Ganzrationale Funktionen und ihre Symmetrien

Symmetrie bei ganzrationalen Funktionen

Achsensymmetrie erkennst du sofort daran, dass eine Funktion nur gerade Exponenten hat. Der Graph ist dann symmetrisch zur y-Achse – wie ein Spiegel!

Den mathematischen Nachweis führst du mit f$x$ = f$-x$ durch. Bei f$x$ = 2x⁴ + x² - 1 siehst du: f$-x$ = 2$-x$⁴ + $-x$² - 1 = 2x⁴ + x² - 1 = f$x$. Perfekt symmetrisch!

Punktsymmetrie findest du bei Funktionen mit nur ungeraden Exponenten. Diese Funktionen sind symmetrisch zum Koordinatenursprung (0|0). Der Nachweis läuft über f$x$ = -f$-x$.

Bei f$x$ = 3x³ + 2x gilt: -f$-x$ = -$3(-x)³ + 2(-x)$ = -$-3x³ - 2x$ = 3x³ + 2x = f$x$. Das zeigt die Punktsymmetrie eindeutig.

Keine Symmetrie liegt vor, wenn eine Funktion sowohl gerade als auch ungerade Exponenten enthält. Bei f$x$ = x⁴ + 2x³ - x + 1 ist das der Fall – hier funktioniert weder Achsen- noch Punktsymmetrie.

Merktipp: Gerade Exponenten → Achsensymmetrie, ungerade Exponenten → Punktsymmetrie, gemischt → keine Symmetrie!