Uneigentliche Integrale

Bei uneigentlichen Integralen untersuchen wir Grenzwerte von bestimmten Integralen, wenn mindestens eine Grenze gegen Unendlich geht. Das Spannende: Manche unendliche Flächen haben trotzdem einen endlichen Inhalt!

Zum Beispiel betrachten wir $\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx$. Um dieses zu lösen, berechnen wir zuerst das Integral mit einer variablen oberen Grenze K und bilden dann den Grenzwert: $\int_{2}^{K} \frac{1}{x^2} dx = [-\frac{1}{x}]_{2}^{K} = -\frac{1}{K} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{K}$

Für K→∞ ergibt sich: $\lim_{K→\infty} (\frac{1}{2} - \frac{1}{K}) = \frac{1}{2}$. Die Fläche ist also endlich!

Merke: Bei uneigentlichen Integralen musst du immer prüfen, ob der Grenzwert existiert. Setze dazu K ein und beobachte, ob der Ausdruck mit wachsendem K konvergiert.

Anders sieht es bei $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} dx$ aus. Hier erhalten wir $\lim_{K→\infty} (ln(K) - ln(1)) = \lim_{K→\infty} ln(K) = \infty$. Diese Fläche ist also unbegrenzt!

Bei Funktionen wie $\frac{2}{x^3}$ müssen wir vorsichtig sein. Nach Integration erhalten wir $[-\frac{1}{x^2}]_{2}^{K} = \frac{1}{4} - \frac{1}{K^2}$, was für K→∞ den Wert $\frac{1}{4}$ ergibt. Der Flächeninhalt ist also endlich und beträgt $\frac{1}{4}$.