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Methoden der höheren Analysis

Integration durch Teilintegration

MatheMathe1.136 aufrufe·Aktualisiert 3. Sept. 2026·2 Seiten

Partielle Integration einfach erklärt

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Die partielle Integrationist deine Rettung, wenn du Integrale von...

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Partielle Integration – Seite 1

Partielle Integration - Die Grundlagen

Die partielle Integration verwendest du immer dann, wenn du ein Produkt aus zwei Funktionen integrieren musst. Die Formel lautet: ∫u(x)⋅v′(x) dx=u(x)⋅v(x)−∫u′(x)⋅v(x) dx\int u(x)\cdot v'(x)\ dx = u(x)\cdot v(x) - \int u'(x)\cdot v(x)\ dx

Das Geheimnis liegt in der richtigen Aufteilung: Du musst geschickt entscheiden, welcher Teil u(x)u(x) und welcher v′(x)v'(x) wird. Meistens wählst du als u(x)u(x) die Funktion, die beim Ableiten einfacher wird.

Beispiel mit Exponentialfunktion: Bei ∫2x⋅e2x dx\int 2x\cdot e^{2x}\ dx setzt du u(x)=2xu(x) = 2x (wird zu u′(x)=2u'(x) = 2) und v′(x)=e2xv'(x) = e^{2x} (wird zu v(x)=12e2xv(x) = \frac{1}{2}e^{2x}). Nach Einsetzen in die Formel und Vereinfachen erhältst du e2x(x−12)e^{2x}(x-\frac{1}{2}).

Merktipp: Konstanten kannst du immer vor das Integral ziehen - das macht die Rechnung übersichtlicher!

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Partielle Integration – Seite 2

Spezielle Funktionstypen meistern

Bei trigonometrischen Funktionen wie ∫x⋅cos⁡(x) dx\int x \cdot \cos(x)\ dx wählst du u=xu = x und v′=cos⁡(x)v' = \cos(x). Das Ergebnis ist x⋅sin⁡(x)+cos⁡(x)x \cdot \sin(x) + \cos(x) - ziemlich elegant, oder?

Logarithmus-Funktionen haben einen besonderen Trick: ln⁡(x)\ln(x) wird fast immer als uu gewählt, weil es keine einfache Stammfunktion gibt. Bei ∫x⋅ln⁡(x) dx\int x \cdot \ln(x)\ dx führt das zu 0,5x2⋅ln⁡(x)−0,25x20{,}5x^2 \cdot \ln(x) - 0{,}25x^2.

Manchmal musst du kreativ werden: Bei Integralen wie ∫sin⁡(x)⋅cos⁡(x) dx\int \sin(x) \cdot \cos(x)\ dx oder ∫ln⁡(x)x dx\int \frac{\ln(x)}{x}\ dx führt die partielle Integration zu einer Gleichung, die du nach dem ursprünglichen Integral auflösen kannst. Das Ergebnis: sin⁡2(x)2\frac{\sin^2(x)}{2} bzw. ln⁡2(x)2\frac{\ln^2(x)}{2}.

Profi-Trick: Wenn das gleiche Integral auf beiden Seiten steht, kannst du es wie eine normale Gleichung nach dem Integral auflösen!

Wir dachten schon, du fragst nie...

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