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Mathe
7. Dez. 2025
1.048
19 Seiten
Jule C @julec_jjbd
Stochastik ist der Bereich der Mathematik, der sich mit Zufall und Wahrscheinlichkeiten beschäftigt. Hier lernst du die wichtigsten... Mehr anzeigen
Stell dir vor, du würfelst oder ziehst Kugeln aus einer Urne - das sind typische Zufallsprozesse. Ein Zufallsprozess ist ein Vorgang, der theoretisch unendlich oft wiederholt werden kann und dessen Ausgang ungewiss ist.
Der Ergebnisraum Ω (Omega) umfasst alle möglichen Ausgänge deines Experiments. Beim Würfeln wäre das Ω = {1;2;3;4;5;6}. Ein einzelnes Ergebnis ist dann z.B. die gewürfelte 3.
Ein Ereignis E fasst mehrere mögliche Ergebnisse zusammen - es ist eine Teilmenge des Ergebnisraums. Das Ereignis "gerade Zahl" beim Würfeln hätte die Ergebnismenge E = {2;4;6}. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses schreibst du als P(E).
Merktipp Das Gegenereignis Ē tritt genau dann ein, wenn E nicht eintritt - beim Ereignis "gerade Zahl" wäre das Gegenereignis "ungerade Zahl" mit Ē = {1;3;5}.
Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft ein Ereignis bei deinen Versuchen aufgetreten ist - z.B. "22 mal die 6 geworfen". Die relative Häufigkeit setzt das ins Verhältnis zur Gesamtzahl absolute Häufigkeit geteilt durch Anzahl der Versuche.
Das Gesetz der großen Zahlen besagt Bei unendlich vielen Wiederholungen nähert sich die relative Häufigkeit einer festen Zahl zwischen 0 und 1 an - das ist die Wahrscheinlichkeit P(E).
Laplace-Experimente sind besonders einfach, weil alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind (wie beim fairen Würfel). Hier gilt P(E) = Anzahl günstiger Ergebnisse / Anzahl möglicher Ergebnisse.
Praxistipp Beim Würfeln ist P("gerade Zahl") = 3/6 = 1/2, da es 3 günstige (2,4,6) von 6 möglichen Ergebnissen gibt.
Für Wahrscheinlichkeiten gelten wichtige Rechenregeln Unmögliche Ereignisse haben P(E) = 0, sichere Ereignisse P(E) = 1. Der Additionssatz lautet P(E₁ ∪ E₂) = P(E₁) + P(E₂) - P(E₁ ∩ E₂).
Mehrstufige Zufallsversuche stellst du mit Baumdiagrammen dar. Jeder Ast zeigt eine Wahrscheinlichkeit, jeder Pfad ein mögliches Gesamtergebnis. Die Pfadregeln sind dein wichtigstes Werkzeug
Beim Ziehen mit Zurücklegen bleiben die Wahrscheinlichkeiten konstant, beim Ziehen ohne Zurücklegen ändern sie sich nach jedem Zug.
Beispiel Beim zweifachen Würfeln ist P(1,1) = 1/6 · 1/6 = 1/36 nach der ersten Pfadregel.
Die Produktregel der Kombinatorik hilft dir bei Auswahlproblemen Bei 10 Hemden, 4 Hosen und 7 Krawatten gibt es 10 · 4 · 7 = 280 verschiedene Kombinationen.
Für das Ziehen aus Urnen gibt es drei wichtige Fälle
Das Lottomodell verwendet den dritten Fall. Bei "6 aus 49" mit 4 Richtigen gilt P("4 Richtige") = (6 4)·(43 2)/(49 6).
Merkhilfe Beim Lotto interessiert nur, welche Zahlen gezogen werden - nicht in welcher Reihenfolge. Deshalb Fall 3!
Bedingte Wahrscheinlichkeit beschreibt Situationen, wo du bereits Informationen hast. P_B(A) ist die Wahrscheinlichkeit für A, wenn B schon eingetreten ist. Die Formel lautet P_B(A) = P(A ∩ B)/P(B).
Der Multiplikationssatz P(A ∩ B) = P(B) · P_B(A) und der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit P(A) = P(B) · P_B(A) + P(B̄) · P_B̄(A) helfen bei komplexeren Problemen.
