Mathematik

Nullstellen und Wurzeln von Polynomen

Nullstellen/Wurzeln

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Aktualisiert 5. März 2026

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4 Seiten

Quadratische Funktionen einfach erklärt

Emma

@emmasophie2

Quadratische Funktionen sind überall - vom Ballwurf bis zur Brückenkonstruktion.... Mehr anzeigen

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# Quadratische Funktionen und Geidmumen

allgemeine quadratische Funktion

wenn a nicht
da, a=1

Verschiebung
ax²+bx+c

f(x) = a (x-b)²+c

S

Quadratische Funktionen - Die Basics

Stell dir vor, du wirfst einen Ball - die Flugbahn ist eine Parabel! Diese entstehen durch quadratische Funktionen mit der Form f(x) = ax² + bx + c.

Der Parameter a bestimmt, wie deine Parabel aussieht. Ist a positiv, öffnet sie sich nach oben wie ein Lächeln. Ist a negativ, zeigt sie nach unten. Je größer |a|, desto schmaler wird die Parabel - je kleiner, desto breiter.

Verschiebungen funktionieren ganz logisch: f(x) = ax² + v schiebt die Parabel um v Einheiten nach oben oder unten. f(x) = a $x-u$ ² verschiebt sie um u nach rechts (bei positivem u) oder links (bei negativem u).

Merktipp: Bei $x-3$ ² geht's nach rechts, bei $x+3$ ² nach links - genau umgekehrt zum Vorzeichen!

Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt deiner Parabel. Nullstellen sind die Schnittpunkte mit der x-Achse - dort wo der Funktionswert null ist.

Scheitelpunktform und quadratische Ergänzung

Die Scheitelpunktform f(x) = a $x-u$ ² + v ist mega praktisch, weil du den Scheitelpunkt S(u|v) sofort ablesen kannst. Aber wie kommst du von der allgemeinen Form dahin?

Mit der quadratischen Ergänzung verwandelst du jede quadratische Funktion! Beispiel: f(x) = 2x² + 8x + 1. Erst teilst du durch den Faktor vor x² (hier 2), dann ergänzt du geschickt zum Binom.

Die Zahl vor x (hier 8) halbierst du (= 4) und quadrierst sie (= 16). Diese 16 addierst und subtrahierst du gleichzeitig. So entsteht das Binom $x+4$ ².

Pro-Tipp: Die binomischen Formeln sind deine besten Freunde! $a+b$ ² = a² + 2ab + b², $a-b$ ² = a² - 2ab + b² und $a+b$ $a-b$ = a² - b².

Am Ende multiplizierst du wieder mit dem ursprünglichen Faktor und erhältst f(x) = 2 $x+2$ ² - 7 mit Scheitelpunkt S(-2|-7).

Die pq-Formel meistern

Die pq-Formel ist dein Schweizer Taschenmesser für quadratische Gleichungen: x₁,₂ = -p/2 ± √ $(p/2)² - q$ . Aber Achtung - sie funktioniert nur in der Normalform x² + px + q = 0!

Erst formst du deine Gleichung um, bis vor x² eine 1 steht. Bei 3x² + 9x + 6 = 0 teilst du durch 3 und erhältst x² + 3x + 2 = 0. Jetzt liest du ab: p = 3, q = 2.

Die Diskriminante (der Ausdruck unter der Wurzel) verrät dir alles: Ist sie negativ, gibt's keine Lösung. Bei null gibt's genau eine Lösung, bei positiven Werten zwei Lösungen.

Rechentrick: Berechne immer erst $p/2$ ², dann subtrahiere q. Das vermeidet Fehler!

Um zu prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt, setzt du einfach die x-Koordinate in die Funktion ein und schaust, ob der y-Wert stimmt.

Nullstellen finden - drei Strategien

Nullstellen sind die x-Werte, wo f(x) = 0 ist. Du hast drei verschiedene Methoden, je nach Funktionstyp.

Ausklammern funktioniert bei f(x) = x² + px: Du klammerst x aus und erhältst x $x + p$ = 0. Eine Nullstelle ist immer x₁ = 0, die andere x₂ = -p.

Wurzelziehen nutzt du bei f(x) = x² + c: Du stellst um zu x² = -c und ziehst die Wurzel. Gibt's keine reelle Wurzel (bei negativem Radikand), existieren keine Nullstellen.

Formenwechsel: Du kannst zwischen Normalform $ax² + bx + c$ , Scheitelpunktform $a(x-u)² + v$ und Nullstellenform $a(x-x₁)(x-x₂)$ hin und her wechseln!

Die pq-Formel ist deine Allzweckwaffe für alle anderen Fälle. Denk dran: Erst in Normalform bringen, dann p und q ablesen und einsetzen.

Wir dachten schon, du fragst nie...

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