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Explizite Formel

MatheMathe950 aufrufe·Aktualisiert Jun 11, 2026·3 Seiten

Rekursive und Explizite Darstellung von Folgen mit Grenzwerten

K
Katha@katha_qdnv

Folgen sind überall in der Mathematik - von einfachen Zahlenreihen... Mehr anzeigen

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# Rekursive & Explizite Darstellung explizit: wenn man das nite Folgeglied sofort beechnen kann, ohne vorher andee zu kennen rekursiv man b

Rekursive & Explizite Darstellung

Du kannst jede Folge auf zwei Arten beschreiben, und beide haben ihre Vorteile. Bei der expliziten Darstellung rechnest du direkt das n-te Glied aus, ohne andere Glieder zu kennen. Bei der rekursiven Darstellung brauchst du immer das vorherige Glied, um das nächste zu bestimmen.

Alternierende Folgen wechseln ständig das Vorzeichen - wie bei an=(−2)na_n = (-2)^n: -2, +4, -8, +16... Das liegt an der negativen Basis, die bei ungeraden Exponenten negativ und bei geraden positiv wird.

Arithmetische Folgen haben immer den gleichen Unterschied zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern. Explizit schreibst du an=a1+(n−1)⋅da_n = a_1 + (n-1) \cdot d, rekursiv an+1=an+da_{n+1} = a_n + d. Bei geometrischen Folgen multiplizierst du immer mit demselben Faktor: explizit an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1}, rekursiv an+1=an⋅qa_{n+1} = a_n \cdot q.

Merktipp: Arithmetisch = Addition/Subtraktion, Geometrisch = Multiplikation/Division

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Folgengrenzwert

Stell dir vor, du verfolgst eine Folge bis ins Unendliche - manche Folgen nähern sich dabei einem bestimmten Wert an. Diesen Wert nennt man Grenzwert. Folgen mit Grenzwert heißen konvergent, ohne Grenzwert divergent.

Du hast zwei praktische Methoden, um Grenzwerte zu finden. Methode 1: Setze eine sehr große Zahl für n ein (z.B. 1.000.000) und schau, welcher Wert rauskommt. Methode 2: Forme die Folge geschickt um, bis du Nullfolgen erkennst.

Der Trick bei Methode 2: Teile Zähler und Nenner durch die höchste Potenz. Terme wie 1n\frac{1}{n} oder 1n2\frac{1}{n^2} werden für große n praktisch zu Null. So wird aus 2n−n23n+n2\frac{2n-n^2}{3n+n^2} nach dem Teilen durch n2n^2 der Ausdruck 2n−13n+1\frac{\frac{2}{n}-1}{\frac{3}{n}+1}, der gegen −11=−1\frac{-1}{1} = -1 läuft.

Profi-Tipp: Alles mit 1nk\frac{1}{n^k} (k > 0) geht gegen Null, wenn n gegen unendlich geht!

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4.7/5Google Play

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan SiOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha KlichAndroid-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

AnnaiOS-Nutzerin

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Rekursive und Explizite Darstellung von Folgen mit Grenzwerten

K
Katha@katha_qdnv

Folgen sind überall in der Mathematik - von einfachen Zahlenreihen bis hin zu komplexen Berechnungen. Du lernst hier, wie du Folgen auf zwei verschiedene Arten beschreiben kannst und wie du herausfindest, wohin sie "laufen", wenn die Zahlen immer größer werden.

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Du kannst jede Folge auf zwei Arten beschreiben, und beide haben ihre Vorteile. Bei der expliziten Darstellung rechnest du direkt das n-te Glied aus, ohne andere Glieder zu kennen. Bei der rekursiven Darstellung brauchst du immer das vorherige Glied, um das nächste zu bestimmen.

Alternierende Folgen wechseln ständig das Vorzeichen - wie bei an=(−2)na_n = (-2)^n: -2, +4, -8, +16... Das liegt an der negativen Basis, die bei ungeraden Exponenten negativ und bei geraden positiv wird.

Arithmetische Folgen haben immer den gleichen Unterschied zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern. Explizit schreibst du an=a1+(n−1)⋅da_n = a_1 + (n-1) \cdot d, rekursiv an+1=an+da_{n+1} = a_n + d. Bei geometrischen Folgen multiplizierst du immer mit demselben Faktor: explizit an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1}, rekursiv an+1=an⋅qa_{n+1} = a_n \cdot q.

Merktipp: Arithmetisch = Addition/Subtraktion, Geometrisch = Multiplikation/Division

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Folgengrenzwert

Stell dir vor, du verfolgst eine Folge bis ins Unendliche - manche Folgen nähern sich dabei einem bestimmten Wert an. Diesen Wert nennt man Grenzwert. Folgen mit Grenzwert heißen konvergent, ohne Grenzwert divergent.

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Der Trick bei Methode 2: Teile Zähler und Nenner durch die höchste Potenz. Terme wie 1n\frac{1}{n} oder 1n2\frac{1}{n^2} werden für große n praktisch zu Null. So wird aus 2n−n23n+n2\frac{2n-n^2}{3n+n^2} nach dem Teilen durch n2n^2 der Ausdruck 2n−13n+1\frac{\frac{2}{n}-1}{\frac{3}{n}+1}, der gegen −11=−1\frac{-1}{1} = -1 läuft.

Profi-Tipp: Alles mit 1nk\frac{1}{n^k} (k > 0) geht gegen Null, wenn n gegen unendlich geht!

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Stefan SiOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha KlichAndroid-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

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