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10. Dez. 2025

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Zahlenfolgen erklärt: Monotonie, Beschränktheit & Limes

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Lara

@itslaraa

Zahlenfolgen sind ein zentrales Thema in der Oberstufen-Mathematik und kommen... Mehr anzeigen

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Zahlenfolgen
1. Eigenschaften von Folgen
• Monoten: mit wachsendem n
-> streng monoton
werden Folgeglieder größer
Folge
durchgängig steigt /

Grundlagen von Zahlenfolgen

Monotonie ist super wichtig zu verstehen: Eine Folge ist streng monoton steigend, wenn jedes Folgenglied größer ist als das vorherige. Bei fallenden Folgen wird jedes Glied kleiner. Alternierend bedeutet, dass die Folge zwischen positiven und negativen Werten hin- und herspringt.

Der Grenzwert ist der Wert, dem sich eine Folge immer mehr annähert, ohne ihn unbedingt zu erreichen. Jede Folge kann höchstens einen Grenzwert haben - das ist ein wichtiger Merksatz für die Klausur!

Bei der Beschränktheit geht es darum, ob die Folgenglieder in einem bestimmten Bereich bleiben. Hier der Clou: Ist eine Folge sowohl monoton als auch beschränkt, dann ist sie automatisch konvergent.

Tipp: Monoton + beschränkt = konvergent - diese Regel spart euch in der Klausur viel Zeit!

Folgen umwandeln funktioniert in beide Richtungen: Explizite Folgen haben die Form an=4na_n = 4n, rekursive Folgen bauen auf dem vorherigen Glied auf: an=an1+4a_n = a_{n-1} + 4. Rechnet immer erstmal 5 Folgenglieder aus und sucht nach Mustern - das ist der Schlüssel zum Erfolg.

Zahlenfolgen
1. Eigenschaften von Folgen
• Monoten: mit wachsendem n
-> streng monoton
werden Folgeglieder größer
Folge
durchgängig steigt /

Beschränktheit und Monotonie bestimmen

Für die Beschränktheit rechnet ihr erstmal 5 Folgenglieder aus, plus ein richtig großes wie das 1000. Folgenglied. Dann schaut ihr, ob die Zahlen steigen oder fallen und benutzt Grenzwertsätze mit limn\lim_{n \to \infty}, um die andere Schranke zu finden.

Die Monotonie bestimmt ihr mit der Formel an+1ana_{n+1} - a_n. Setzt eure Folge ein und rechnet das durch. Erweitert Brüche kreuzweise und passt bei Klammern auf - besonders bei (n+1)2(n+1)^2!

Das Ergebnis sagt euch alles: Ist es größer als 0, dann ist die Folge streng monoton steigend. Ist es kleiner als 0, dann fällt sie streng monoton. Bei Exponentialfolgen oder nur positiven Gliedern könnt ihr auch an+1an\frac{a_{n+1}}{a_n} verwenden.

Merkhilfe: Plus bedeutet steigend, Minus bedeutet fallend - so einfach ist das!

Der Trick ist, systematisch zu arbeiten: Brüche sauber erweitern, Klammern richtig setzen und am Ende alles zusammenfassen. Mit etwas Übung wird das zur Routine.

Zahlenfolgen
1. Eigenschaften von Folgen
• Monoten: mit wachsendem n
-> streng monoton
werden Folgeglieder größer
Folge
durchgängig steigt /

Grenzwerte berechnen und beweisen

Grenzwerte bestimmen ist eigentlich straightforward: Klammert die höchste Potenz aus und wendet die Grenzwertsätze an. Schreibt immer limnan=limn...\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} ... hin und vereinfacht dann Schritt für Schritt.

Beim Grenzwerte beweisen wird's spannender: Ihr setzt die Folge in die Ungleichung ang<ϵ|a_n - g| < \epsilon ein. Dann erweitert ihr die Brüche, vereinfacht und löst nach n auf. Die Betragsstriche fallen weg, wenn die Zahl positiv ist, bei negativen Zahlen wird's zu (xy)-(xy).

