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Charlotte Marie Schwarzfeller
20.11.2025
Mathe
Stochastik
2.054
•
20. Nov. 2025
•
Charlotte Marie Schwarzfeller
@charlottemarieschwarzfeller
Tauche ein in die Welt der Wahrscheinlichkeitsrechnung! Diese Zusammenfassung erklärt... Mehr anzeigen
Die Stochastik nutzt zwei zentrale Regeln: Die Produktregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ergebnisses das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades ist. Die Summenregel bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist, die zu diesem Ergebnis führen.
Mit der Vierfeldertafel kannst du Wahrscheinlichkeiten übersichtlich darstellen. Die Randwerte ergeben sich durch Summenbildung. Bei der bedingten Wahrscheinlichkeit P<sub>A</sub>(B) berechnest du die Wahrscheinlichkeit von B unter der Voraussetzung, dass A bereits eingetreten ist: P<sub>A</sub>(B) = P(A∩B)/P(A).
Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten des einen keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit des anderen hat. Dann gilt: P(A∩B) = P(A) · P(B). Der Satz von Bayes und die totale Wahrscheinlichkeit helfen dir, komplexere Probleme zu lösen.
💡 Tipp: Der Erwartungswert µ gibt dir den Durchschnittswert einer Zufallsgröße an, während die Standardabweichung σ zeigt, wie stark die Werte um den Erwartungswert streuen. Beide sind entscheidend für die Interpretation von Wahrscheinlichkeitsverteilungen!
Der Binomialkoeffizient (n über k) gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Objekte aus n Objekten auszuwählen. Die Formel lautet: . Dabei ist wichtig zu wissen: 0! = 1 und n! bezeichnet die Fakultät von n (also 1·2·3·...·n).
Bernoulli-Experimente sind Zufallsexperimente mit genau zwei möglichen Ausgängen: Treffer (1) oder Niete (0). Eine Bernoulli-Kette besteht aus n unabhängigen solcher Experimente. Die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer berechnet sich mit der Bernoulli-Formel:
Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße beträgt µ = n·p, die Standardabweichung σ = √(n·p·q), wobei q = 1-p ist. Mit den Sigma-Regeln kannst du abschätzen, wie wahrscheinlich es ist, dass ein Ergebnis innerhalb einer bestimmten Umgebung des Erwartungswerts liegt (z.B. etwa 68,3% im Bereich µ±σ).
💡 Merke dir: Bei Binomialverteilungen musst du zwischen verschiedenen Fragestellungen unterscheiden: "genau k Treffer" , "höchstens k Treffer" (P(X≤k)), "mindestens k Treffer" (P(X≥k)) usw. Der Taschenrechner hilft dir mit den Funktionen BinomialPd und BinomialCd!
Eine Funktion f ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte über einem Intervall I, wenn f(x)≥0 für alle x aus I gilt und das Integral über I gleich 1 ist. Die wichtigste Wahrscheinlichkeitsdichte ist die Gaußsche Glockenfunktion , deren Graph symmetrisch um x=μ ist und bei x=μ ihr Maximum hat.
Die Normalverteilung folgt dieser Glockenkurve. Ihre Verteilung hat besondere Eigenschaften: Etwa 68,3% aller Werte liegen im Bereich μ±σ, etwa 95,5% im Bereich μ±2σ und sogar 99,7% im Bereich μ±3σ. Der Satz von de Moivre-LaPlace zeigt, dass binomialverteilte Zufallsgrößen bei großem n durch die Normalverteilung angenähert werden können.
Bei Signifikanztests mit normalverteilten Daten testest du, ob ein beobachteter Mittelwert mit einer Hypothese vereinbar ist. Wichtig: Die Mittelwerte von Stichproben sind ebenfalls normalverteilt mit demselben Erwartungswert μ, aber mit der kleineren Standardabweichung .
