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•
3. Feb. 2026
•
Max
@max_e0726c
In der Analysis begegnen dir fünf wichtige Problemtypen, mit denen... Mehr anzeigen
Die Analysis bietet dir Werkzeuge, um komplexe mathematische Beziehungen zu untersuchen. Auf den folgenden Seiten lernst du fünf grundlegende Problemtypen kennen, die dir im Mathematikunterricht der Oberstufe immer wieder begegnen werden.
Du wirst sehen, wie man Tangenten bestimmt, Extremwerte findet und Beziehungen zwischen Funktionen analysiert. Diese Fähigkeiten sind nicht nur für Klassenarbeiten wichtig, sondern bilden auch die Grundlage für viele praktische Anwendungen.
In der Analysis begegnen dir fünf zentrale Problemtypen, die du beherrschen solltest:
💡 Diese fünf Grundprobleme sind die Basis für fast alle Aufgaben, die dir in der Analysis begegnen werden!
Beim Tangentenproblem geht es darum, die Tangente einer Kurve an einer bestimmten Stelle zu finden. Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve genau in einem Punkt berührt.
Um eine Tangente zu bestimmen, brauchst du die Steigung der Kurve an diesem Punkt. Diese erhältst du, indem du die erste Ableitung der Funktion bildest und den entsprechenden x-Wert einsetzt.
Die Gleichung einer Tangente folgt der Grundform y = mx + n, wobei m die Steigung und n der y-Achsenabschnitt ist. Um n zu berechnen, setzt du die Koordinaten des Berührpunkts und die berechnete Steigung in die Tangentengleichung ein.
🔍 Denk daran: Die Tangente ist wie eine "Momentaufnahme" der Steigung der Funktion an genau einer Stelle!
Für die Funktion f(x) = x³ - 4x soll eine Tangente an der Stelle x = 2 bestimmt werden. Die Lösung erfolgt in vier einfachen Schritten:
Schritt 1: Bilde die erste Ableitung und berechne die Steigung. f'(x) = 3x² - 4, also f'(2) = 3 · 2² - 4 = 8
Schritt 2: Bestimme den Berührpunkt, indem du x in die Ausgangsfunktion einsetzt. f(2) = 2³ - 4 · 2 = 8 - 8 = 0, also P(2|0)
Schritt 3: Stelle die Tangentengleichung y = mx + n auf und berechne n. 0 = 8 · 2 + n → n = -16
Schritt 4: Schreibe die fertige Tangentengleichung auf. Lösung: y = 8x - 16
🔑 Die Ableitung gibt dir immer die Steigung der Tangente – das ist der Schlüssel zur Lösung des Tangentenproblems!
Bei Extremalproblemen suchst du nach den höchsten und tiefsten Punkten einer Funktion – den sogenannten Extrempunkten. Diese findest du an Stellen, an denen die Steigung der Funktion null wird.
Die entscheidende Bedingung für Extrempunkte ist daher f'(x) = 0. Um herauszufinden, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt, kannst du die zweite Ableitung nutzen oder das Verhalten der Funktion links und rechts vom kritischen Punkt untersuchen.
Extremwertaufgaben begegnen dir oft in Anwendungsproblemen, bei denen du beispielsweise den maximalen Gewinn, die minimalen Kosten oder optimale Abmessungen bestimmen sollst. Dabei musst du erst eine Zielfunktion aus den gegebenen Bedingungen aufstellen.
🎯 Extremwertaufgaben sind wie eine Schatzsuche – du suchst nach den besonderen Punkten, an denen die Funktion ihre Richtung ändert!
Bestimme den Extrempunkt der Funktion f(x) = ½x² + 4x - 6:
Schritt 1: Bilde die erste Ableitung der Funktion. f'(x) = x + 4
Schritt 2: Setze die Ableitung gleich Null und löse nach x auf. 0 = x + 4 → x = -4
Schritt 3: Berechne den y-Wert, indem du x = -4 in die Originalfunktion einsetzt. f(-4) = ½ · (-4)² + 4 · (-4) - 6 = 8 - 16 - 6 = -14
Der Extrempunkt liegt also bei E(-4|-14). Da die zweite Ableitung f''(x) = 1 positiv ist, handelt es sich um ein Minimum.
💡 Die Nullstellen der ersten Ableitung zeigen dir immer, wo die Funktion "flach" wird – genau dort liegen Extrempunkte!
Beim Berührpunktproblem untersuchst du, wann zwei Funktionen sich genau in einem Punkt berühren, ohne sich zu schneiden. Dafür müssen zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein:
Diese zweite Bedingung unterscheidet einen Berührpunkt von einem gewöhnlichen Schnittpunkt. Wenn zwei Kurven sich berühren, laufen sie für einen Moment "parallel" zueinander.
