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3
Eleanor Boyles
4.12.2025
Mathe
Polynomfunktion/Ganzrationale Funktion📉📑
2.351
•
4. Dez. 2025
•
Eleanor Boyles
@elli.bls2312
Ganzrationale Funktionen sind überall um uns herum - von der... Mehr anzeigen
Du kennst wahrscheinlich schon einfache Funktionen wie f(x) = x² + 3x - 5. Das ist bereits eine ganzrationale Funktion! Sie entstehen durch Addition und Vervielfachung von Potenzfunktionen.
Die allgemeine Form sieht so aus: f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀. Die Zahlen aᵢ sind die Koeffizienten - das sind einfach die Zahlen vor den x-Termen.
Der Grad der Funktion ist immer die höchste Potenz von x. Bei f(x) = x⁵ - 3x⁴ ist der Grad 5, auch wenn x⁵ nicht als erstes steht. Ein cooler Fakt: Der Grad verrät dir auch die maximale Anzahl der Nullstellen!
💡 Merktipp: Grad 4 = maximal 4 Nullstellen. So einfach ist das!
Schauen wir uns F(x) = 8x⁵ + 4x³ + 3x genauer an. Der Grad ist 5 (höchste Potenz). Jetzt ordnest du die Koeffizienten von der höchsten zur niedrigsten Potenz: a₅ = 8, a₄ = 0, a₃ = 4, a₂ = 0, a₁ = 3, a₀ = 0.
Fehlende Terme werden einfach null gesetzt - kein Stress! Das machst du immer systematisch von oben nach unten.
Bei Nullstellen wird's interessant: Polynome vom Grad 0 haben entweder unendlich viele Nullstellen oder gar keine . Grad 1 bedeutet genau eine Nullstelle, die du direkt ablesen kannst.
Für Grad 2 nutzt du die pq-Formel - die kennst du bestimmt schon. Bei höheren Graden wird's komplizierter, aber dafür gibt's clevere Tricks!
Hier kommt der erste Geheimtrick: Wenn deine Funktion keinen konstanten Term a₀ hat, ist 0 immer eine Nullstelle! Du kannst dann x ausklammern: F(x) = x · g(x).
Beispiel: F(x) = x³ + x² - 6x = x. Die Nullstelle x = 0 hast du sofort, die anderen beiden findest du mit der pq-Formel.
Bei Polynomen 4. Grades ohne x³ und x verwendest du Substitution: Setze y = x², dann wird daraus G(y) = y² + ay + a₀. Das löst du mit der pq-Formel und substitutierst zurück.
💡 Achtung: Nach dem Rücksubstituieren ziehst du Wurzeln - das gibt manchmal keine reellen Lösungen!
Bei Grad 3 Polynomen probierst du erst kleine Zahlen aus: ±1, ±2, ±3. Oft findest du so eine Nullstelle durch Raten!
Nehmen wir f(x) = x³ + 4x² - 51x - 54. Du testest f(-1) = -1 + 4 + 51 - 54 = 0. Bingo! -1 ist eine Nullstelle.
Jetzt kommt die Polynomdivision: Du teilst durch und arbeitest dich systematisch vor. Zuerst x³ ÷ x = x², dann multiplizierst du · x² und ziehst das Ergebnis ab.
Das wiederholst du mit dem Rest: 3x² ÷ x = 3x, wieder multiplizieren und abziehen. Am Ende steht da: f(x) = .
💡 Praxistipp: Mache immer die Probe durch Ausmultiplizieren!
Nach der vollständigen Polynomdivision erhältst du: ÷ = x² + 3x - 54.
Das bedeutet: f(x) = . Die Probe bestätigt das Ergebnis durch Ausmultiplizieren.
Jetzt wendest du die pq-Formel auf x² + 3x - 54 = 0 an und findest die restlichen Nullstellen: x₂ = 6 und x₃ = -9.
Diese Methode ist super mächtig: Du kennst eine Nullstelle, teilst sie raus und erhältst ein Polynom mit niedrigerem Grad. So arbeitest du dich zu allen Nullstellen vor!
