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fiona
27.11.2025
Mathe
Verhalten von Funktionen im Unendlichen
1.221
•
27. Nov. 2025
•
fiona
@fiona_iobn
Stell dir vor, du könntest vorhersagen, wie sich eine Funktion... Mehr anzeigen
Du fragst dich, was mit einer Funktion passiert, wenn x richtig groß oder richtig klein wird? Das ist eine der wichtigsten Fragen in der Mathematik! Grenzwerte zeigen dir genau diese Richtung.
Schau dir einfache Beispiele an: Bei f(x) = -x⁵ + 2x² geht's für x → ∞ gegen -∞ und für x → -∞ gegen +∞. Bei g(x) = 3^x - 4 nähert sich die Funktion für x → -∞ immer dem Wert -4 an - das nennt man eine waagerechte Asymptote.
Die Schreibweise ist super einfach: lim(x→∞) f(x) = g bedeutet, dass sich f(x) dem Wert g nähert. Wenn f(x) gegen ±∞ geht, spricht man von Divergenz - die Funktion hat dann keinen echten Grenzwert.
Tipp: Waagerechte Asymptoten sind die Linien, denen sich deine Funktion immer mehr annähert, aber nie ganz erreicht!
Polynome sind deine besten Freunde in der Mathematik - sie sehen kompliziert aus, aber folgen klaren Regeln! Ein Polynom ist einfach eine Summe von Termen wie aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀.
Das Coolste an ganzrationalen Funktionen: Ihr Verhalten im Unendlichen hängt nur vom höchsten Term ab! Bei f(x) = -4x³ + 2x² - x + 5 bestimmt nur der Term -4x³ das Verhalten für große x-Werte.
Du kannst alle ganzrationalen Funktionen in vier Typen einteilen: positiver Koeffizient + gerader Exponent , negativer Koeffizient + gerader Exponent , positiver Koeffizient + ungerader Exponent , negativer Koeffizient + ungerader Exponent .
Merksatz: Der höchste Term ist der Chef - er bestimmt allein, wohin die Funktion im Unendlichen geht!
Jetzt wird's richtig spannend! Gebrochen rationale Funktionen haben einen Bruch mit Polynomen im Zähler und Nenner. Diese Funktionen verhalten sich völlig anders als ihre ganzrationalen Geschwister.
Der Trick liegt im Vergleich der Grade: Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, geht die Funktion gegen 0. Sind beide Grade gleich, wird der Grenzwert das Verhältnis der führenden Koeffizienten. Ist der Zählergrad größer, divergiert die Funktion.
Bei f(x) = / sind beide Grade gleich (nämlich 2). Der Grenzwert ist daher 2/3 - das Verhältnis der führenden Koeffizienten. Super einfach, wenn du das Muster erkennst!
Faustregel: Zählergrad vs. Nennergrad entscheidet alles - kleiner = 0, gleich = Koeffizientenverhältnis, größer = Divergenz!
Exponentialfunktionen sind echte Charakterköpfe! Bei f(x) = c·aˣ kommt's auf die Basis a an: Ist a > 1, explodiert die Funktion für x → ∞ und nähert sich 0 für x → -∞. Bei 0 < a < 1 ist's genau umgekehrt.
Der natürliche Logarithmus f(x) = ln(x) wächst für x → ∞ gegen unendlich, aber sehr langsam. Für x → 0⁺ stürzt er gegen -∞ ab - ziemlich dramatisch!
Trigonometrische Funktionen wie sin(x), cos(x) und tan(x) sind die Rebellen unter den Funktionen. Sie schwingen ewig zwischen ihren Werten hin und her und haben deshalb keine Grenzwerte im Unendlichen. Sie sind einfach zu unberechenbar!
Wichtig: Exponentialfunktionen sind Sprinter (schnell), Logarithmen sind Marathonläufer (langsam aber stetig), Trigonometrie sind Tänzer (immer in Bewegung)!