🧲 Stell dir vor, zwei Funktionen ziehen kurz aneinander vorbei und berühren sich sanft an einem einzigen Punkt – das ist das Berührpunktproblem!
Bestimme den Berührpunkt der Funktionen f(x) = x² + 2 und g(x) = 4x - x²:
Schritt 1: Setze beide Funktionen gleich, um mögliche Berührpunkte zu finden. x² + 2 = 4x - x² 2x² - 4x + 2 = 0 Mit der PQ-Formel erhältst du x = 1.
Schritt 2: Überprüfe, ob beide Funktionen an dieser Stelle die gleiche Steigung haben. f'(x) = 2x → f'(1) = 2 g'(x) = 4 - 2x → g'(1) = 4 - 2 = 2 Da f'(1) = g'(1), handelt es sich tatsächlich um einen Berührpunkt!
Schritt 3: Bestimme den y-Wert des Berührpunkts. g(1) = 4 · 1 - 1² = 3 Der Berührpunkt liegt also bei B(1|3).
🔍 Der Schlüssel zum Berührpunktproblem: Gleicher Ort + gleiche Steigung = Berührung!
Das Steigungswinkelproblem beschäftigt sich mit dem Winkel, den der Graph einer Funktion mit der (eventuell verschobenen) x-Achse an einem bestimmten Punkt bildet.
Um diesen Winkel zu berechnen, bestimmst du zuerst die Steigung der Funktion an diesem Punkt durch die erste Ableitung. Der Winkel alpha ergibt sich dann aus der Formel: α = arctan(m).
Diese Berechnung ist besonders wichtig in der Physik, Ingenieurwissenschaft und Geometrie, wo Winkel zwischen Objekten oder Bewegungsrichtungen eine wichtige Rolle spielen.
📐 Die Steigung gibt dir das Gefälle an – der Arkustangens verwandelt diese Steigung in den Winkel, den du sehen würdest!
Berechne den Steigungswinkel der Funktion f(x) = 3x² - 7 am Punkt P(5|68):
Schritt 1: Bilde die erste Ableitung und berechne die Steigung am gegebenen Punkt. f'(x) = 6x → f'(5) = 6 · 5 = 30
Schritt 2: Berechne den Winkel mithilfe des Arkustangens. α = arctan(30) ≈ 88,1°
Bei diesem steilen Winkel verläuft die Kurve fast senkrecht nach oben!
⚠️ Wichtig: Auch bei negativer Steigung gibst du immer den positiven Winkel an. Die Steigung gibt nur die Richtung an, der Winkel beschreibt die Neigung zur x-Achse!
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
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Samantha Klich
Android-Nutzerin
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Anna
iOS-Nutzerin
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Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
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Max
@max_e0726c
In der Analysis begegnen dir fünf wichtige Problemtypen, mit denen du mathematische Situationen lösen kannst. Diese Aufgabenarten helfen dir, Kurven und ihre Eigenschaften zu analysieren sowie Beziehungen zwischen Funktionen zu verstehen.
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Du wirst sehen, wie man Tangenten bestimmt, Extremwerte findet und Beziehungen zwischen Funktionen analysiert. Diese Fähigkeiten sind nicht nur für Klassenarbeiten wichtig, sondern bilden auch die Grundlage für viele praktische Anwendungen.
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In der Analysis begegnen dir fünf zentrale Problemtypen, die du beherrschen solltest:
💡 Diese fünf Grundprobleme sind die Basis für fast alle Aufgaben, die dir in der Analysis begegnen werden!
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Beim Tangentenproblem geht es darum, die Tangente einer Kurve an einer bestimmten Stelle zu finden. Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve genau in einem Punkt berührt.
Um eine Tangente zu bestimmen, brauchst du die Steigung der Kurve an diesem Punkt. Diese erhältst du, indem du die erste Ableitung der Funktion bildest und den entsprechenden x-Wert einsetzt.
Die Gleichung einer Tangente folgt der Grundform y = mx + n, wobei m die Steigung und n der y-Achsenabschnitt ist. Um n zu berechnen, setzt du die Koordinaten des Berührpunkts und die berechnete Steigung in die Tangentengleichung ein.
🔍 Denk daran: Die Tangente ist wie eine "Momentaufnahme" der Steigung der Funktion an genau einer Stelle!
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Für die Funktion f(x) = x³ - 4x soll eine Tangente an der Stelle x = 2 bestimmt werden. Die Lösung erfolgt in vier einfachen Schritten:
Schritt 1: Bilde die erste Ableitung und berechne die Steigung. f'(x) = 3x² - 4, also f'(2) = 3 · 2² - 4 = 8
Schritt 2: Bestimme den Berührpunkt, indem du x in die Ausgangsfunktion einsetzt. f(2) = 2³ - 4 · 2 = 8 - 8 = 0, also P(2|0)
Schritt 3: Stelle die Tangentengleichung y = mx + n auf und berechne n. 0 = 8 · 2 + n → n = -16
Schritt 4: Schreibe die fertige Tangentengleichung auf. Lösung: y = 8x - 16
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Bei Extremalproblemen suchst du nach den höchsten und tiefsten Punkten einer Funktion – den sogenannten Extrempunkten. Diese findest du an Stellen, an denen die Steigung der Funktion null wird.
