Harmonische Schwingungen sind überall um uns herum - vom Pendel...
Physik1.230 aufrufe·Aktualisiert 10. Juli 2026·7 SeitenMechanische Schwingungen: Aufgaben und Lösungen
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Fadenpendel und Schwingungsdauer
Fadenpendel sind ziemlich cool, weil sie eine wichtige Eigenschaft haben: Die Schwingungsdauer hängt überhaupt nicht von der Masse der Kugel ab! Egal ob du eine schwere oder leichte Kugel anhängst - die Zeit für eine komplette Schwingung bleibt gleich.
Das liegt an der Formel für die Periodendauer: T = 2π√(l/g). Hier siehst du: nur die Fadenlänge l und die Erdbeschleunigung g spielen eine Rolle - die Masse m kommt gar nicht vor.
Wenn du die Fadenlänge änderst, entsteht ein linearer Zusammenhang zwischen T² und l. Das bedeutet: doppelte Länge = doppeltes T². Diese Beziehung hilft dir sogar herauszufinden, ob ein Experiment auf der Erde oder auf dem Mond stattgefunden hat.
Merktipp: Bei kleinen Auslenkungen ist die Schwingungsdauer eines Fadenpendels vollkommen unabhängig von der Masse!
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Feder-Schwere-Pendel Berechnungen
Das Feder-Schwere-Pendel kombiniert zwei Kräfte: die Federkraft und die Gewichtskraft. In der Ruhelage sind diese beiden Kräfte im Gleichgewicht, deshalb hängt die Feder schon etwas durch.
Die Masse berechnest du mit der Formel T = 2π√(m/D), umgestellt nach m. Die Federkonstante D und die Periodendauer T kennst du ja bereits aus der Aufgabe.
Bei der Differentialgleichung m·s̈ + D·s = 0 ist die Lösung eine Kosinus-Funktion: s = A·cos(ωt). Die Anfangsbedingungen bestimmen dabei die Amplitude A und die Phasenverschiebung.
Praxistipp: Die maximale Federkraft tritt immer bei der größten Auslenkung auf - das ist der Punkt, wo die Feder am stärksten gedehnt oder gestaucht ist!
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Reagenzglas-Schwingung im Wasser
Hier wird's richtig spannend: Ein Reagenzglas schwimmt und schwingt dabei harmonisch auf und ab! Das funktioniert durch den Auftrieb des Wassers - je tiefer das Glas eintaucht, desto stärker drückt es das Wasser nach oben.
Die Rückstellkraft entsteht durch die Dichte ρ des Wassers, die Querschnittsfläche A des Glases und natürlich die Schwerkraft g. Diese Größen bestimmen, wie schnell das Glas schwingt.
Mit 9 Schwingungen in 4 Sekunden erhältst du eine Periodendauer von T = 4s/9 ≈ 0,44s. Daraus kannst du sowohl die Maximalgeschwindigkeit als auch die Masse des Reagenzglases berechnen.
Physik-Hack: Bei Auftriebsschwingungen wirkt das verdrängte Wasservolumen wie eine "Federkonstante" - je größer die Eintauchfläche, desto härter die "Feder"!
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Lösungsansätze Fadenpendel
Die richtige Antwort bei der Masse-Abhängigkeit ist eindeutig: Eine horizontale Gerade zeigt, dass die Schwingungsdauer konstant bleibt. Das ist das Geniale am Fadenpendel - völlig unabhängig vom Gewicht der Kugel.
Beim T²-l-Diagramm erkennst du eine schöne Gerade durch den Ursprung. Das bestätigt die theoretische Vorhersage T² ∝ l perfekt. Die Steigung der Geraden gibt dir sogar Aufschluss über die Erdbeschleunigung.
Die Erdmessung funktioniert, weil die Steigung 4π²/g beträgt. Auf dem Mond wäre g nur 1/6 so groß, also die Steigung 6-mal größer. Da die Steigung hier normal aussieht, fand die Messung definitiv auf der Erde statt.
