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Mathematik

Eigenschaften von Potenzen und Logarithmen

Potenz

Mathe253Aktualisiert 19. Sept. 20263 Seiten

Potenzrechnung einfach erklärt

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Potenzen sind eine wichtige mathematische Operation, die dir in vielen Bereichen begegnet. Du lernst hier, wie du mit positiven und negativen Exponenten rechnest und wie du große oder kleine Zahlen elegant in der wissenschaftlichen Notation darstellst.
potenzrechnung – Seite 1

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Grundlagen der Potenzrechnung

Potenzen sind eigentlich nur eine verkürzte Schreibweise für wiederholte Multiplikation. Wenn du 343^4 siehst, multiplizierst du einfach 3 × 3 × 3 × 3 = 81. Das funktioniert genauso mit Dezimalzahlen wie 0,23=0,0080,2^3 = 0,008 oder Brüchen wie (23)4=1681(\frac{2}{3})^4 = \frac{16}{81}.

Bei negativen Zahlen musst du auf die Klammern achten! (−2)4=16(-2)^4 = 16 (positiv), aber −24=−16-2^4 = -16 (negativ). Der Unterschied: Mit Klammern wird das Minus-Zeichen mitpotenziert, ohne Klammern nicht.

Eine praktische Regel: (−1)(-1) hoch einer geraden Zahl ergibt immer +1, hoch einer ungeraden Zahl ergibt -1. So ist (−1)442=1(-1)^{442} = 1 und (−1)443=−1(-1)^{443} = -1.

Merktipp: Bei negativen Exponenten wie 2−32^{-3} drehst du einfach die Basis um: 2−3=123=182^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}

potenzrechnung – Seite 2

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Negative Exponenten und Regeln

Negative Exponenten sind eigentlich ganz logisch: a−x=1axa^{-x} = \frac{1}{a^x}. Du kehrst die Basis um und machst den Exponenten positiv. Bei Brüchen wird's noch einfacher: (23)−3=(32)3(\frac{2}{3})^{-3} = (\frac{3}{2})^3.

Die Null als Exponent hat eine besondere Regel: Jede Zahl hoch 0 ergibt 1. Also 50=15^0 = 1, (12)0=1(\frac{1}{2})^0 = 1, sogar 10000=11000^0 = 1.

Wenn du Terme wie (3a)−2(3a)^{-2} siehst, rechnest du: 1(3a)2=19a2\frac{1}{(3a)^2} = \frac{1}{9a^2}. Das Minus im Exponenten macht aus der ganzen Basis einen Bruch.

Wichtig: (−5)2=25(-5)^2 = 25, aber −52=−25-5^2 = -25 – die Klammern entscheiden über das Vorzeichen!

potenzrechnung – Seite 3

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Wissenschaftliche Notation

Große und kleine Zahlen schreibst du am besten in der wissenschaftlichen Notation (auch Normaldarstellung genannt). Dabei bewegst du das Komma so, dass nur eine Ziffer vor dem Komma steht.

Bei großen Zahlen wie 149.600.000 wird daraus 1,496×1081,496 \times 10^8. Du zählst, wie oft du das Komma nach links bewegst – das wird dein Exponent. Bei 1.000.000 = 10610^6 siehst du das Muster.

Kleine Zahlen bekommen negative Exponenten: 0,000457 = 4,57×10−44,57 \times 10^{-4}. Hier zählst du, wie oft du das Komma nach rechts bewegst, und machst den Exponenten negativ.

Praxis-Tipp: In der Physik und Chemie begegnet dir diese Notation ständig – von Atomgrößen bis zu Entfernungen im All!

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