Einführung in Gleichungen und ihre Anwendungen

Was sind Funktionen und lineare Funktionen?

Eine Funktion ist basically eine mathematische Beziehung, die jedem x-Wert genau einen y-Wert zuordnet. Ihr könnt sie als Graph darstellen und es gibt verschiedene Arten wie lineare, quadratische oder exponentielle Funktionen.

Lineare Funktionen folgen der Formel y = mx + b, wobei m die Steigung und b den y-Achsenabschnitt darstellt. Die Steigung m zeigt an, wie steil die Gerade verläuft, während b angibt, wo sie die y-Achse schneidet.

Um eine lineare Funktion zu zeichnen, erstellt ihr am besten eine Wertetabelle. Setzt verschiedene x-Werte ein und berechnet die zugehörigen y-Werte. Bei y = 2x + 1 erhaltet ihr beispielsweise für x = 1 den Wert y = 3, für x = 2 den Wert y = 5 und so weiter.

Merktipp: Bei f$x$ = konstant verläuft die Gerade parallel zur x-Achse, bei x = konstant parallel zur y-Achse.

Für die Bestimmung von Geradengleichungen gibt es mehrere Varianten: das Lineare Gleichungssystem (LGS), die Punkt-Steigung-Form oder die Zwei-Punkte-Gleichung. Alle führen zum gleichen Ergebnis, nur der Rechenweg unterscheidet sich.

Lagebeziehungen von Geraden

Zwei Geraden können sich auf drei verschiedene Arten zueinander verhalten, und das erkennt ihr an ihren Steigungen m und y-Achsenabschnitten b.

Parallele Geraden (g ∥ h) haben die gleiche Steigung m, aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte. Sich schneidende Geraden haben verschiedene Steigungen. Identische Geraden (g ≡ h) haben sowohl gleiche Steigung als auch gleichen y-Achsenabschnitt.

Den Schnittpunkt zweier Geraden findet ihr, indem ihr beide Gleichungen gleichsetzt. Beispiel: 0,5x + 3 = 2x - 4. Nach dem Umformen erhaltet ihr x = 4⅔, das ihr dann in eine der Gleichungen einsetzt, um y zu berechnen.

Prüfungstrick: Kontrolliert euren Schnittpunkt, indem ihr beide Koordinaten in beide ursprünglichen Gleichungen einsetzt.

Für die Winkelberechnung zwischen zwei Geraden nutzt ihr die Arkustangens-Funktion: tan⁻¹$m$. Berechnet beide Winkel zur x-Achse und bildet die Differenz. Wenn das Ergebnis größer als 90° ist, rechnet 180° - α, denn ihr braucht immer den kleineren Winkel.

Quadratische Funktionen - Die Normalparabel

Die Normalparabel f$x$ = x² ist euer Ausgangspunkt für alle quadratischen Funktionen. Um Funktionswerte zu bestimmen, setzt ihr einfach den gewünschten y-Wert gleich x² und zieht die Wurzel.

Verschiebungen der Normalparabel funktionieren systematisch: f$x$ = x² + b verschiebt um b Einheiten nach oben/unten. g$x$ = $x - a$² verschiebt um a Einheiten nach rechts/links. Kombiniert ergibt das y = $x - a$² + b.

Bei Vorzeichen müsst ihr aufpassen: $x - 4$² bedeutet 4 nach rechts, $x + 4$² bedeutet 4 nach links. Das Vorzeichen in der Klammer ist umgekehrt zur tatsächlichen Verschiebungsrichtung.

Achtung: Bei g$x$ = x² + 2x + 1 könnt ihr durch quadratische Ergänzung auf $x + 1$² umformen und so die Verschiebung erkennen.

Streckungen entstehen durch den Faktor a vor x²: f$x$ = ax². Bei |a| > 1 wird die Parabel gestreckt (steiler), bei 0 < |a| < 1 wird sie gestaucht (flacher). Ist a negativ, öffnet sich die Parabel nach unten.

Nullstellen und Scheitelpunktform

Nullstellen quadratischer Funktionen findet ihr mit der pq-Formel: x₁,₂ = -p/2 ± √$(p/2)² - q$. Wichtig: Bringt die Gleichung erst in die Form x² + px + q = 0, und wenn ein Faktor vor x² steht, teilt durch diesen.

Die Scheitelpunktform y = a$x - d$² + e zeigt euch direkt den Scheitelpunkt S(d|e). Um von der Normalform dahin zu kommen, nutzt ihr die quadratische Ergänzung: Klammert den Faktor vor x² aus, ergänzt das Quadrat und wendet die binomische Formel an.

Beispiel: y = ½x² + 4x - 6 wird zu y = ½$x + 4$² - 14 mit Scheitelpunkt S$-4|-14$. Der Trick: Wenn die Klammer null wird, habt ihr die x-Koordinate des Scheitelpunkts.

Formel-Check: Die drei binomischen Formeln solltet ihr auswendig können: (a±b)² = a² ± 2ab + b² und a+b$$a-b = a² - b².

Für Geradengleichungen mit zwei Punkten berechnet ihr zuerst die Steigung m = $y₂-y₁$/$x₂-x₁$, dann setzt ihr einen Punkt in y = mx + b ein, um b zu bestimmen.

Schnittpunkte von Parabeln und Geraden

Wenn eine Gerade eine Parabel schneidet, entstehen drei mögliche Situationen: Sekante (2 Schnittpunkte), Tangente (1 Schnittpunkt) oder Passante (0 Schnittpunkte).

Um Schnittpunkte zu finden, setzt ihr die Parabel- und Geradengleichung gleich. Beispiel: x² + 4x - 3 = 3x - 3 wird zu x² + x = 0. Mit der pq-Formel erhaltet ihr die x-Werte der Schnittpunkte.

Die x-Werte setzt ihr dann in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um die y-Koordinaten zu bekommen. Bei zwei Lösungen habt ihr eine Sekante, bei einer Lösung eine Tangente, bei keiner reellen Lösung eine Passante.

Parabelgleichungen bestimmt ihr mit drei Punkten und einem Gleichungssystem. Die allgemeine Form y = ax² + bx + c liefert euch drei Unbekannte, für die ihr drei Gleichungen mit den gegebenen Punkten aufstellt.

Übersicht: Ihr arbeitet mit der Normalform (y = ax² + bx + c), der Scheitelpunktform $y = a(x-d)² + e$ und der Normalparabel $y = x²$ - je nach Aufgabenstellung.