Grundlagen von Zahlenfolgen
Monotonie ist super wichtig zu verstehen: Eine Folge ist streng monoton steigend, wenn jedes Folgenglied größer ist als das vorherige. Bei fallenden Folgen wird jedes Glied kleiner. Alternierend bedeutet, dass die Folge zwischen positiven und negativen Werten hin- und herspringt.
Der Grenzwert ist der Wert, dem sich eine Folge immer mehr annähert, ohne ihn unbedingt zu erreichen. Jede Folge kann höchstens einen Grenzwert haben - das ist ein wichtiger Merksatz für die Klausur!
Bei der Beschränktheit geht es darum, ob die Folgenglieder in einem bestimmten Bereich bleiben. Hier der Clou: Ist eine Folge sowohl monoton als auch beschränkt, dann ist sie automatisch konvergent.
Tipp: Monoton + beschränkt = konvergent - diese Regel spart euch in der Klausur viel Zeit!
Folgen umwandeln funktioniert in beide Richtungen: Explizite Folgen haben die Form an=4n, rekursive Folgen bauen auf dem vorherigen Glied auf: an=an−1+4. Rechnet immer erstmal 5 Folgenglieder aus und sucht nach Mustern - das ist der Schlüssel zum Erfolg.