Unabhängige Ereignisse beeinflussen sich nicht gegenseitig. Dann gilt P_A(B) = P(B) oder äquivalent P(A ∩ B) = P(A) · P(B). In der Vierfeldertafel erkennst du Unabhängigkeit daran, dass P(A ∩ B) = P(A) · P(B) ist.
Wichtig Bei Unabhängigkeit folgt aus einem unabhängigen "Pärchen" automatisch die Unabhängigkeit aller anderen Kombinationen.
Eine Zufallsgröße X ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsversuchs eine reelle Zahl zu - z.B. den Gewinn bei einem Spiel. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung zeigt dir, welche Werte X mit welcher Wahrscheinlichkeit annimmt.
Der Erwartungswert μ = E(X) ist der durchschnittliche Wert bei vielen Wiederholungen μ = x₁ · P + x₂ · P + ... Er gibt deine langfristige Gewinnerwartung an.
Die Varianz V(X) und Standardabweichung σ(X) = √V(X) messen, wie stark die Werte um den Erwartungswert streuen. Je größer σ, desto unvorhersagbarer sind die Ergebnisse.
Faire Spiele haben E(X) = 0 - auf lange Sicht gewinnst und verlierst du gleich viel.
Praxistipp Ein Histogramm visualisiert die Wahrscheinlichkeitsverteilung als Säulendiagramm - die Säulenhöhe entspricht der Wahrscheinlichkeit.
Die Binomialverteilung beschreibt Bernoulli-Ketten - Experimente mit genau zwei Ausgängen , die n-mal mit konstantem p wiederholt werden. Die Zufallsgröße X zählt die Anzahl der Treffer.
Die Wahrscheinlichkeitsformel lautet P = (n k) · pᵏ · ⁿ⁻ᵏ. Diese diskrete Verteilung hat die Parameter n (Anzahl Versuche) und p (Trefferwahrscheinlichkeit).
Im Histogramm siehst du Säulen mit Breite 1 und Höhe P. Die Flächensumme aller Säulen ergibt 1, da sich alle Wahrscheinlichkeiten zu 1 addieren.
Typische Beispiele sind Münzwürfe, Qualitätsprüfungen oder Multiple-Choice-Tests. Die Binomialverteilung hilft dir, Fragen wie "Wie wahrscheinlich sind mindestens 3 Treffer bei 10 Versuchen?" zu beantworten.
Merksatz Bei Bernoulli-Experimenten bleibt p konstant (Ziehen mit Zurücklegen), und es gibt nur zwei mögliche Ausgänge pro Versuch.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Erforschen Sie die Binomialverteilung mit Fokus auf Bernoulli-Versuche, Binomialkoeffizienten und kumulierten Wahrscheinlichkeiten. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie die Sicherheitswahrscheinlichkeit, Standardabweichung und die empirische Regel. Ideal für Studierende der Statistik, die ein tiefes Verständnis der Binomialverteilung und ihrer Anwendungen suchen.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Stochastik mit Fokus auf Baumdiagramme, Vierfeldertafeln, bedingte Wahrscheinlichkeiten, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung. Erfahren Sie mehr über Bernoulli-Ketten und die Binomialverteilung, einschließlich praktischer Beispiele und Anwendungen. Ideal für Studierende der Mathematik und Statistik.
MatheVertiefte Erklärungen zur Bernoulli-Kette und Binomialverteilung, einschließlich Wahrscheinlichkeitsberechnungen, Hypothesentests und der Normalverteilung. Ideal für Abiturienten im Leistungskurs Mathematik. Themen: Binomialkoeffizienten, kumulierte Wahrscheinlichkeiten, Signifikanztests und die empirische Regel.
MatheUmfassende Zusammenfassung der Themen Stochastik, Analysis und Analytische Geometrie für das Mathematik-Abitur in NRW. Enthält wichtige Konzepte wie Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen, Normalverteilung, Ableitungen, Integrale und mehr. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsverteilungen, einschließlich der Berechnung von Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung. Diese Zusammenfassung behandelt die Binomialverteilung, graphische Darstellungen und die Anwendung von Wahrscheinlichkeitsintervallen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen in der Stochastik vorbereiten.
MatheDieser Lernzettel behandelt die Normalverteilung, die Eigenschaften der Gaußschen Glockenkurve und die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Er umfasst die Dichtefunktion, Verteilungsfunktionen und wichtige statistische Konzepte. Ideal für die Klausurvorbereitung in mathematischer Statistik.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
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Jule C
@julec_jjbd
Stochastik ist der Bereich der Mathematik, der sich mit Zufall und Wahrscheinlichkeiten beschäftigt. Hier lernst du die wichtigsten Grundbegriffe, Rechenregeln und Verteilungen kennen, die dir helfen, zufällige Ereignisse mathematisch zu beschreiben und zu berechnen.
