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Mathematik

Quadratische Ausdrücke und Formen

Scheitelpunktform

Mathe647Aktualisiert 6. Okt. 20263 Seiten

Quadratische Funktionen einfach erklärt

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Quadratische Funktionen sind überall um uns herum - von der Flugbahn eines Basketballs bis zur Form von Brücken. Du kennst sie an ihrer charakteristischen U-Form, der sogenannten Parabel. Das Beste daran: Es gibt drei verschiedene Darstellungsformen, die du je nach Aufgabe clever nutzen kannst.
Quadratische Funktionen und ihre Darstellungsformen – Seite 1

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Die Grundlagen quadratischer Funktionen

Die Normalparabel fxx = x² ist dein Startpunkt für alle quadratischen Funktionen. Sie ist wie das Grundrezept, das du dann nach Belieben variieren kannst.

Quadratische Funktionen haben ein paar coole Eigenschaften: Sie besitzen einen Scheitelpunkt (den höchsten oder tiefsten Punkt), können nach oben oder unten geöffnet sein und haben eine Symmetrieeachse parallel zur y-Achse. Außerdem können sie keine, eine oder zwei Nullstellen haben.

Die Scheitelpunktform fxx = ax−dx-d² + e zeigt dir sofort die wichtigsten Infos: Der Faktor a bestimmt, ob die Parabel gestreckt/gestaucht oder gespiegelt wird. Bei a > 0 öffnet sie nach oben, bei a < 0 nach unten. Die Werte d und e verschieben die Parabel horizontal und vertikal - der Scheitelpunkt liegt bei (d|e).

Merktipp: Bei Verschiebungen an der x-Achse musst du das Vorzeichen umdrehen! x−3x-3 bedeutet Verschiebung um 3 nach rechts, x+3x+3 um 3 nach links.

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Die drei Darstellungsformen verstehen

Jede quadratische Funktion kann in drei verschiedenen Formen geschrieben werden, die jeweils unterschiedliche Vorteile haben. Die Normalform fxx = ax² + bx + c kennst du schon, die Scheitelpunktform fxx = ax−dx-d² + e zeigt direkt den Scheitelpunkt, und die faktorisierte Form fxx = ax-x₁$$x-x₂ verrät die Nullstellen.

Das Umwandeln zwischen den Formen ist eigentlich gar nicht so schwer. Von der Scheitelpunkt- zur Normalform multiplizierst du einfach die Klammern aus und fasst zusammen. Für den umgekehrten Weg brauchst du die quadratische Ergänzung - das ist wie Rückwärts-Rechnen mit binomischen Formeln.

Ein Beispiel macht's klar: fxx = 2x+3x+3² - 8 wird zu fxx = 2x² + 12x + 10, wenn du die Klammern auflöst. Der Scheitelpunkt liegt übrigens bei −3∣−8-3|-8, was du direkt aus der ersten Form ablesen kannst.

Pro-Tipp: Die quadratische Ergänzung ist dein Werkzeug Nr. 1 für schwierige Umwandlungen. Einmal verstanden, sparst du richtig Zeit!

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Umwandlungen zwischen den Formen meistern

Von der Normalform zur faktorisierten Form kommst du über die Nullstellen. Setze einfach fxx = 0 und löse mit der pq-Formel - die beiden Lösungen sind deine x₁ und x₂ für die faktorisierte Form.

Hier ein konkretes Beispiel: Bei fxx = x² - 6x + 8 findest du mit der pq-Formel die Nullstellen x₁ = 2 und x₂ = 4. Daraus wird dann fxx = x-2$$x-4. Einfach, oder?

Von der faktorisierten Form zurück zur Normalform multiplizierst du die Klammern aus. Bei fxx = 3x-2$$x-4 rechnest du erst die innere Klammer aus: x-2$$x-4 = x² - 6x + 8. Dann multiplizierst du mit dem Faktor 3 und erhältst fxx = 3x² - 18x + 24.

Wichtig: Achte bei allen Umwandlungen auf die Vorzeichen - ein kleiner Fehler hier kann das ganze Ergebnis ruinieren!

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