Zufallsgrößen und ihre Wahrscheinlichkeitsverteilungen leicht erklärt

Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Stell dir vor, du drehst ein Glücksrad mit vier Farben - wie machst du daraus Mathematik? Genau hier kommen Zufallsgrößen ins Spiel. Eine Zufallsgröße (meist mit X bezeichnet) ordnet jedem möglichen Ergebnis eine Zahl zu.

Beim Glücksrad mit {grün, blau, rosa, gelb} könntest du einfach grün = 1, blau = 2, rosa = 3, gelb = 4 setzen. Schon hast du aus Farben Zahlen gemacht, mit denen sich rechnen lässt.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung zeigt dir dann, wie wahrscheinlich jeder Zahlenwert ist. Du kannst sie als Tabelle schreiben oder als Säulendiagramm zeichnen - beide Darstellungen helfen dir bei Klausuraufgaben.

Merktipp: Eine Zufallsgröße ist wie ein Übersetzer zwischen der realen Welt und der Mathematik!

Erwartungswert berechnen

Der Erwartungswert E(X) ist nichts anderes als der Durchschnitt, den du langfristig erwarten kannst. Die Formel sieht kompliziert aus, ist aber nur: Jeder Wert mal seine Wahrscheinlichkeit, alles zusammenaddiert.

E(X) = k₁ · P$X = k₁$ + k₂ · P$X = k₂$ + ... Das kennst du eigentlich schon vom arithmetischen Mittel aus der Statistik - nur dass hier statt Häufigkeiten Wahrscheinlichkeiten stehen.

Beim fairen Glücksrad mit vier gleichen Feldern rechnest du: E(X) = 1·¼ + 2·¼ + 3·¼ + 4·¼ = 2,5. Du erwartest also langfristig den Wert 2,5 pro Dreh.