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Stell dir vor, du würfelst oder ziehst Kugeln aus einer Urne - das sind typische Zufallsprozesse. Ein Zufallsprozess ist ein Vorgang, der theoretisch unendlich oft wiederholt werden kann und dessen Ausgang ungewiss ist.
Der Ergebnisraum Ω (Omega) umfasst alle möglichen Ausgänge deines Experiments. Beim Würfeln wäre das Ω = {1;2;3;4;5;6}. Ein einzelnes Ergebnis ist dann z.B. die gewürfelte 3.
Ein Ereignis E fasst mehrere mögliche Ergebnisse zusammen - es ist eine Teilmenge des Ergebnisraums. Das Ereignis "gerade Zahl" beim Würfeln hätte die Ergebnismenge E = {2;4;6}. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses schreibst du als P(E).
Merktipp: Das Gegenereignis Ē tritt genau dann ein, wenn E nicht eintritt - beim Ereignis "gerade Zahl" wäre das Gegenereignis "ungerade Zahl" mit Ē = {1;3;5}.
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Laplace-Experimente sind besonders einfach, weil alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind (wie beim fairen Würfel). Hier gilt: P(E) = Anzahl günstiger Ergebnisse / Anzahl möglicher Ergebnisse.
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Beim Ziehen mit Zurücklegen bleiben die Wahrscheinlichkeiten konstant, beim Ziehen ohne Zurücklegen ändern sie sich nach jedem Zug.
Beispiel: Beim zweifachen Würfeln ist P(1,1) = 1/6 · 1/6 = 1/36 nach der ersten Pfadregel.
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Der Multiplikationssatz P(A ∩ B) = P(B) · P_B(A) und der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit P(A) = P(B) · P_B(A) + P(B̄) · P_B̄(A) helfen bei komplexeren Problemen.
Unabhängige Ereignisse beeinflussen sich nicht gegenseitig. Dann gilt: P_A(B) = P(B) oder äquivalent P(A ∩ B) = P(A) · P(B). In der Vierfeldertafel erkennst du Unabhängigkeit daran, dass P(A ∩ B) = P(A) · P(B) ist.
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Eine Zufallsgröße X ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsversuchs eine reelle Zahl zu - z.B. den Gewinn bei einem Spiel. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung zeigt dir, welche Werte X mit welcher Wahrscheinlichkeit annimmt.
Der Erwartungswert μ = E(X) ist der durchschnittliche Wert bei vielen Wiederholungen: μ = x₁ · P + x₂ · P + ... Er gibt deine langfristige Gewinnerwartung an.
Die Varianz V(X) und Standardabweichung σ(X) = √V(X) messen, wie stark die Werte um den Erwartungswert streuen. Je größer σ, desto unvorhersagbarer sind die Ergebnisse.
Faire Spiele haben E(X) = 0 - auf lange Sicht gewinnst und verlierst du gleich viel.
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Die Binomialverteilung beschreibt Bernoulli-Ketten - Experimente mit genau zwei Ausgängen , die n-mal mit konstantem p wiederholt werden. Die Zufallsgröße X zählt die Anzahl der Treffer.
Die Wahrscheinlichkeitsformel lautet: P = (n k) · pᵏ · ⁿ⁻ᵏ. Diese diskrete Verteilung hat die Parameter n (Anzahl Versuche) und p (Trefferwahrscheinlichkeit).
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Typische Beispiele sind Münzwürfe, Qualitätsprüfungen oder Multiple-Choice-Tests. Die Binomialverteilung hilft dir, Fragen wie "Wie wahrscheinlich sind mindestens 3 Treffer bei 10 Versuchen?" zu beantworten.
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Erforschen Sie die Binomialverteilung mit Fokus auf Bernoulli-Versuche, Binomialkoeffizienten und kumulierten Wahrscheinlichkeiten. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie die Sicherheitswahrscheinlichkeit, Standardabweichung und die empirische Regel. Ideal für Studierende der Statistik, die ein tiefes Verständnis der Binomialverteilung und ihrer Anwendungen suchen.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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