💡 Klausurtipp: Je größer dein Stichprobenumfang n, desto kleiner wird die Schwankung der Mittelwerte. Die Standardabweichung der Mittelwerte nimmt mit der Wurzel von n ab – das ist besonders wichtig für statistische Tests!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Samantha Klich
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Anna
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Lena M
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Timo S
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Charlotte Marie Schwarzfeller
@charlottemarieschwarzfeller
Tauche ein in die Welt der Wahrscheinlichkeitsrechnung! Diese Zusammenfassung erklärt dir die wichtigsten Konzepte der Stochastik - von grundlegenden Wahrscheinlichkeitsregeln über Binomialverteilung bis hin zur Normalverteilung - alles kompakt und verständlich aufbereitet.
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Die Stochastik nutzt zwei zentrale Regeln: Die Produktregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ergebnisses das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades ist. Die Summenregel bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist, die zu diesem Ergebnis führen.
Mit der Vierfeldertafel kannst du Wahrscheinlichkeiten übersichtlich darstellen. Die Randwerte ergeben sich durch Summenbildung. Bei der bedingten Wahrscheinlichkeit P<sub>A</sub>(B) berechnest du die Wahrscheinlichkeit von B unter der Voraussetzung, dass A bereits eingetreten ist: P<sub>A</sub>(B) = P(A∩B)/P(A).
Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten des einen keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit des anderen hat. Dann gilt: P(A∩B) = P(A) · P(B). Der Satz von Bayes und die totale Wahrscheinlichkeit helfen dir, komplexere Probleme zu lösen.
💡 Tipp: Der Erwartungswert µ gibt dir den Durchschnittswert einer Zufallsgröße an, während die Standardabweichung σ zeigt, wie stark die Werte um den Erwartungswert streuen. Beide sind entscheidend für die Interpretation von Wahrscheinlichkeitsverteilungen!
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Der Binomialkoeffizient (n über k) gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Objekte aus n Objekten auszuwählen. Die Formel lautet: . Dabei ist wichtig zu wissen: 0! = 1 und n! bezeichnet die Fakultät von n (also 1·2·3·...·n).
Bernoulli-Experimente sind Zufallsexperimente mit genau zwei möglichen Ausgängen: Treffer (1) oder Niete (0). Eine Bernoulli-Kette besteht aus n unabhängigen solcher Experimente. Die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer berechnet sich mit der Bernoulli-Formel:
Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße beträgt µ = n·p, die Standardabweichung σ = √(n·p·q), wobei q = 1-p ist. Mit den Sigma-Regeln kannst du abschätzen, wie wahrscheinlich es ist, dass ein Ergebnis innerhalb einer bestimmten Umgebung des Erwartungswerts liegt (z.B. etwa 68,3% im Bereich µ±σ).
💡 Merke dir: Bei Binomialverteilungen musst du zwischen verschiedenen Fragestellungen unterscheiden: "genau k Treffer" , "höchstens k Treffer" (P(X≤k)), "mindestens k Treffer" (P(X≥k)) usw. Der Taschenrechner hilft dir mit den Funktionen BinomialPd und BinomialCd!
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Eine Funktion f ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte über einem Intervall I, wenn f(x)≥0 für alle x aus I gilt und das Integral über I gleich 1 ist. Die wichtigste Wahrscheinlichkeitsdichte ist die Gaußsche Glockenfunktion , deren Graph symmetrisch um x=μ ist und bei x=μ ihr Maximum hat.
Die Normalverteilung folgt dieser Glockenkurve. Ihre Verteilung hat besondere Eigenschaften: Etwa 68,3% aller Werte liegen im Bereich μ±σ, etwa 95,5% im Bereich μ±2σ und sogar 99,7% im Bereich μ±3σ. Der Satz von de Moivre-LaPlace zeigt, dass binomialverteilte Zufallsgrößen bei großem n durch die Normalverteilung angenähert werden können.
Bei Signifikanztests mit normalverteilten Daten testest du, ob ein beobachteter Mittelwert mit einer Hypothese vereinbar ist. Wichtig: Die Mittelwerte von Stichproben sind ebenfalls normalverteilt mit demselben Erwartungswert μ, aber mit der kleineren Standardabweichung .
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Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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