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Mathematik

Trigonometrische Funktionen und Identitäten

Mathe1.364Aktualisiert 26. Sept. 20265 Seiten

Trigonometrie Lernzettel für Klausur

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Celina Wennrich@celinawennrich_206207
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Exponentialfunktionen, Logarithmus und Trigonometrie sind zentrale Themen in Mathe, die euch in der Oberstufe und im Abi begegnen. Diese drei Bereiche bauen aufeinander auf und sind wichtig für viele praktische Anwendungen.
Lernzettel, Trigonometrie – Seite 1

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Exponentialfunktionen und Parameter

Exponentialfunktionen der Form fxx = c · aˣ sind überall um euch herum - von Bakterienwachstum bis zu radioaktivem Zerfall. Der Graph verläuft immer durch den Punkt (0|1) und hat die x-Achse als waagerechte Asymptote.

Die Parameter b, d und e verändern den Graphen komplett. Parameter b streckt oder staucht entlang der y-Achse: |b| > 1 bedeutet Streckung, |b| < 1 bedeutet Stauchung. Ist b negativ, wird der Graph an der x-Achse gespiegelt.

Parameter e verschiebt den ganzen Graphen nach oben oder unten. Die neue Asymptote liegt dann bei y = e statt bei y = 0. Parameter d schiebt den Graphen horizontal: x−dx - d bedeutet d Einheiten nach rechts, x+dx + d bedeutet d Einheiten nach links.

Merktipp: Bei a > 1 steigt die Funktion streng monoton, bei 0 < a < 1 fällt sie streng monoton.

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Logarithmus und natürliche Exponentialfunktion

Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion - super praktisch zum Lösen von Exponentialgleichungen. Wenn aˣ = b ist, dann ist x = log_abb. Die fünf Logarithmusgesetze sind euer Werkzeugkasten für Berechnungen.

Die Eulersche Zahl e ≈ 2,71828 ist besonders wichtig, weil fxx = eˣ ihre eigene Ableitung ist. Das macht Rechnungen in der Analysis viel einfacher. Der natürliche Logarithmus lnxx ist die Umkehrfunktion zu eˣ.

Ihr könnt jede Exponentialfunktion mit beliebiger Basis a in die natürliche Form mit Basis e umwandeln. Das ist oft praktischer für weitere Berechnungen, besonders beim Ableiten.

Praxistipp: Exponentialgleichungen wie 3ˣ = 32 löst ihr am einfachsten mit x = log(32)/log(3).

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Trigonometrische Grundlagen

Trigonometrie startet mit den drei Grundfunktionen: sin, cos und tan. Am rechtwinkligen Dreieck sind das die Verhältnisse von Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse. Der Einheitskreis macht diese Funktionen für alle Winkel verständlich.

Wichtige Beziehungen zwischen den Funktionen: tan x = sin x / cos x und der Satz des Pythagoras führt zu (sin x)² + (cos x)² = 1. Diese Formeln braucht ihr ständig.

Gradmaß und Bogenmaß sind zwei verschiedene Arten, Winkel zu messen. Die Umrechnung funktioniert über x/360° = b/2π. Das Bogenmaß ist in der höheren Mathematik Standard, weil es natürlicher ist.

Wichtige Werte: sin 0° = 0, sin 90° = 1, cos 0° = 1, cos 90° = 0 - diese solltet ihr auswendig können.

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Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen

Sinus- und Kosinusfunktion haben beide die Amplitude 1 und die Periode 2π (bzw. 360°). Sie sind um 90° gegeneinander verschoben: cosxx = sinx+90°x + 90°. Das macht viele Berechnungen einfacher.

Die Symmetrieeigenschaften helfen beim Verstehen: sinxx ist punktsymmetrisch zum Ursprung (ungerade Funktion), cosxx ist achsensymmetrisch zur y-Achse (gerade Funktion).

Nullstellen findet ihr regelmäßig: Sinus hat Nullstellen bei x = k·π, Kosinus bei x = π/2 + k·π. Diese Muster wiederholen sich durch die Periodizität.

Merksatz: Beide Funktionen schwanken zwischen -1 und +1, deshalb ist der Wertebereich W = −1;1-1; 1.

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Trigonometrische Transformationen und Ableitungen

Parameter in trigonometrischen Funktionen verändern den Graphen systematisch. Bei fxx = a·sinb(x−d)b(x-d) + e bewirkt a eine Amplitudenänderung, b verändert die Periode zu 2π/b, d verschiebt horizontal und e vertikal.

Funktionen aus Graphen aufzustellen wird einfach, wenn ihr systematisch vorgeht: Erst die Amplitude bestimmen, dann die Periode, schließlich die Verschiebungen. Die Periode berechnet ihr mit Periode = 2π/b.

Ableitungen der trigonometrischen Funktionen folgen einem einfachen Muster: fxx = sinxx → f'xx = cosxx und fxx = cosxx → f'xx = -sinxx. Das wechselt immer zwischen sin und cos, mit gelegentlichem Vorzeichenwechsel.

Praxistipp: Trigonometrische Gleichungen wie sinxx = a löst ihr mit der Umkehrfunktion arcsin.

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