Das Ergebnis sagt euch, ab welchem Folgenglied die Glieder weniger als ϵ\epsilon vom Grenzwert entfernt sind. Das ist der mathematische Beweis dafür, dass eure Folge wirklich gegen diesen Grenzwert läuft.

Praxistipp: Rechnet erstmal ein paar konkrete Beispiele durch, bevor ihr den allgemeinen Beweis angeht!

Für Grenzwerte nicht gegen unendlich müsst ihr links- und rechtsseitige Grenzwerte betrachten. Bei stückweise definierten Funktionen schaut ihr von beiden Seiten auf die kritische Stelle: limxa+\lim_{x \to a^+} und limxa\lim_{x \to a^-}.

Zahlenfolgen
1. Eigenschaften von Folgen
• Monoten: mit wachsendem n
-> streng monoton
werden Folgeglieder größer
Folge
durchgängig steigt /

Weitere wichtige Konzepte

Bei stückweise definierten Funktionen untersucht ihr, ob sich die beiden Teilfunktionen an der Übergangsstelle treffen. Rechnet beide Grenzwerte aus - wenn sie gleich sind, gibt's keinen Sprung im Graphen.

Die p-q-Formel braucht ihr oft als Hilfsmittel: x1,2=p±p24q2x_{1,2} = \frac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}}{2}. Je nach Diskriminante (p2)2q(\frac{p}{2})^2 - q habt ihr 0, 1 oder 2 Lösungen.

Potenzregeln sind euer täglich Brot: aman=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n} und am:an=amna^m : a^n = a^{m-n}. Diese Regeln helfen euch beim Vereinfachen komplizierter Folgen.

Klausur-Hack: "Angeben" bedeutet nur Ergebnis, "Bestimmen" braucht den Rechenweg - lest die Aufgabenstellung genau!

Unterscheidet zwischen Urbildfolge (xn)(x_n) und Bildfolge (f(xn))(f(x_n)) - das kommt gerne in Textaufgaben vor. Mit diesen Grundlagen seid ihr bestens für eure Zahlenfolgen-Klausur gerüstet!



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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Zahlenfolgen erklärt: Monotonie, Beschränktheit & Limes

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Zahlenfolgen sind ein zentrales Thema in der Oberstufen-Mathematik und kommen garantiert in eurer Klausur vor. Ihr lernt hier, wie sich Folgen verhalten, wie man zwischen verschiedenen Darstellungsformen wechselt und wie man wichtige Eigenschaften wie Monotonie und Grenzwerte bestimmt.

Zahlenfolgen
1. Eigenschaften von Folgen
• Monoten: mit wachsendem n
-> streng monoton
werden Folgeglieder größer
Folge
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Grundlagen von Zahlenfolgen

Monotonie ist super wichtig zu verstehen: Eine Folge ist streng monoton steigend, wenn jedes Folgenglied größer ist als das vorherige. Bei fallenden Folgen wird jedes Glied kleiner. Alternierend bedeutet, dass die Folge zwischen positiven und negativen Werten hin- und herspringt.

Der Grenzwert ist der Wert, dem sich eine Folge immer mehr annähert, ohne ihn unbedingt zu erreichen. Jede Folge kann höchstens einen Grenzwert haben - das ist ein wichtiger Merksatz für die Klausur!

Bei der Beschränktheit geht es darum, ob die Folgenglieder in einem bestimmten Bereich bleiben. Hier der Clou: Ist eine Folge sowohl monoton als auch beschränkt, dann ist sie automatisch konvergent.

Tipp: Monoton + beschränkt = konvergent - diese Regel spart euch in der Klausur viel Zeit!

Folgen umwandeln funktioniert in beide Richtungen: Explizite Folgen haben die Form an=4na_n = 4n, rekursive Folgen bauen auf dem vorherigen Glied auf: an=an1+4a_n = a_{n-1} + 4. Rechnet immer erstmal 5 Folgenglieder aus und sucht nach Mustern - das ist der Schlüssel zum Erfolg.

