Sinus, Cosinus und Tangens einfach erklärt

Sinus - Die Y-Koordinate im Einheitskreis

Sinus ist eine trigonometrische Funktion, die das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck beschreibt. Die Formel lautet: $\sin(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse} = \frac{a}{c}$

Im Einheitskreis (ein Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt im Koordinatenursprung) entspricht der Sinuswert einfach der y-Koordinate eines Punktes auf dem Kreis. Wenn wir einen Punkt P auf dem Einheitskreis wählen und diesen senkrecht mit der x-Achse verbinden, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck.

Die Sinuskurve entsteht, wenn wir alle möglichen α-Werte und ihre zugehörigen y-Koordinaten in einem Koordinatensystem darstellen. Das Muster wiederholt sich alle 360° und die y-Werte liegen immer zwischen -1 und 1.

Merke dir: Sinus ist einfach die y-Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis. Zum Beispiel ist $\sin(180°) = 0$, weil die y-Koordinate an dieser Stelle 0 ist.

Cosinus - Die X-Koordinate im Einheitskreis

Cosinus ist eine trigonometrische Funktion, die das Verhältnis zwischen Ankathete und Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck beschreibt. Die Formel lautet: $cos(a) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse} = \frac{b}{c}$

Im Einheitskreis entspricht der Cosinuswert der x-Koordinate eines Punktes auf dem Kreis. Die Konstruktion ist ähnlich wie beim Sinus: Wähle einen Punkt P auf dem Einheitskreis und verbinde ihn senkrecht mit der x-Achse, um ein rechtwinkliges Dreieck zu bilden.

Die Cosinuskurve zeigt ein ähnliches Verhalten wie die Sinuskurve. Sie wiederholt sich nach einer vollständigen Umdrehung (360°) und ihre Werte liegen immer zwischen -1 und 1. Ein wichtiger Unterschied ist jedoch die Verschiebung der Kurve.

Das hilft dir weiter: Wenn $cos(180°) = -1$ ist, dann bedeutet das, dass die x-Koordinate an dieser Stelle -1 beträgt. Cosinus und Sinus haben die gleiche Form, sind aber um 90° gegeneinander verschoben.

Tangens - Das Verhältnis von Sinus zu Cosinus

Tangens ist die dritte wichtige trigonometrische Funktion und beschreibt das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete in einem rechtwinkligen Dreieck. Die Formel lautet: $tan(a) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{sin(a)}{cos(a)}$

Im Einheitskreis können wir den Tangens geometrisch konstruieren. Dazu wählen wir einen Punkt P auf dem Einheitskreis, verbinden ihn mit dem Ursprung und ziehen eine Halbgerade von P bis zur x-Achse. Der Tangens entspricht dann der y-Koordinate des Schnittpunkts dieser Halbgeraden mit der Geraden x=1.

Der Graph des Tangens unterscheidet sich deutlich von Sinus und Cosinus. Er hat dieselben Nullstellen wie der Sinus $..., -π, 0, π, 2π, ...$ und ist punktsymmetrisch. Außerdem hat der Tangens Stellen, an denen er nicht definiert ist $z.B. bei α = 90°$.

Wichtig zu wissen: Anders als Sinus und Cosinus ist der Tangens an manchen Stellen nicht definiert. Das passiert immer dann, wenn der Cosinus 0 ist, denn $tan(a) = \frac{sin(a)}{cos(a)}$.

Wichtige Werte der trigonometrischen Funktionen

Für häufig verwendete Winkel gibt es Tabellen mit festen Werten für Sinus, Cosinus und Tangens. Du musst nicht alle auswendig lernen, aber einige wichtige Werte solltest du kennen:

Für Sinus: $sin(0°) = 0$, $sin(90°) = 1$, $sin(180°) = 0$, $sin(270°) = -1$, $sin(360°) = 0$

Für Cosinus: $cos(0°) = 1$, $cos(90°) = 0$, $cos(180°) = -1$, $cos(270°) = 0$, $cos(360°) = 1$

Für Tangens: $tan(0°) = 0$, $tan(45°) = 1$, $tan(90°)$ ist nicht definiert, $tan(180°) = 0$. Die Werte wiederholen sich nach 180°, wobei gilt: $tan(180° + a) = tan(a)$

Du kannst Winkel auch im Bogenmaß ausdrücken, wobei $\pi$ Radiant = 180° gilt. Auf dem Taschenrechner kannst du mit der "rad"-Taste zwischen Gradmaß und Bogenmaß umschalten.

Tipp für Prüfungen: Lerne zumindest die Werte für 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180° und 270°. Diese kommen besonders häufig vor und helfen dir, viele Aufgaben schnell zu lösen!