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Methoden der höheren Analysis

Integration durch Teilintegration

Mathe1.140Aktualisiert 25. Sept. 20262 Seiten

Partielle Integration einfach erklärt

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Die partielle Integration ist deine Rettung, wenn du Integrale von Produkten lösen musst, die mit normalen Methoden nicht funktionieren. Sie ist quasi das Gegenstück zur Produktregel beim Ableiten und hilft dir dabei, komplizierte Integrale in einfachere Teile zu zerlegen.
Partielle Integration – Seite 1

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Partielle Integration - Die Grundlagen

Die partielle Integration verwendest du immer dann, wenn du ein Produkt aus zwei Funktionen integrieren musst. Die Formel lautet: ∫u(x)⋅v′(x) dx=u(x)⋅v(x)−∫u′(x)⋅v(x) dx\int u(x)\cdot v'(x)\ dx = u(x)\cdot v(x) - \int u'(x)\cdot v(x)\ dx

Das Geheimnis liegt in der richtigen Aufteilung: Du musst geschickt entscheiden, welcher Teil u(x)u(x) und welcher v′(x)v'(x) wird. Meistens wählst du als u(x)u(x) die Funktion, die beim Ableiten einfacher wird.

Beispiel mit Exponentialfunktion: Bei ∫2x⋅e2x dx\int 2x\cdot e^{2x}\ dx setzt du u(x)=2xu(x) = 2x (wird zu u′(x)=2u'(x) = 2) und v′(x)=e2xv'(x) = e^{2x} (wird zu v(x)=12e2xv(x) = \frac{1}{2}e^{2x}). Nach Einsetzen in die Formel und Vereinfachen erhältst du e2x(x−12)e^{2x}(x-\frac{1}{2}).

Merktipp: Konstanten kannst du immer vor das Integral ziehen - das macht die Rechnung übersichtlicher!

Partielle Integration – Seite 2

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Spezielle Funktionstypen meistern

Bei trigonometrischen Funktionen wie ∫x⋅cos⁡(x) dx\int x \cdot \cos(x)\ dx wählst du u=xu = x und v′=cos⁡(x)v' = \cos(x). Das Ergebnis ist x⋅sin⁡(x)+cos⁡(x)x \cdot \sin(x) + \cos(x) - ziemlich elegant, oder?

Logarithmus-Funktionen haben einen besonderen Trick: ln⁡(x)\ln(x) wird fast immer als uu gewählt, weil es keine einfache Stammfunktion gibt. Bei ∫x⋅ln⁡(x) dx\int x \cdot \ln(x)\ dx führt das zu 0,5x2⋅ln⁡(x)−0,25x20{,}5x^2 \cdot \ln(x) - 0{,}25x^2.

Manchmal musst du kreativ werden: Bei Integralen wie ∫sin⁡(x)⋅cos⁡(x) dx\int \sin(x) \cdot \cos(x)\ dx oder ∫ln⁡(x)x dx\int \frac{\ln(x)}{x}\ dx führt die partielle Integration zu einer Gleichung, die du nach dem ursprünglichen Integral auflösen kannst. Das Ergebnis: sin⁡2(x)2\frac{\sin^2(x)}{2} bzw. ln⁡2(x)2\frac{\ln^2(x)}{2}.

Profi-Trick: Wenn das gleiche Integral auf beiden Seiten steht, kannst du es wie eine normale Gleichung nach dem Integral auflösen!

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