Stochastik und Wahrscheinlichkeiten - Mathe GK Q3 Abiturvorbereitung Hessen

Grundlagen der Statistik

Du kennst das bestimmt: "6 Leute in der Klasse haben blaue Augen" - das ist die absolute Häufigkeit. Sie zeigt dir ganz einfach, wie oft etwas vorkommt. Viel praktischer zum Vergleichen ist aber die relative Häufigkeit von 30%, weil du damit verschiedene Gruppen besser vergleichen kannst.

Wenn du chaotische Daten wie Schulwegzeiten hast (42, 19, 17, 8, 26...), dann hilft dir die Klassierung. Du teilst sie in Gruppen ein: 0-5, 5-10, 10-15 usw. So behältst du den Überblick und kannst Muster erkennen.

Das arithmetische Mittel (auch Durchschnitt genannt) berechnest du, indem du alle Werte addierst und durch die Anzahl teilst. Bei unserem Schulweg-Beispiel wären das 18,54 Minuten - ziemlich realistisch, oder?

Tipp: Für die empirische Standardabweichung nutzt du am besten den Taschenrechner (MENU → 6: STATISTIK). Das spart Zeit und Nerven in der Klausur!

Mengen und Wahrscheinlichkeitsgrundlagen

Vereinigung (∪) und Schnitt (∩) von Mengen klingen kompliziert, sind aber total logisch. Wenn E₁ alle durch 9 teilbaren Zahlen enthält {9, 18, 27, 36, 45} und E₂ alle durch 12 teilbaren {12, 24, 36, 48}, dann ist ihr Schnitt nur {36} - die einzige Zahl, die in beiden vorkommt.

Das Gegenereignis Ē tritt ein, wenn das ursprüngliche Ereignis nicht passiert. Beim Würfeln ist das Gegenereignis zu "gerade Zahl" {2, 4, 6} eben "ungerade Zahl" {1, 3, 5}. Macht Sinn, oder?

Das empirische Gesetz der großen Zahlen ist mega wichtig: Je öfter du etwas ausprobierst, desto näher kommst du der echten Wahrscheinlichkeit. Wenn du 100-mal würfelst und 20-mal die 3 kriegst, sind das 20% - bei 1000 Würfen wird's genauer.

Merke dir: Die Formel P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) brauchst du ständig. Das minus P(A∩B) verhindert, dass du Überschneidungen doppelt zählst!

Laplace-Experimente und mehrstufige Versuche

Laplace-Experimente sind die fairsten aller Zufallsversuche - jedes Ergebnis hat die gleiche Chance! Die Formel ist super simpel: P(E) = günstige Ergebnisse ÷ alle möglichen Ergebnisse. Beim dreimaligen Münzwurf gibt's 8 mögliche Kombinationen, also ist P(drei mal Kopf) = 1/8.

Bei mehrstufigen Zufallsversuchen musst du zwischen "mit" und "ohne Zurücklegen" unterscheiden. Ziehst du ohne Zurücklegen, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten nach jedem Zug - logisch, es sind ja weniger Kugeln da!

Die goldene Regel für Baumdiagramme: Am Ast multiplizieren, die Äste addieren. Willst du mindestens einmal grün ziehen, rechnest du entweder alle günstigen Pfade zusammen oder nutzt die Gegenwahrscheinlichkeit: 1 - P(kein einziges Mal grün).

Pro-Tipp: Bei "mindestens einmal"-Aufgaben ist die Gegenwahrscheinlichkeit oft viel schneller zu berechnen!

Kombinatorische Abzählverfahren

Die Produktregel ist dein bester Freund bei Kennzeichen und Zahlenschlössern. Du multiplizierst einfach alle Möglichkeiten: Bei einem Kennzeichen mit 2 Buchstaben und 2 Zahlen sind das 26 × 26 × 10 × 10 = 67.600 Möglichkeiten.

Ziehen mit Zurücklegen bedeutet: Nach jedem Zug sind wieder alle Optionen da. Bei 20 Multiple-Choice-Fragen mit je 4 Antworten gibt's 4²⁰ verschiedene Antwortbögen - eine astronomische Zahl!

Ziehen ohne Zurücklegen ist wie beim Marathon: Für die Top 3 von 30 Teilnehmern gibt's 30 × 29 × 28 = 24.360 Möglichkeiten. Die Formel n!/$n-k$! macht's mathematisch sauber.

Beim Lotto ist die Reihenfolge egal - 1,2,3,4,5,6 ist dasselbe wie 6,5,4,3,2,1. Deshalb teilst du durch k! und kommst bei "6 aus 49" auf etwa 14 Millionen Möglichkeiten.

Eselsbrücke: Mit Zurücklegen = Potenz (4²⁰), ohne Zurücklegen mit Reihenfolge = Fakultät-Formel, ohne Reihenfolge = Binomialkoeffizient!

Das Lottomodell

Das Lottomodell zeigt dir, wie winzig deine Gewinnchancen wirklich sind! Für genau 4 Richtige beim "6 aus 49" teilst du die günstigen durch alle möglichen Kombinationen und landest bei mageren 0,96%.

Die Formel sieht kompliziert aus, ist aber logisch: Du wählst 4 aus deinen 6 richtigen Zahlen und 2 aus den 43 falschen, geteilt durch alle möglichen 6er-Kombinationen. Dein Taschenrechner macht das mit SHIFT ÷ (nCr) blitzschnell.

Bei "höchstens zwei Richtige" addierst du die Wahrscheinlichkeiten für 0, 1 und 2 Richtige. Das Ergebnis von 98,1% zeigt: Du verlierst fast immer! Trotzdem spielen Millionen Menschen Lotto - die Hoffnung stirbt zuletzt.

Realitätscheck: Mit 98,1% Wahrscheinlichkeit hast du höchstens 2 Richtige. Dein Geld ist beim Sparen besser aufgehoben!