Vorbereitung Vorabi Mathematik: Lernzettel Analysis, Stochastik & Geometrie

Analysis - Ableitungsregeln und Integrale

Ableitungsregeln sind euer Werkzeugkasten für die Differentialrechnung. Die Potenzregel ist dabei euer bester Freund: Bei $f(x) = x^n$ wird die Ableitung zu $f'(x) = n \cdot x^{(n-1)}$.

Die Faktorregel und Summenregel machen euch das Leben leichter: Konstante Faktoren bleiben einfach stehen, und Summen könnt ihr einzeln ableiten. Bei der Kettenregel für lineare innere Funktionen multipliziert ihr einfach mit dem Faktor der inneren Funktion.

Bei e-Funktionen ist alles noch einfacher - die Ableitung von $e^x$ ist wieder $e^x$. Das macht e-Funktionen zu echten Lieblingen in der Analysis!

Tipp: Nutzt den Taschenrechner für komplizierte Ableitungen - Menu → 4 → 1 gibt euch schnell das Ergebnis.

Integrale berechnen bedeutet "rückwärts ableiten". Das bestimmte Integral $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ gibt euch die Fläche unter der Kurve. Vergesst nicht die Konstante $c$ bei unbestimmten Integralen!

Stammfunktionen und Steigungsbestimmung

Die Potenzregel beim Integrieren ist das Gegenteil der Ableitung: Exponent um 1 erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen. Aus $x^2$ wird $\frac{x^3}{3}$.

Merkt euch diese wichtigen Stammfunktionen: $\frac{1}{x}$ wird zu $\ln|x|$, $\sin(x)$ zu $-\cos(x)$, und $\cos(x)$ zu $\sin(x)$. Diese kommen garantiert in euren Klausuren vor!

Steigung bestimmen geht auch ohne Ableitung: Mit dem Steigungsdreieck könnt ihr näherungsweise die Steigung ablesen. Bei e-Funktionen entspricht die Steigung sogar dem y-Wert - das ist super praktisch!

Merkhilfe: Bei der Integration "Exponent hoch, dann teilen" - genau andersherum als beim Ableiten.

Funktionsgleichungen bestimmen braucht ihr für verschiedene Formen: Normal-, Nullstellen- und Punktform. Alle haben ihre Vorteile je nach gegebenen Informationen.

Quadratische Funktionen und Funktionsuntersuchung

Quadratische Funktionen haben drei wichtige Formen: Standardform, Scheitelpunktform und faktorisierte Form. Der Parameter $a$ bestimmt die Streckung oder Stauchung - bei $|a| > 1$ wird gestreckt, bei $|a| < 1$ gestaucht.

Nullstellen finden ist euer erster Schritt bei jeder Funktionsuntersuchung. Setzt $f(x) = 0$ und löst die Gleichung. Oft könnt ihr Faktoren ausklammern, wie bei $x³ - 3x = x(x² - 3) = 0$.

Extrempunkte findet ihr in drei Schritten: Erste Ableitung null setzen, Werte in die zweite Ableitung einsetzen (negativ = Hochpunkt, positiv = Tiefpunkt), dann x-Werte in die Ursprungsfunktion für die y-Koordinaten.

Eselsbrücke: f''$x$ < 0 = Hochpunkt (wie ein trauriges Gesicht), f''$x$ > 0 = Tiefpunkt (wie ein fröhliches Gesicht).

Wendepunkte und CAS-Funktionen

Wendepunkte findet ihr, indem ihr die zweite Ableitung null setzt. Zur Kontrolle müsst ihr prüfen, dass die dritte Ableitung ungleich null ist - sonst ist es kein echter Wendepunkt.

Das CAS eures Taschenrechners nimmt euch viel Arbeit ab. Mit solve(f'(x) = 0, x) findet ihr Extremstellen, mit solve(f(-x) = -f(x), x) prüft ihr Punktsymmetrie.

Symmetrie bestimmen geht schnell: Punktsymmetrie liegt vor, wenn $f(-x) = -f(x)$, Achsensymmetrie wenn $f(-x) = f(x)$. Das muss für alle x-Werte gelten!

Zeitsparer: Nutzt Menu 6 für die Graphenanalyse - das zeigt euch visuell alle wichtigen Eigenschaften der Funktion.

Die komplette Funktionsuntersuchung umfasst: Definitionsbereich, Nullstellen, Symmetrie, Extrema, Wendepunkte und Grenzverhalten.

