus dein wichtigstes Werkzeug. Isoliere zunächst den Term mit e und wende dann ln an. Bei e^(x²) + 1 = 7 subtrahierst du 1, erhältst e^(x²) = 6, dann x² = ln(6) und schließlich x = ±√ln(6) ≈ ±0,97.
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Bei komplexeren e-Funktionen brauchst du spezielle Ableitungsregeln. Es gibt drei typische Fälle:
Verkettung: Bei f(x) = e^(7x) ist die äußere Funktion e^x und die innere 7x. Nach der Kettenregel ist f'(x) = e^(7x) · 7 = 7e^(7x). Die Ableitung der inneren Funktion (hier 7) wird mit der äußeren Funktion, angewendet auf die innere , multipliziert.
Produktregel: Bei f(x) = 2x · e^x multiplizierst du zwei Funktionen. Nach der Formel (u·v)' = u'·v + u·v' erhältst du f'(x) = 2·e^x + 2x·e^x = e^x. Hier ist u(x) = 2x und v(x) = e^x.
Kombination: Bei f(x) = ·e^(3x) wendest du beide Regeln an. Mit u(x) = x+2 und v(x) = e^(3x) erhältst du f'(x) = 1·e^(3x) + ·3e^(3x) = e^(3x) = e^(3x).
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Diese Zusammenfassung behandelt die Grundlagen der Exponentialfunktionen, einschließlich exponentiellem Wachstum und Zerfall, Verdopplungs- und Halbwertszeiten sowie beschränktem Wachstum. Zudem werden die Eigenschaften der Funktion f(x) = e^x und deren Transformationen sowie die Rolle des natürlichen Logarithmus in diesen Kontexten erläutert. Ideal für Schüler, die sich auf das Abitur vorbereiten.
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MatheErfahren Sie alles über den natürlichen Logarithmus und die Ableitungen von Exponentialfunktionen. Diese Zusammenfassung behandelt die Definition von ln, das Lösen von Exponentialgleichungen und die Ableitungen verschiedener Funktionen wie \(e^x\) und \(e^{3x+3}\). Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Julia S
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