Manchmal interessiert dich nicht das Unendliche, sondern was an einer bestimmten Stelle passiert. Bei stetigen Funktionen ist das kinderleicht - einfach den x-Wert einsetzen! Bei f(x) = x² und x → 2 ist der Grenzwert einfach 2² = 4.
Definitionslücken machen es spannender. Das sind Stellen, wo die Funktion nicht definiert ist - meist weil du durch null teilen würdest. Bei gebrochen rationalen Funktionen sind das alle Nullstellen des Nenners.
Du unterscheidest vier Arten von Lücken: Polstellen ohne Vorzeichenwechsel (beide Seiten gehen in dieselbe Richtung), Polstellen mit Vorzeichenwechsel (Seiten gehen in entgegengesetzte Richtungen), hebbare Lücken und Sprungstellen.
Eselsbrücke: An Polstellen wird's unendlich - da steht eine unsichtbare senkrechte Asymptote wie eine Wand!
Polstellen entstehen, wenn der Nenner null wird, aber der Zähler nicht. Bei f(x) = 1/x² hast du bei x = 0 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel - von beiden Seiten geht's nach +∞. Die y-Achse wird zur senkrechten Asymptote.
Bei f(x) = 1/ hast du eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel: Links von x = 1 geht's nach -∞, rechts nach +∞. Das erkennst du daran, dass der Nenner das Vorzeichen wechselt.
Besonders interessant ist f(x) = x/|x|: Hier springt die Funktion bei x = 0 von -1 auf +1. Das ist eine Sprungstelle - die Funktion macht einen plötzlichen Satz.
Tipp: Schaue immer von beiden Seiten auf eine Definitionslücke - das Verhalten kann komplett unterschiedlich sein!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
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Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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fiona
@fiona_iobn
Stell dir vor, du könntest vorhersagen, wie sich eine Funktion verhält, wenn x gegen unendlich oder gegen eine bestimmte Stelle geht. Das ist genau das, was Grenzwerte können! Sie zeigen dir, wohin Funktionen "streben" und helfen dir, das große Bild... Mehr anzeigen
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Du fragst dich, was mit einer Funktion passiert, wenn x richtig groß oder richtig klein wird? Das ist eine der wichtigsten Fragen in der Mathematik! Grenzwerte zeigen dir genau diese Richtung.
Schau dir einfache Beispiele an: Bei f(x) = -x⁵ + 2x² geht's für x → ∞ gegen -∞ und für x → -∞ gegen +∞. Bei g(x) = 3^x - 4 nähert sich die Funktion für x → -∞ immer dem Wert -4 an - das nennt man eine waagerechte Asymptote.
Die Schreibweise ist super einfach: lim(x→∞) f(x) = g bedeutet, dass sich f(x) dem Wert g nähert. Wenn f(x) gegen ±∞ geht, spricht man von Divergenz - die Funktion hat dann keinen echten Grenzwert.
Tipp: Waagerechte Asymptoten sind die Linien, denen sich deine Funktion immer mehr annähert, aber nie ganz erreicht!
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Das Coolste an ganzrationalen Funktionen: Ihr Verhalten im Unendlichen hängt nur vom höchsten Term ab! Bei f(x) = -4x³ + 2x² - x + 5 bestimmt nur der Term -4x³ das Verhalten für große x-Werte.
Du kannst alle ganzrationalen Funktionen in vier Typen einteilen: positiver Koeffizient + gerader Exponent , negativer Koeffizient + gerader Exponent , positiver Koeffizient + ungerader Exponent , negativer Koeffizient + ungerader Exponent .
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Jetzt wird's richtig spannend! Gebrochen rationale Funktionen haben einen Bruch mit Polynomen im Zähler und Nenner. Diese Funktionen verhalten sich völlig anders als ihre ganzrationalen Geschwister.
Der Trick liegt im Vergleich der Grade: Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, geht die Funktion gegen 0. Sind beide Grade gleich, wird der Grenzwert das Verhältnis der führenden Koeffizienten. Ist der Zählergrad größer, divergiert die Funktion.