Clever: Das Fadelpendel ist praktisch eine "Gravitationswaage" - du kannst damit die örtliche Erdbeschleunigung messen!
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Lösungsweg Federpendel
Bei der Massenberechnung nutzt du die Formel T = 2π√(m/D) und stellst nach m um: m = D·T²/(4π²). Mit D = 20 N/m und T = 1,2 s erhältst du m ≈ 0,73 kg.
Die Ruhelage findest du über das Kräftegleichgewicht: mg = D·x. Die entspannte Feder wird also um x = mg/D ≈ 0,37 m verlängert, bis Gewichts- und Federkraft sich ausgleichen.
Für die Differentialgleichung ist der Ansatz s = A·cos(ωt) goldrichtig. Mit den Anfangsbedingungen (bei t = 0 ist s = 9 cm) wird A = 0,09 m und ω = 2π/T.
Mathe-Trick: Bei harmonischen Schwingungen ist die Geschwindigkeit maximal, wenn die Auslenkung null ist - und umgekehrt!
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Geschwindigkeits-Diagramme analysieren
Diagramm A ist korrekt, weil es eine negative Sinus-Funktion zeigt. Da s = A·cos(ωt) ist, wird v = -Aω·sin(ωt). Bei t = 0 startet die Geschwindigkeit bei null - das passt perfekt zu unseren Anfangsbedingungen.
Diagramm B und C fallen durch, weil sie positive Sinus-Funktionen zeigen oder die Nullstellen an den falschen Stellen haben. Die Physik lässt sich nicht austricksen - die mathematischen Zusammenhänge müssen stimmen.
Die Geschwindigkeitsamplitude berechnest du mit vₘₐₓ = A·ω = 0,09 m · ≈ 0,47 m/s. Das ist die höchste Geschwindigkeit, die das Pendel beim Durchgang durch die Ruhelage erreicht.
Denkhilfe: Stelle dir vor, du schaukelst - am höchsten Punkt bist du langsam, in der Mitte am schnellsten!
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Reagenzglas-Schwingung Lösung
Die Periodendauer berechnest du aus den gegebenen Werten: T = 4 s / 9 Schwingungen ≈ 0,44 s. Das ist ziemlich schnell für so eine Schwingung!
Für die Maximalgeschwindigkeit gilt vₘₐₓ = A·ω, wobei A = 0,05 m (die zusätzliche Eintauchtiefe) und ω = 2π/T ist. Das ergibt etwa vₘₐₓ ≈ 0,71 m/s.
Die Masse des Reagenzglases erhältst du aus der Differentialgleichung: m = ρ·A·g·T²/(4π²). Mit ρ = 1000 kg/m³, A = π·(0,01 m)², g = 9,81 m/s² und T = 0,44 s kommst du auf eine sehr kleine Masse.
Realitätscheck: Die winzige berechnete Masse zeigt, dass das Reagenzglas praktisch leer sein muss - nur mit wenigen Schrotkugeln beschwert!
Wir dachten schon, du fragst nie...
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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha KlichAndroid-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
AnnaiOS-Nutzerin
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DerProfi@derstreber2.0
Harmonische Schwingungen sind überall um uns herum - vom Pendel der alten Wanduhr bis zur Gitarrensaite. Diese Klassenarbeit zeigt dir, wie du die wichtigsten Gesetzmäßigkeiten von Pendeln und Federschwingern verstehst und berechnest.
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Fadenpendel und Schwingungsdauer
Fadenpendel sind ziemlich cool, weil sie eine wichtige Eigenschaft haben: Die Schwingungsdauer hängt überhaupt nicht von der Masse der Kugel ab! Egal ob du eine schwere oder leichte Kugel anhängst - die Zeit für eine komplette Schwingung bleibt gleich.
