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Emelie
7.12.2025
Mathe
Nullstellenberechnung bei ganzrationalen Funktionen
771
•
7. Dez. 2025
•
Emelie
@emelie.nsk
Nullstellen sind die Punkte, wo ein Funktionsgraph die x-Achse schneidet... Mehr anzeigen
Nullstellen findest du immer mit dem Ansatz f(x) = 0. Du setzt die Funktion gleich null und löst nach x auf.
Bei linearen Funktionen (1. Grad) ist es ganz einfach: Du löst eine normale Gleichung. Beispiel: f(x) = 2x + 5 wird zu 0 = 2x + 5, also x = -2,5.
Für quadratische Funktionen (2. Grad) nutzt du die pq-Formel: x₁,₂ = -p/2 ± √. Dabei ist p der Koeffizient vor x und q das konstante Glied.
Merke: Quadratische Funktionen können 0, 1 oder 2 Nullstellen haben - je nachdem, was unter der Wurzel steht!
Bei höheren Funktionen hilft oft das Ausklammern. Wenn alle Terme einen gemeinsamen Faktor haben, klammerst du ihn aus und wendest den Faktorsatz an: Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist.
Beim Ausklammern suchst du immer den kleinsten gemeinsamen Exponenten. Bei f(x) = 5x⁴ + 10x³ - 75x² klammerst du x² aus und erhältst x² = 0.
Jetzt wendest du den Faktorsatz an: x² = 0 gibt dir x = 0, und 5x² + 10x - 75 = 0 löst du mit der pq-Formel.
Die Substitution ist ein Trick bei Funktionen, wo der größte Exponent doppelt so groß ist wie der kleinere. Bei f(x) = x⁴ - 4x² - 5 setzt du z = x² ein.
Tipp: Vergiss die Resubstitution nicht! Nach z₁ = 5 und z₂ = -1 musst du noch x² = 5 und x² = -1 (keine reelle Lösung) berechnen.
Die maximale Anzahl der Nullstellen entspricht dem Grad der Funktion. Eine Funktion 5. Grades kann bis zu 5 Nullstellen haben.
Bei komplizierteren Funktionen wie f(x) = x³ + 10x² + 7x - 18 hilft die Polynomdivision. Zuerst musst du aber eine Nullstelle erraten - probiere meist 1, 2, 3, -1, -2, -3.
Wenn du eine Nullstelle gefunden hast , teilst du die Funktion durch . Das machst du wie eine normale schriftliche Division, nur mit Variablen.
Das Ergebnis der Polynomdivision ist eine Funktion niedrigeren Grades. Hier: x² + 11x + 18. Diese setzt du gleich null und löst mit bekannten Methoden.
Profi-Tipp: Überprüfe deine geratene Nullstelle immer durch Einsetzen in die ursprüngliche Funktion - das Ergebnis muss 0 sein!
So bekommst du alle Nullstellen: x₁ = 1 (geraten), x₂ = -2 und x₃ = -9 .
In der Praxis kombinierst du oft verschiedene Methoden. Bei f(x) = x⁴ - x³ - 2x² klammerst du erst x² aus, dann löst du x² - x - 2 = 0 mit der pq-Formel.
Wenn eine Funktion schon faktorisiert ist wie f(x) = x, wendest du direkt den Faktorsatz an. Jeder Faktor wird null gesetzt: x = 0, x+1 = 0 und x-4 = 0.
Bei Substitutionsaufgaben wie f(x) = x⁴ - 2x² - 3 gehst du systematisch vor: Setze z = x², löse z² - 2z - 3 = 0, dann resubstituiere zu x² = z.
Wichtig: Negative Werte unter der Wurzel bedeuten keine reellen Lösungen - das ist völlig normal und kein Fehler!
Mit diesen Methoden kannst du praktisch jede ganzrationale Funktion knacken. Übung macht hier wirklich den Meister!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Emelie
@emelie.nsk
Nullstellen sind die Punkte, wo ein Funktionsgraph die x-Achse schneidet - und sie zu finden ist eine der wichtigsten Fähigkeiten in Mathe. Je nach Art der Funktion gibt es verschiedene Methoden, die du systematisch anwenden kannst.
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Nullstellen findest du immer mit dem Ansatz f(x) = 0. Du setzt die Funktion gleich null und löst nach x auf.
Bei linearen Funktionen (1. Grad) ist es ganz einfach: Du löst eine normale Gleichung. Beispiel: f(x) = 2x + 5 wird zu 0 = 2x + 5, also x = -2,5.
Für quadratische Funktionen (2. Grad) nutzt du die pq-Formel: x₁,₂ = -p/2 ± √. Dabei ist p der Koeffizient vor x und q das konstante Glied.
Merke: Quadratische Funktionen können 0, 1 oder 2 Nullstellen haben - je nachdem, was unter der Wurzel steht!
Bei höheren Funktionen hilft oft das Ausklammern. Wenn alle Terme einen gemeinsamen Faktor haben, klammerst du ihn aus und wendest den Faktorsatz an: Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist.
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Beim Ausklammern suchst du immer den kleinsten gemeinsamen Exponenten. Bei f(x) = 5x⁴ + 10x³ - 75x² klammerst du x² aus und erhältst x² = 0.
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Die Substitution ist ein Trick bei Funktionen, wo der größte Exponent doppelt so groß ist wie der kleinere. Bei f(x) = x⁴ - 4x² - 5 setzt du z = x² ein.
Tipp: Vergiss die Resubstitution nicht! Nach z₁ = 5 und z₂ = -1 musst du noch x² = 5 und x² = -1 (keine reelle Lösung) berechnen.
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Das Ergebnis der Polynomdivision ist eine Funktion niedrigeren Grades. Hier: x² + 11x + 18. Diese setzt du gleich null und löst mit bekannten Methoden.
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Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
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MatheApp Store
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Anna
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