Sinus und Kosinus Grundlagen

Trigonometrie startet mit dem rechtwinkligen Dreieck, aber wird richtig spannend mit dem Einheitskreis. Hier siehst du die wichtigste Verbindung: Sinus ist die y-Koordinate und Kosinus die x-Koordinate eines Punktes auf dem Kreis.

Die klassischen Formeln kennst du schon: sin(α) = Gegenkathete/Hypotenuse und cos(α) = Ankathete/Hypotenuse. Am Einheitskreis wird das zu sin(α) = y/r und cos(α) = x/r, wobei r = 1 ist.

Die wichtigsten Werte solltest du auswendig können: Bei 0°, 30°, 45°, 60° und 90° gibt es feste Werte, die immer wieder in Klausuren vorkommen. Besonders die Nullstellen bei 0°, 90°, 180°, 270° und 360° sind super wichtig.

Merktipp: Bei cos(α) startest du bei 1 und gehst runter, bei sin(α) startest du bei 0 und gehst hoch!

Bogenmaß und die Funktionen

Das Bogenmaß macht alles eleganter - statt Grad verwendest du die tatsächliche Bogenlänge am Einheitskreis. Die Formel α/360° = x/2π hilft dir beim Umrechnen zwischen Grad und Bogenmaß.

Jetzt werden Sinus und Kosinus zu echten Funktionen: f(x) = sin(x) und f(x) = cos(x). Diese Funktionen nehmen jeden x-Wert und spucken den entsprechenden Sinus- oder Kosinuswert aus.

Die Sinusfunktion startet bei 0, die Kosinusfunktion bei 1. Beide schwingen schön periodisch hin und her. Cool ist: sin(x) = cos$x - π/2$ - die Funktionen sind nur um 90° verschoben!

Achtung: Negative x-Werte sind völlig normal - die Funktionen laufen unendlich in beide Richtungen!

Veränderte Sinus- und Kosinusfunktionen

Mit f(x) = a·sin$b·(x-c)$ + d kannst du die Grundfunktion richtig aufpimpen! Jeder Parameter verändert die Funktion auf seine eigene Art.

Parameter a ist die Amplitude - sie streckt oder staucht die Funktion in y-Richtung. Parameter b verändert die Periode, also wie "schnell" die Funktion schwingt. Je größer b, desto enger die Schwingungen.

Parameter c verschiebt alles nach rechts oder links, Parameter d nach oben oder unten. Das ist die Mittellage - die neue "Nulllinie" deiner Funktion.

Ein Beispiel: f(x) = 2·sin$(x-1)$ + 4 hat Amplitude 2, ist um 1 nach rechts und um 4 nach oben verschoben. Die Mittellage liegt bei y = 4.

Tipp: Zeichne immer erst die Mittellage, dann die Amplitude dazu!

Ableitung von Sinus und Kosinus

Die Ableitung von Sinus- und Kosinusfunktionen ist überraschend elegant! Wenn f(x) = sin(x), dann ist f'(x) = cos(x). Bei g(x) = cos(x) wird g'(x) = -sin(x).

Das Minuszeichen beim Kosinus ist wichtig - vergiss es nicht! Diese Ableitungsregeln funktionieren genauso wie bei anderen Funktionen mit der Kettenregel.

Bei komplexeren Funktionen wendest du einfach die normalen Ableitungsregeln an. Beispiel: h(x) = 3·sin(x) + cos(x) + 4/x² wird zu h'(x) = 3·cos(x) - sin(x) - 8/x³.

Merkhilfe: Sinus wird zu Kosinus, Kosinus wird zu minus Sinus - wie ein Kreislauf!