Grundlegende Rechenregeln und Formeln

Potenzgesetze sind die Basis für viele mathematische Berechnungen. Merke dir besonders: Gleiche Basen werden bei der Multiplikation addiert $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$ und bei der Division subtrahiert $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$.

Die schriftliche Multiplikation funktioniert auch bei Kommazahlen - rechne einfach ohne Komma und setze es später an der richtigen Stelle ein. Bei der Bruchrechnung gilt: Gleichnamige Brüche werden einfach addiert oder subtrahiert, bei der Multiplikation multiplizierst du "über Kreuz".

Tipp: Die binomischen Formeln $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ kommen in fast jeder Klassenarbeit vor - lerne sie auswendig!

Baumdiagramme helfen dir bei Wahrscheinlichkeitsrechnungen. Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades miteinander.

Erweiterte Rechengesetze

Die Rechengesetze erleichtern dir das Rechnen enorm. Das Kommutativgesetz erlaubt dir, Zahlen zu vertauschen $a+b = b+a$, während das Distributivgesetz beim Ausmultiplizieren hilft $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$.

Wurzelgesetze wandeln Wurzeln in Potenzen um: $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$. Das macht komplizierte Rechnungen oft viel einfacher!

Zehnerpotenzen sind praktisch für sehr große oder kleine Zahlen. $10^3$bedeutet 3 Nullen,$10^{-6}$ bedeutet 6 Nachkommastellen.

Merkhilfe: Bei negativen Exponenten wird aus der Zehnerpotenz ein Bruch - $10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0{,}001$.

Lineare Funktionen meistern

Lineare Funktionen haben die Form $f(x) = mx + n$. Die Steigung $m$ berechnest du mit zwei Punkten: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Das ist eine der wichtigsten Formeln überhaupt!

Parallele Geraden haben dieselbe Steigung, orthogonale Geraden erfüllen die Bedingung $m_1 \cdot m_2 = -1$. Für Schnittpunkte mit den Achsen setzt du einfach die entsprechende Variable null.

Den Funktionswert findest du, indem du den x-Wert einsetzt. Für Nullstellen setzt du $y = 0$ und löst nach x auf.

Praxistipp: Zeichne dir lineare Funktionen immer mit mindestens zwei Punkten - das verhindert Fehler!

Gleichungssysteme lösen

Es gibt drei bewährte Verfahren für lineare Gleichungen. Beim Einsetzungsverfahren stellst du eine Gleichung nach einer Variable um und setzt sie in die andere ein. Das Gleichsetzungsverfahren funktioniert, wenn beide Gleichungen nach derselben Variable umgestellt sind.

Das Additionsverfahren ist oft am schnellsten: Du sorgst dafür, dass eine Variable in beiden Gleichungen mit entgegengesetzten Vorzeichen steht und addierst dann beide Gleichungen.

Bei Ungleichungen musst du aufpassen: Wenn du durch eine negative Zahl teilst oder multiplizierst, dreht sich das Ungleichheitszeichen um!

Wichtig: Mache immer die Probe, indem du deine Lösung in beide ursprünglichen Gleichungen einsetzt.

Quadratische Funktionen verstehen

Quadratische Funktionen gibt es in zwei Formen: Normalform $y = x^2 + bx + c$ und Scheitelpunktform $y = (x-d)^2 + e$. Die quadratische Ergänzung wandelt zwischen beiden um.

Die Parameter haben klare Bedeutungen: $a$ streckt oder staucht die Parabel, $d$ verschiebt horizontal, $e$ vertikal. Ein negatives $a$ spiegelt die Parabel.

Für quadratische Gleichungen nutzt du die p-q-Formel $x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$ oder die abc-Formel. Vergiss nicht das $\pm$ - es gibt meist zwei Lösungen!

Trick: Bei Gleichungen ohne lineares Glied nur $x^2$ und Konstante kannst du oft einfach nach $x$ auflösen.