💡 Erfolgsstrategie: Erst raten, dann Polynomdivision, dann bekannte Formeln anwenden!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
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Eleanor Boyles
@elli.bls2312
Ganzrationale Funktionen sind überall um uns herum - von der Flugbahn eines Balls bis hin zu Wirtschaftsprognosen. Diese Polynomfunktionen setzen sich aus verschiedenen Potenzfunktionen zusammen und sind ein echter Grundpfeiler der Mathematik.
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Du kennst wahrscheinlich schon einfache Funktionen wie f(x) = x² + 3x - 5. Das ist bereits eine ganzrationale Funktion! Sie entstehen durch Addition und Vervielfachung von Potenzfunktionen.
Die allgemeine Form sieht so aus: f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀. Die Zahlen aᵢ sind die Koeffizienten - das sind einfach die Zahlen vor den x-Termen.
Der Grad der Funktion ist immer die höchste Potenz von x. Bei f(x) = x⁵ - 3x⁴ ist der Grad 5, auch wenn x⁵ nicht als erstes steht. Ein cooler Fakt: Der Grad verrät dir auch die maximale Anzahl der Nullstellen!
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Schauen wir uns F(x) = 8x⁵ + 4x³ + 3x genauer an. Der Grad ist 5 (höchste Potenz). Jetzt ordnest du die Koeffizienten von der höchsten zur niedrigsten Potenz: a₅ = 8, a₄ = 0, a₃ = 4, a₂ = 0, a₁ = 3, a₀ = 0.
Fehlende Terme werden einfach null gesetzt - kein Stress! Das machst du immer systematisch von oben nach unten.
Bei Nullstellen wird's interessant: Polynome vom Grad 0 haben entweder unendlich viele Nullstellen oder gar keine . Grad 1 bedeutet genau eine Nullstelle, die du direkt ablesen kannst.
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Hier kommt der erste Geheimtrick: Wenn deine Funktion keinen konstanten Term a₀ hat, ist 0 immer eine Nullstelle! Du kannst dann x ausklammern: F(x) = x · g(x).
Beispiel: F(x) = x³ + x² - 6x = x. Die Nullstelle x = 0 hast du sofort, die anderen beiden findest du mit der pq-Formel.
Bei Polynomen 4. Grades ohne x³ und x verwendest du Substitution: Setze y = x², dann wird daraus G(y) = y² + ay + a₀. Das löst du mit der pq-Formel und substitutierst zurück.
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Nehmen wir f(x) = x³ + 4x² - 51x - 54. Du testest f(-1) = -1 + 4 + 51 - 54 = 0. Bingo! -1 ist eine Nullstelle.
Jetzt kommt die Polynomdivision: Du teilst durch und arbeitest dich systematisch vor. Zuerst x³ ÷ x = x², dann multiplizierst du · x² und ziehst das Ergebnis ab.
Das wiederholst du mit dem Rest: 3x² ÷ x = 3x, wieder multiplizieren und abziehen. Am Ende steht da: f(x) = .
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Nach der vollständigen Polynomdivision erhältst du: ÷ = x² + 3x - 54.
Das bedeutet: f(x) = . Die Probe bestätigt das Ergebnis durch Ausmultiplizieren.
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Diese Methode ist super mächtig: Du kennst eine Nullstelle, teilst sie raus und erhältst ein Polynom mit niedrigerem Grad. So arbeitest du dich zu allen Nullstellen vor!
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Entdecken Sie die Grundlagen der Polynomdivision, einschließlich der Berechnung von Nullstellen und Anwendungsfällen. Diese Zusammenfassung bietet Schritt-für-Schritt-Anleitungen, Beispiele und Aufgaben zur Vertiefung des Verständnisses. Ideal für Schüler der 10. Klasse, die sich auf Mathematik vorbereiten. Typ: Zusammenfassung.
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MatheDiese Übersicht erklärt die Polynomdivision, einschließlich Definition, Verfahren und Anwendung zur Bestimmung von Nullstellen. Ideal für Studierende, die die Grundlagen der Polynomdivision erlernen möchten. Typ: Zusammenfassung.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
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Anna
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Jana V
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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