Bei f(x) = / sind beide Grade gleich (nämlich 2). Der Grenzwert ist daher 2/3 - das Verhältnis der führenden Koeffizienten. Super einfach, wenn du das Muster erkennst!
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Der natürliche Logarithmus f(x) = ln(x) wächst für x → ∞ gegen unendlich, aber sehr langsam. Für x → 0⁺ stürzt er gegen -∞ ab - ziemlich dramatisch!
Trigonometrische Funktionen wie sin(x), cos(x) und tan(x) sind die Rebellen unter den Funktionen. Sie schwingen ewig zwischen ihren Werten hin und her und haben deshalb keine Grenzwerte im Unendlichen. Sie sind einfach zu unberechenbar!
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Du unterscheidest vier Arten von Lücken: Polstellen ohne Vorzeichenwechsel (beide Seiten gehen in dieselbe Richtung), Polstellen mit Vorzeichenwechsel (Seiten gehen in entgegengesetzte Richtungen), hebbare Lücken und Sprungstellen.
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Polstellen entstehen, wenn der Nenner null wird, aber der Zähler nicht. Bei f(x) = 1/x² hast du bei x = 0 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel - von beiden Seiten geht's nach +∞. Die y-Achse wird zur senkrechten Asymptote.
Bei f(x) = 1/ hast du eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel: Links von x = 1 geht's nach -∞, rechts nach +∞. Das erkennst du daran, dass der Nenner das Vorzeichen wechselt.
Besonders interessant ist f(x) = x/|x|: Hier springt die Funktion bei x = 0 von -1 auf +1. Das ist eine Sprungstelle - die Funktion macht einen plötzlichen Satz.
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Erlerne die Berechnung von Ober- und Untersummen anhand der Funktion f(x) = 1 - x² im Intervall [0, 1]. Diese Zusammenfassung bietet eine Schritt-für-Schritt-Anleitung zur grafischen Darstellung, Zerlegung des Intervalls und zur Berechnung der Summen. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit Integrationsmethoden vertraut machen möchten.
MatheDiese Klausur behandelt die Analyse von Funktionen, einschließlich der Bestimmung von Funktionsgleichungen, Ableitungen, Extrempunkten und Wendepunkten. Sie umfasst sowohl den hilfsmittelfreien als auch den mit Hilfsmitteln durchgeführten Teil. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen in Mathematik vorbereiten. Themen: Differentialquotient, Kurvenverhalten, Anwendung der Differenzierung, und Gleichungssysteme.
MatheErforschen Sie die Grundlagen der Wirtschaftsmathematik mit Fokus auf Kostenfunktionen, variable und fixe Kosten, sowie Gewinn- und Verlustrechnung. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Erklärung der Kostenstruktur, Grenzkosten, Break-even-Point und Betriebsoptimum. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Kostenanalyse vertiefen möchten.
MatheDiese Zusammenstellung umfasst die Aufgaben und Lösungen der zentralen Klausur im Fach Mathematik für das Jahr 2018. Die Themen beinhalten multistufige Zufallsexperimente, Funktionen und deren Ableitungen, Gewinnwahrscheinlichkeiten, sowie die Analyse von Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten und ihre Kenntnisse in Stochastik und Analysis vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Kostentheorie mit Fokus auf Gewinnfunktionen, Preis-Absatz-Funktionen und cournotische Punkte. Dieser Lernzettel behandelt wichtige Konzepte wie Betriebsoptimum, Monopol und Polypol sowie die mathematischen Grundlagen zur Gewinnmaximierung. Ideal für Studierende der Wirtschaftswissenschaften.
MatheErforschen Sie die Konzepte der Grenzwerte und das Grenzverhalten von Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt die Definition von Grenzwerten, Konvergenz und Divergenz sowie spezifische Beispiele für Grenzwerte im Unendlichen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Analysis vertiefen möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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