Erweiterte Techniken

Schnittpunkte zweier Funktionen findest du, indem du sie gleichsetzt und nach null umstellst. Dann wendest du die passende Lösungsformel an.

Für Wertetabellen setzt du systematisch x-Werte ein und berechnest die entsprechenden y-Werte. Das hilft beim Verstehen des Funktionsverlaufs.

Logarithmen sind die Umkehrung von Potenzen: Aus $b^x = a$ wird $\log_b a = x$. Das brauchst du später für Exponentialgleichungen.

Lösungsformel-Trick: Bei quadratischen Gleichungen gilt immer $x_1 + x_2 = -p$ und $x_1 \cdot x_2 = q$.

Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck

Trigonometrie hilft dir bei allen Berechnungen mit Dreiecken. Die drei Grundfunktionen sind: $\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$, $\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$ und $\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$.

Der Satz des Pythagoras $a^2 + b^2 = c^2$ ist die Grundlage aller Dreiecksberechnungen. Für beliebige Dreiecke brauchst du Sinus- und Kosinussatz.

Sinusfunktionen haben den Wertebereich $[-1;1]$ und die Periode $2\pi$. Nullstellen liegen bei$x_0 = k \cdot \pi$.

Wichtig: Beim Kosinussatz berechnest du zuerst den Winkel gegenüber der größten Seite!

Funktionsmodifikationen

Bei modifizierten Sinusfunktionen $f(x) = a \cdot \sin(bx - c) + d$ hat jeder Parameter eine klare Bedeutung: $d$ verschiebt vertikal, $c$ horizontal, $a$ streckt/staucht vertikal und $b$ beeinflusst die Periode.

Die Periodenlänge berechnest du mit $P = \frac{2\pi}{b}$. Je größer $b$, desto kleiner die Periode - die Funktion schwingt schneller.

Die Kosinusfunktion ist nur eine um $\frac{\pi}{2}$ nach links verschobene Sinusfunktion. Die Tangensfunktion entsteht aus $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ und hat Definitionslücken.

Merkhilfe: Bei $b > 1$ wird die Funktion in x-Richtung gestaucht (mehr Schwingungen), bei $b < 1$ gestreckt (weniger Schwingungen).

Spezielle Zuordnungen und Terme

Proportionale Zuordnungen beschreiben gleichmäßiges Wachstum - doppelter Input bedeutet doppelter Output. Bei umgekehrt proportionalen Zuordnungen entspricht dem Doppelten einer Größe die Hälfte der anderen.

Wurzelausdrücke lassen sich oft als Potenzen schreiben: $\sqrt{x^2} = x$ und $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$. Das vereinfacht viele Rechnungen erheblich.

Beim Terme vereinfachen gehst du systematisch vor: Erst Klammern auflösen, dann Potenzen zusammenfassen, danach Punkt- vor Strichrechnung und schließlich von links nach rechts.

Tipp: Schreibe Wurzeln als Potenzen um - das macht komplizierte Terme oft viel übersichtlicher!

Funktionseigenschaften im Überblick

Lineare Funktionen haben als Definitions- und Wertebereich ganz $\mathbb{R}$. Sie sind entweder streng monoton steigend oder fallend, je nach Vorzeichen der Steigung.

Quadratische Funktionen haben einen Scheitel- oder Hochpunkt als charakteristisches Merkmal. Die Symmetrieachse verläuft durch $x = d$ (bei Scheitelpunktform).

Potenzfunktionen verhalten sich unterschiedlich je nach Exponent: Bei geradem $n$ ist der Wertebereich $y \geq 0$, bei ungeradem $n$ umfasst er ganz $\mathbb{R}$. Negative Exponenten erzeugen Hyperbeln.

Übersicht: Gerade Exponenten erzeugen symmetrische Funktionen zur y-Achse, ungerade Exponenten sind punktsymmetrisch zum Ursprung.