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Beschränktheit und Monotonie bestimmen

Für die Beschränktheit rechnet ihr erstmal 5 Folgenglieder aus, plus ein richtig großes wie das 1000. Folgenglied. Dann schaut ihr, ob die Zahlen steigen oder fallen und benutzt Grenzwertsätze mit limn\lim_{n \to \infty}, um die andere Schranke zu finden.

Die Monotonie bestimmt ihr mit der Formel an+1ana_{n+1} - a_n. Setzt eure Folge ein und rechnet das durch. Erweitert Brüche kreuzweise und passt bei Klammern auf - besonders bei (n+1)2(n+1)^2!

Das Ergebnis sagt euch alles: Ist es größer als 0, dann ist die Folge streng monoton steigend. Ist es kleiner als 0, dann fällt sie streng monoton. Bei Exponentialfolgen oder nur positiven Gliedern könnt ihr auch an+1an\frac{a_{n+1}}{a_n} verwenden.

Merkhilfe: Plus bedeutet steigend, Minus bedeutet fallend - so einfach ist das!

Der Trick ist, systematisch zu arbeiten: Brüche sauber erweitern, Klammern richtig setzen und am Ende alles zusammenfassen. Mit etwas Übung wird das zur Routine.

Zahlenfolgen
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Grenzwerte berechnen und beweisen

Grenzwerte bestimmen ist eigentlich straightforward: Klammert die höchste Potenz aus und wendet die Grenzwertsätze an. Schreibt immer limnan=limn...\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} ... hin und vereinfacht dann Schritt für Schritt.

Beim Grenzwerte beweisen wird's spannender: Ihr setzt die Folge in die Ungleichung ang<ϵ|a_n - g| < \epsilon ein. Dann erweitert ihr die Brüche, vereinfacht und löst nach n auf. Die Betragsstriche fallen weg, wenn die Zahl positiv ist, bei negativen Zahlen wird's zu (xy)-(xy).

Das Ergebnis sagt euch, ab welchem Folgenglied die Glieder weniger als ϵ\epsilon vom Grenzwert entfernt sind. Das ist der mathematische Beweis dafür, dass eure Folge wirklich gegen diesen Grenzwert läuft.

Praxistipp: Rechnet erstmal ein paar konkrete Beispiele durch, bevor ihr den allgemeinen Beweis angeht!

Für Grenzwerte nicht gegen unendlich müsst ihr links- und rechtsseitige Grenzwerte betrachten. Bei stückweise definierten Funktionen schaut ihr von beiden Seiten auf die kritische Stelle: limxa+\lim_{x \to a^+} und limxa\lim_{x \to a^-}.

Zahlenfolgen
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Bei stückweise definierten Funktionen untersucht ihr, ob sich die beiden Teilfunktionen an der Übergangsstelle treffen. Rechnet beide Grenzwerte aus - wenn sie gleich sind, gibt's keinen Sprung im Graphen.

Die p-q-Formel braucht ihr oft als Hilfsmittel: x1,2=p±p24q2x_{1,2} = \frac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}}{2}. Je nach Diskriminante (p2)2q(\frac{p}{2})^2 - q habt ihr 0, 1 oder 2 Lösungen.

Potenzregeln sind euer täglich Brot: aman=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n} und am:an=amna^m : a^n = a^{m-n}. Diese Regeln helfen euch beim Vereinfachen komplizierter Folgen.

Klausur-Hack: "Angeben" bedeutet nur Ergebnis, "Bestimmen" braucht den Rechenweg - lest die Aufgabenstellung genau!

Unterscheidet zwischen Urbildfolge (xn)(x_n) und Bildfolge (f(xn))(f(x_n)) - das kommt gerne in Textaufgaben vor. Mit diesen Grundlagen seid ihr bestens für eure Zahlenfolgen-Klausur gerüstet!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

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Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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