Die entscheidende Bedingung für Extrempunkte ist daher f'(x) = 0. Um herauszufinden, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt, kannst du die zweite Ableitung nutzen oder das Verhalten der Funktion links und rechts vom kritischen Punkt untersuchen.
Extremwertaufgaben begegnen dir oft in Anwendungsproblemen, bei denen du beispielsweise den maximalen Gewinn, die minimalen Kosten oder optimale Abmessungen bestimmen sollst. Dabei musst du erst eine Zielfunktion aus den gegebenen Bedingungen aufstellen.
🎯 Extremwertaufgaben sind wie eine Schatzsuche – du suchst nach den besonderen Punkten, an denen die Funktion ihre Richtung ändert!
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Bestimme den Extrempunkt der Funktion f(x) = ½x² + 4x - 6:
Schritt 1: Bilde die erste Ableitung der Funktion. f'(x) = x + 4
Schritt 2: Setze die Ableitung gleich Null und löse nach x auf. 0 = x + 4 → x = -4
Schritt 3: Berechne den y-Wert, indem du x = -4 in die Originalfunktion einsetzt. f(-4) = ½ · (-4)² + 4 · (-4) - 6 = 8 - 16 - 6 = -14
Der Extrempunkt liegt also bei E(-4|-14). Da die zweite Ableitung f''(x) = 1 positiv ist, handelt es sich um ein Minimum.
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Beim Berührpunktproblem untersuchst du, wann zwei Funktionen sich genau in einem Punkt berühren, ohne sich zu schneiden. Dafür müssen zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein:
Diese zweite Bedingung unterscheidet einen Berührpunkt von einem gewöhnlichen Schnittpunkt. Wenn zwei Kurven sich berühren, laufen sie für einen Moment "parallel" zueinander.
🧲 Stell dir vor, zwei Funktionen ziehen kurz aneinander vorbei und berühren sich sanft an einem einzigen Punkt – das ist das Berührpunktproblem!
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Bestimme den Berührpunkt der Funktionen f(x) = x² + 2 und g(x) = 4x - x²:
Schritt 1: Setze beide Funktionen gleich, um mögliche Berührpunkte zu finden. x² + 2 = 4x - x² 2x² - 4x + 2 = 0 Mit der PQ-Formel erhältst du x = 1.
Schritt 2: Überprüfe, ob beide Funktionen an dieser Stelle die gleiche Steigung haben. f'(x) = 2x → f'(1) = 2 g'(x) = 4 - 2x → g'(1) = 4 - 2 = 2 Da f'(1) = g'(1), handelt es sich tatsächlich um einen Berührpunkt!
Schritt 3: Bestimme den y-Wert des Berührpunkts. g(1) = 4 · 1 - 1² = 3 Der Berührpunkt liegt also bei B(1|3).
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Das Steigungswinkelproblem beschäftigt sich mit dem Winkel, den der Graph einer Funktion mit der (eventuell verschobenen) x-Achse an einem bestimmten Punkt bildet.
Um diesen Winkel zu berechnen, bestimmst du zuerst die Steigung der Funktion an diesem Punkt durch die erste Ableitung. Der Winkel alpha ergibt sich dann aus der Formel: α = arctan(m).
Diese Berechnung ist besonders wichtig in der Physik, Ingenieurwissenschaft und Geometrie, wo Winkel zwischen Objekten oder Bewegungsrichtungen eine wichtige Rolle spielen.
📐 Die Steigung gibt dir das Gefälle an – der Arkustangens verwandelt diese Steigung in den Winkel, den du sehen würdest!
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Berechne den Steigungswinkel der Funktion f(x) = 3x² - 7 am Punkt P(5|68):
Schritt 1: Bilde die erste Ableitung und berechne die Steigung am gegebenen Punkt. f'(x) = 6x → f'(5) = 6 · 5 = 30
Schritt 2: Berechne den Winkel mithilfe des Arkustangens. α = arctan(30) ≈ 88,1°
Bei diesem steilen Winkel verläuft die Kurve fast senkrecht nach oben!
⚠️ Wichtig: Auch bei negativer Steigung gibst du immer den positiven Winkel an. Die Steigung gibt nur die Richtung an, der Winkel beschreibt die Neigung zur x-Achse!
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Stefan S
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Samantha Klich
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Anna
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Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Rohan U
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Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
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Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Deutsch