Steigungsprobleme und Ableitungsanwendungen
Du kennst das Problem: Wie steil ist eine Kurve an einem bestimmten Punkt? Die Antwort liegt in der ersten Ableitung f'(x₀). Sie gibt dir direkt die Steigung an der gewünschten Stelle.
Beim Steigungswinkel rechnest du einfach mit dem Tangens: tan(α) = f'(x₀). Um den Winkel zu bekommen, verwendest du die Umkehrfunktion: α = tan⁻¹(f'(x₀)). Bei einer Steigung von 1 bekommst du zum Beispiel einen 45°-Winkel.
Extrempunkte findest du, indem du die erste Ableitung gleich null setzt: f'(xₑ) = 0. Das sind die Stellen, wo die Kurve ihre Richtung ändert - also Hochpunkte oder Tiefpunkte hat.
Merktipp: Die erste Ableitung ist dein Steigungsmesser - überall dort, wo sie null ist, hat die Funktion waagerechte Tangenten!
Für Tangentengleichungen verwendest du die Formel t = f'(x₀) + f(x₀). Zuerst berechnest du die Steigung mit der Ableitung, dann setzt du den Punkt ein.