Stochastik - Baumdiagramme und Wahrscheinlichkeiten

Baumdiagramme visualisieren mehrstufige Zufallsexperimente perfekt. Die Produktregel sagt: Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades werden multipliziert. Die Summenregel addiert verschiedene günstige Pfade.

Vierfeldertafeln strukturieren eure Daten übersichtlich. Sie zeigen alle Kombinationen zweier Merkmale und deren Häufigkeiten - absolute Zahlen sind oft leichter zu verstehen als Brüche.

Bedingte Wahrscheinlichkeit $P(B|A)$ fragt: "Wie wahrscheinlich ist B, wenn A schon eingetreten ist?" Die Formel lautet: $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.

Alltagsbeispiel: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für Regen, wenn es bereits bewölkt ist? Das ist bedingte Wahrscheinlichkeit!

Bei zwei Würfeln eine 6 zu würfeln gibt es mehrere Pfade: Erster Würfel 6 ODER zweiter Würfel 6. Diese Wahrscheinlichkeiten addiert ihr.

Wahrscheinlichkeitsregeln und 3D-Koordinaten

Die Multiplikationsregel $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$ verknüpft bedingte und gemeinsame Wahrscheinlichkeiten. Die Summenregel für die Gesamtwahrscheinlichkeit hilft euch, wenn ihr verschiedene Wege zu einem Ereignis habt.

Baumdiagramme aus Vierfeldertafeln erstellen geht so: Erste Stufe zeigt die Aufteilung des Hauptmerkmals, zweite Stufe die bedingten Wahrscheinlichkeiten des zweiten Merkmals.

3D-Koordinatensystem erweitert euer gewohntes 2D-System um die z-Achse. x geht nach vorne/hinten, y nach links/rechts, z nach oben/unten. Ein Punkt wird als P(x|y|z) geschrieben.

Orientierungshilfe: Stellt euch vor, ihr steht im Koordinatenursprung und schaut in positive x-Richtung - dann ist links y und oben z.

Abstand zwischen zwei Punkten berechnet ihr mit der erweiterten Formel: $d = \sqrt{(x_2-x_1)² + (y_2-y_1)² + (z_2-z_1)²}$.

Vektoren und ihre Eigenschaften

Vektoren beschreiben Verschiebungen im Raum und haben drei Komponenten für die x-, y- und z-Richtung. Ein Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ verschiebt um -2 in x-Richtung, +1 in y-Richtung und +3 in z-Richtung.

Vektorlänge berechnet ihr wie den Abstand zum Ursprung: $|\vec{v}| = \sqrt{a_1² + a_2² + a_3²}$. Euer Taschenrechner macht das mit der norm{}-Funktion.

Vektoroperationen sind unkompliziert: Addition und Subtraktion erfolgen komponentenweise, bei der S-Multiplikation wird jede Komponente mit dem Skalar multipliziert.

Wichtig: Zwei Vektoren sind kollinear (parallel), wenn einer ein Vielfaches des anderen ist: $\vec{b} = s \cdot \vec{a}$.

Orthogonale Vektoren stehen senkrecht zueinander. Das erkennt ihr daran, dass ihr Skalarprodukt null ist. Diese Eigenschaft braucht ihr für viele geometrische Berechnungen.

Geraden- und Ebenengleichungen

Geradengleichungen in Punkt-Richtungsform $\vec{x} = \vec{a} + r\vec{v}$ beschreiben alle Punkte einer Geraden. Der Stützvektor $\vec{a}$ ist ein bekannter Punkt, der Richtungsvektor $\vec{v}$ gibt die Richtung an.

Lagebeziehungen von Geraden könnt ihr systematisch untersuchen: Parallel (Richtungsvektoren kollinear), identisch (zusätzlich gemeinsamer Punkt), Schnittpunkt (Gleichsetzen und lösen) oder windschief (kein Schnittpunkt, nicht parallel).

Winkel zwischen Vektoren berechnet ihr mit $\cos α = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$. Das Skalarprodukt im Zähler, das Produkt der Längen im Nenner.

Punktprobe: Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, setzt ihr ihn in die Geradengleichung ein und schaut, ob sich ein reeller Parameter ergibt.

Ebenengleichungen $\vec{x} = \vec{a} + r\vec{u} + s\vec{v}$ werden durch drei Punkte aufgespannt. Zwei Richtungsvektoren beschreiben die gesamte Ebene.