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Mathematik

Folgen und Reihenanalyse

Explizite Formel

Mathe1.024Aktualisiert 12. Sept. 20263 Seiten

Rekursive und Explizite Darstellung von Folgen mit Grenzwerten

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Katha@katha_qdnv
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Folgen sind überall in der Mathematik - von einfachen Zahlenreihen bis hin zu komplexen Berechnungen. Du lernst hier, wie du Folgen auf zwei verschiedene Arten beschreiben kannst und wie du herausfindest, wohin sie "laufen", wenn die Zahlen immer größer werden.
Rekursive/Explizite Darstellung, Folgengrenzwert – Seite 1

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Rekursive & Explizite Darstellung

Du kannst jede Folge auf zwei Arten beschreiben, und beide haben ihre Vorteile. Bei der expliziten Darstellung rechnest du direkt das n-te Glied aus, ohne andere Glieder zu kennen. Bei der rekursiven Darstellung brauchst du immer das vorherige Glied, um das nächste zu bestimmen.

Alternierende Folgen wechseln ständig das Vorzeichen - wie bei an=(−2)na_n = (-2)^n: -2, +4, -8, +16... Das liegt an der negativen Basis, die bei ungeraden Exponenten negativ und bei geraden positiv wird.

Arithmetische Folgen haben immer den gleichen Unterschied zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern. Explizit schreibst du an=a1+(n−1)⋅da_n = a_1 + (n-1) \cdot d, rekursiv an+1=an+da_{n+1} = a_n + d. Bei geometrischen Folgen multiplizierst du immer mit demselben Faktor: explizit an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1}, rekursiv an+1=an⋅qa_{n+1} = a_n \cdot q.

Merktipp: Arithmetisch = Addition/Subtraktion, Geometrisch = Multiplikation/Division

Rekursive/Explizite Darstellung, Folgengrenzwert – Seite 2

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Folgengrenzwert

Stell dir vor, du verfolgst eine Folge bis ins Unendliche - manche Folgen nähern sich dabei einem bestimmten Wert an. Diesen Wert nennt man Grenzwert. Folgen mit Grenzwert heißen konvergent, ohne Grenzwert divergent.

Du hast zwei praktische Methoden, um Grenzwerte zu finden. Methode 1: Setze eine sehr große Zahl für n ein (z.B. 1.000.000) und schau, welcher Wert rauskommt. Methode 2: Forme die Folge geschickt um, bis du Nullfolgen erkennst.

Der Trick bei Methode 2: Teile Zähler und Nenner durch die höchste Potenz. Terme wie 1n\frac{1}{n} oder 1n2\frac{1}{n^2} werden für große n praktisch zu Null. So wird aus 2n−n23n+n2\frac{2n-n^2}{3n+n^2} nach dem Teilen durch n2n^2 der Ausdruck 2n−13n+1\frac{\frac{2}{n}-1}{\frac{3}{n}+1}, der gegen −11=−1\frac{-1}{1} = -1 läuft.

Profi-Tipp: Alles mit 1nk\frac{1}{n^k} (k > 0) geht gegen Null, wenn n gegen unendlich geht!

Rekursive/Explizite Darstellung, Folgengrenzwert – Seite 3

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