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Merktipp: Bei kleinen Auslenkungen ist die Schwingungsdauer eines Fadenpendels vollkommen unabhängig von der Masse!
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Feder-Schwere-Pendel Berechnungen
Das Feder-Schwere-Pendel kombiniert zwei Kräfte: die Federkraft und die Gewichtskraft. In der Ruhelage sind diese beiden Kräfte im Gleichgewicht, deshalb hängt die Feder schon etwas durch.
Die Masse berechnest du mit der Formel T = 2π√(m/D), umgestellt nach m. Die Federkonstante D und die Periodendauer T kennst du ja bereits aus der Aufgabe.
Bei der Differentialgleichung m·s̈ + D·s = 0 ist die Lösung eine Kosinus-Funktion: s = A·cos(ωt). Die Anfangsbedingungen bestimmen dabei die Amplitude A und die Phasenverschiebung.
Praxistipp: Die maximale Federkraft tritt immer bei der größten Auslenkung auf - das ist der Punkt, wo die Feder am stärksten gedehnt oder gestaucht ist!
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Reagenzglas-Schwingung im Wasser
Hier wird's richtig spannend: Ein Reagenzglas schwimmt und schwingt dabei harmonisch auf und ab! Das funktioniert durch den Auftrieb des Wassers - je tiefer das Glas eintaucht, desto stärker drückt es das Wasser nach oben.
Die Rückstellkraft entsteht durch die Dichte ρ des Wassers, die Querschnittsfläche A des Glases und natürlich die Schwerkraft g. Diese Größen bestimmen, wie schnell das Glas schwingt.
Mit 9 Schwingungen in 4 Sekunden erhältst du eine Periodendauer von T = 4s/9 ≈ 0,44s. Daraus kannst du sowohl die Maximalgeschwindigkeit als auch die Masse des Reagenzglases berechnen.
Physik-Hack: Bei Auftriebsschwingungen wirkt das verdrängte Wasservolumen wie eine "Federkonstante" - je größer die Eintauchfläche, desto härter die "Feder"!
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Lösungsansätze Fadenpendel
Die richtige Antwort bei der Masse-Abhängigkeit ist eindeutig: Eine horizontale Gerade zeigt, dass die Schwingungsdauer konstant bleibt. Das ist das Geniale am Fadenpendel - völlig unabhängig vom Gewicht der Kugel.
Beim T²-l-Diagramm erkennst du eine schöne Gerade durch den Ursprung. Das bestätigt die theoretische Vorhersage T² ∝ l perfekt. Die Steigung der Geraden gibt dir sogar Aufschluss über die Erdbeschleunigung.
Die Erdmessung funktioniert, weil die Steigung 4π²/g beträgt. Auf dem Mond wäre g nur 1/6 so groß, also die Steigung 6-mal größer. Da die Steigung hier normal aussieht, fand die Messung definitiv auf der Erde statt.
Clever: Das Fadelpendel ist praktisch eine "Gravitationswaage" - du kannst damit die örtliche Erdbeschleunigung messen!
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Lösungsweg Federpendel
Bei der Massenberechnung nutzt du die Formel T = 2π√(m/D) und stellst nach m um: m = D·T²/(4π²). Mit D = 20 N/m und T = 1,2 s erhältst du m ≈ 0,73 kg.
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Mathe-Trick: Bei harmonischen Schwingungen ist die Geschwindigkeit maximal, wenn die Auslenkung null ist - und umgekehrt!
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Reagenzglas-Schwingung Lösung
Die Periodendauer berechnest du aus den gegebenen Werten: T = 4 s / 9 Schwingungen ≈ 0,44 s. Das ist ziemlich schnell für so eine Schwingung!
Für die Maximalgeschwindigkeit gilt vₘₐₓ = A·ω, wobei A = 0,05 m (die zusätzliche Eintauchtiefe) und ω = 2π/T ist. Das ergibt etwa vₘₐₓ ≈ 0,71 m/s.
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