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3.012
•
29. Dez. 2025
•
Lernzettel
@anneke.marlene
Kurvendiskussion ist ein mächtiges Werkzeug, um ganzrationale Funktionen vollständig zu... Mehr anzeigen
Ganzrationale Funktionen erkennst du an ihrer Form: f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀. Das sind quasi Polynome, die du in der Oberstufe ständig analysieren wirst.
Das Verhalten für x → ±∞ bestimmt immer der Term mit der höchsten Potenz. Für Werte nahe null dominiert dagegen der Term mit der niedrigsten Potenz - das hilft dir beim schnellen Skizzieren.
Extrempunkte findest du mit dem Standardverfahren: Erste Ableitung gleich null setzen (notwendige Bedingung), dann mit der zweiten Ableitung prüfen. Ist f''(x) > 0, hast du ein Minimum, ist f''(x) < 0, ein Maximum.
Merktipp: Das Vorzeichenwechselkriterium ist dein Backup-Plan, wenn f''(x) = 0 ist - dann untersuchst du das Vorzeichen von f'(x) vor und nach der Nullstelle.
Wendepunkte berechnest du ähnlich: f''(x) = 0 setzen und mit f'''(x) ≠ 0 prüfen. Sattelpunkte sind besondere Wendepunkte, wo zusätzlich f'(x) = 0 gilt - sie haben eine waagerechte Tangente.
Die mittlere Änderungsrate ist die Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten. Du berechnest sie mit dem Differenzenquotienten: /h. Das ist praktisch der Durchschnitt der Steigung über ein Intervall.
Die momentane Änderungsrate ist viel präziser - sie gibt die Steigung der Tangente in einem exakten Punkt an. Das ist deine erste Ableitung f'(x₀).
Für Steigungswinkel nutzt du die Tangens-Funktion: α = arctan(m), wobei m die Steigung ist. Bei fallenden Funktionen addierst du 180°.
Das Monotonieverhalten checkst du systematisch: Nullstellen von f'(x) bestimmen, dann Intervalle untersuchen. Positive Werte von f'(x) bedeuten steigend, negative Werte fallend.
Praxis-Tipp: Eine Monotonietabelle spart dir viel Zeit und Verwirrung - trage die Intervalle sauber ein und teste je einen Wert pro Intervall.
Symmetrie erkennst du an den Exponenten: Nur gerade Exponenten = Achsensymmetrie zur y-Achse, nur ungerade = Punktsymmetrie zum Ursprung.
Nullstellen sind dein Brot-und-Butter-Handwerk. Ausklammern funktioniert, wenn alle Terme x enthalten. Die pq-Formel brauchst du für quadratische Gleichungen, und Substitution hilft bei speziellen Formen.
Bei komplizierteren Funktionen nutzt du den Taschenrechner: F5 → F1 (root) und navigierst mit den Pfeiltasten zu den Nullstellen.
Tangentengleichungen stellst du in vier Schritten auf: Ableitung bilden, x₀ einsetzen für die Steigung m, x₀ in die ursprüngliche Funktion für den y-Wert, dann alles in y = mx + n einsetzen.
Klausur-Trick: Beim graphischen Ableiten denkst du daran: Hochpunkte und Tiefpunkte von f(x) werden zu Nullstellen von f'(x), und wo f(x) steigt, ist f'(x) positiv.
Randwerte prüfst du immer bei gegebenen Intervallen - setze die Intervallgrenzen in die Funktion ein und vergleiche mit deinen berechneten Extrempunkten. So findest du die tatsächlichen Maxima und Minima im betrachteten Bereich.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Lernzettel
@anneke.marlene
Kurvendiskussion ist ein mächtiges Werkzeug, um ganzrationale Funktionen vollständig zu verstehen. Du lernst hier, wie du jeden Graph systematisch analysierst und alle wichtigen Eigenschaften wie Extrempunkte, Wendepunkte und Nullstellen bestimmst.
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Extrempunkte findest du mit dem Standardverfahren: Erste Ableitung gleich null setzen (notwendige Bedingung), dann mit der zweiten Ableitung prüfen. Ist f''(x) > 0, hast du ein Minimum, ist f''(x) < 0, ein Maximum.
Merktipp: Das Vorzeichenwechselkriterium ist dein Backup-Plan, wenn f''(x) = 0 ist - dann untersuchst du das Vorzeichen von f'(x) vor und nach der Nullstelle.
Wendepunkte berechnest du ähnlich: f''(x) = 0 setzen und mit f'''(x) ≠ 0 prüfen. Sattelpunkte sind besondere Wendepunkte, wo zusätzlich f'(x) = 0 gilt - sie haben eine waagerechte Tangente.
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Die mittlere Änderungsrate ist die Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten. Du berechnest sie mit dem Differenzenquotienten: /h. Das ist praktisch der Durchschnitt der Steigung über ein Intervall.
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Diese Zusammenfassung behandelt die Analyse von Funktionen, einschließlich der Bestimmung von Extrempunkten, Wendepunkten und der Anwendung von Ableitungen. Sie umfasst auch die Berechnung von Laktatkonzentrationen in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit sowie die Modellierung von Flugbahnen. Ideal für Studierende der Differential- und Integralrechnung, die sich auf Klausuren vorbereiten.
MatheErlerne die Berechnung von Ober- und Untersummen anhand der Funktion f(x) = 1 - x² im Intervall [0, 1]. Diese Zusammenfassung bietet eine Schritt-für-Schritt-Anleitung zur grafischen Darstellung, Zerlegung des Intervalls und zur Berechnung der Summen. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit Integrationsmethoden vertraut machen möchten.
MatheVertiefte Lernhilfe zu E-Funktionen, deren Ableitungen, Tangenten und dem Konzept des begrenzten Zerfalls. Ideal für die 12. Klasse, behandelt wichtige Aspekte wie das Verhalten im Unendlichen, Nullstellen und die Anwendung von Ableitungsregeln. Enthält Beispiele und Schritt-für-Schritt-Anleitungen zur Funktionsuntersuchung und Graphenzeichnung.
MatheErfahren Sie alles über Grenzwerte, einschließlich ihrer Definition, Berechnung und die Unterscheidung zwischen Polstellen und hebbaren Definitionslücken. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und die wichtigsten Grenzwertsätze, um das Verhalten von Funktionen an bestimmten Punkten und im Unendlichen zu verstehen. Ideal für Studierende der Mathematik.
MatheEntdecken Sie die Methoden zur Grenzwertbestimmung von Funktionen, einschließlich Testeinsetzung, Termvereinfachung und der h-Methode. Diese Zusammenfassung behandelt die Grenzwerte für x gegen unendlich sowie an kritischen Stellen, und bietet anschauliche Beispiele zur Veranschaulichung der Konzepte. Ideal für Studierende der Analysis und Mathematik.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Analysis, einschließlich Funktionsarten, Differentialrechnung, Kurvendiskussion (Nullstellen, Extremstellen, Monotonie, Krümmung) und Integralrechnung (Flächeninhalte, Volumen von Rotationskörpern). Diese umfassende Zusammenfassung bietet auch Einblicke in Funktionsscharen und Extremwertaufgaben. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Jana V
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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