Mathematik

Methoden der höheren Analysis

Integration durch Teilintegration

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Aktualisiert Mar 24, 2026

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2 Seiten

Partielle Integration einfach erklärt

Nick

@profstyx

Die partielle Integrationist deine Rettung, wenn du Integrale von... Mehr anzeigen

# Partielle Integration

Die "Partielle Integration" ist veranfache ausgedrücht das Gegenteil der Produitrepel.
So leibet de Prodlitsegel ei

Partielle Integration - Die Grundlagen

Die partielle Integration verwendest du immer dann, wenn du ein Produkt aus zwei Funktionen integrieren musst. Die Formel lautet: $\int u(x)\cdot v'(x)\ dx = u(x)\cdot v(x) - \int u'(x)\cdot v(x)\ dx$

Das Geheimnis liegt in der richtigen Aufteilung: Du musst geschickt entscheiden, welcher Teil $u(x)$ und welcher $v'(x)$ wird. Meistens wählst du als $u(x)$ die Funktion, die beim Ableiten einfacher wird.

Beispiel mit Exponentialfunktion: Bei $\int 2x\cdot e^{2x}\ dx$ setzt du $u(x) = 2x$ $wird zu $u'(x) = 2$$ und $v'(x) = e^{2x}$ $wird zu $v(x) = \frac{1}{2}e^{2x}$$ . Nach Einsetzen in die Formel und Vereinfachen erhältst du $e^{2x}(x-\frac{1}{2})$ .

Merktipp: Konstanten kannst du immer vor das Integral ziehen - das macht die Rechnung übersichtlicher!

Spezielle Funktionstypen meistern

Bei trigonometrischen Funktionen wie $\int x \cdot \cos(x)\ dx$ wählst du $u = x$ und $v' = \cos(x)$ . Das Ergebnis ist $x \cdot \sin(x) + \cos(x)$ - ziemlich elegant, oder?

Logarithmus-Funktionen haben einen besonderen Trick: $\ln(x)$ wird fast immer als $u$ gewählt, weil es keine einfache Stammfunktion gibt. Bei $\int x \cdot \ln(x)\ dx$ führt das zu $0{,}5x^2 \cdot \ln(x) - 0{,}25x^2$.

Manchmal musst du kreativ werden: Bei Integralen wie $\int \sin(x) \cdot \cos(x)\ dx$ oder $\int \frac{\ln(x)}{x}\ dx$ führt die partielle Integration zu einer Gleichung, die du nach dem ursprünglichen Integral auflösen kannst. Das Ergebnis: $\frac{\sin^2(x)}{2}$ bzw. $\frac{\ln^2(x)}{2}$ .

Profi-Trick: Wenn das gleiche Integral auf beiden Seiten steht, kannst du es wie eine normale Gleichung nach dem Integral auflösen!

Wir dachten schon, du fragst nie...

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