Physik1.244Aktualisiert 14. Okt. 20267 Seiten

Mechanische Schwingungen: Aufgaben und Lösungen

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Harmonische Schwingungen sind überall um uns herum - vom Pendel der alten Wanduhr bis zur Gitarrensaite. Diese Klassenarbeit zeigt dir, wie du die wichtigsten Gesetzmäßigkeiten von Pendeln und Federschwingern verstehst und berechnest.
Mechanische Schwingungen – Seite 1

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Fadenpendel und Schwingungsdauer

Fadenpendel sind ziemlich cool, weil sie eine wichtige Eigenschaft haben: Die Schwingungsdauer hängt überhaupt nicht von der Masse der Kugel ab! Egal ob du eine schwere oder leichte Kugel anhängst - die Zeit für eine komplette Schwingung bleibt gleich.

Das liegt an der Formel für die Periodendauer: T = 2π√(l/g). Hier siehst du: nur die Fadenlänge l und die Erdbeschleunigung g spielen eine Rolle - die Masse m kommt gar nicht vor.

Wenn du die Fadenlänge änderst, entsteht ein linearer Zusammenhang zwischen T² und l. Das bedeutet: doppelte Länge = doppeltes T². Diese Beziehung hilft dir sogar herauszufinden, ob ein Experiment auf der Erde oder auf dem Mond stattgefunden hat.

Merktipp: Bei kleinen Auslenkungen ist die Schwingungsdauer eines Fadenpendels vollkommen unabhängig von der Masse!

Mechanische Schwingungen – Seite 2

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Feder-Schwere-Pendel Berechnungen

Das Feder-Schwere-Pendel kombiniert zwei Kräfte: die Federkraft und die Gewichtskraft. In der Ruhelage sind diese beiden Kräfte im Gleichgewicht, deshalb hängt die Feder schon etwas durch.

Die Masse berechnest du mit der Formel T = 2π√(m/D), umgestellt nach m. Die Federkonstante D und die Periodendauer T kennst du ja bereits aus der Aufgabe.

Bei der Differentialgleichung m·s̈tt + D·stt = 0 ist die Lösung eine Kosinus-Funktion: stt = A·cos(ωt). Die Anfangsbedingungen bestimmen dabei die Amplitude A und die Phasenverschiebung.

Praxistipp: Die maximale Federkraft tritt immer bei der größten Auslenkung auf - das ist der Punkt, wo die Feder am stärksten gedehnt oder gestaucht ist!

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Reagenzglas-Schwingung im Wasser

Hier wird's richtig spannend: Ein Reagenzglas schwimmt und schwingt dabei harmonisch auf und ab! Das funktioniert durch den Auftrieb des Wassers - je tiefer das Glas eintaucht, desto stärker drückt es das Wasser nach oben.

Die Rückstellkraft entsteht durch die Dichte ρ des Wassers, die Querschnittsfläche A des Glases und natürlich die Schwerkraft g. Diese Größen bestimmen, wie schnell das Glas schwingt.

Mit 9 Schwingungen in 4 Sekunden erhältst du eine Periodendauer von T = 4s/9 ≈ 0,44s. Daraus kannst du sowohl die Maximalgeschwindigkeit als auch die Masse des Reagenzglases berechnen.

Physik-Hack: Bei Auftriebsschwingungen wirkt das verdrängte Wasservolumen wie eine "Federkonstante" - je größer die Eintauchfläche, desto härter die "Feder"!

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Lösungsansätze Fadenpendel

Die richtige Antwort bei der Masse-Abhängigkeit ist eindeutig: Eine horizontale Gerade zeigt, dass die Schwingungsdauer konstant bleibt. Das ist das Geniale am Fadenpendel - völlig unabhängig vom Gewicht der Kugel.

Beim T²-l-Diagramm erkennst du eine schöne Gerade durch den Ursprung. Das bestätigt die theoretische Vorhersage T² ∝ l perfekt. Die Steigung der Geraden gibt dir sogar Aufschluss über die Erdbeschleunigung.

Die Erdmessung funktioniert, weil die Steigung 4π²/g beträgt. Auf dem Mond wäre g nur 1/6 so groß, also die Steigung 6-mal größer. Da die Steigung hier normal aussieht, fand die Messung definitiv auf der Erde statt.

Clever: Das Fadelpendel ist praktisch eine "Gravitationswaage" - du kannst damit die örtliche Erdbeschleunigung messen!

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Lösungsweg Federpendel

Bei der Massenberechnung nutzt du die Formel T = 2π√(m/D) und stellst nach m um: m = D·T²/(4π²). Mit D = 20 N/m und T = 1,2 s erhältst du m ≈ 0,73 kg.

Die Ruhelage findest du über das Kräftegleichgewicht: mg = D·x. Die entspannte Feder wird also um x = mg/D ≈ 0,37 m verlängert, bis Gewichts- und Federkraft sich ausgleichen.

Für die Differentialgleichung ist der Ansatz stt = A·cos(ωt) goldrichtig. Mit den Anfangsbedingungen (bei t = 0 ist s = 9 cm) wird A = 0,09 m und ω = 2π/T.

Mathe-Trick: Bei harmonischen Schwingungen ist die Geschwindigkeit maximal, wenn die Auslenkung null ist - und umgekehrt!

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Geschwindigkeits-Diagramme analysieren

Diagramm A ist korrekt, weil es eine negative Sinus-Funktion zeigt. Da stt = A·cos(ωt) ist, wird vtt = -Aω·sin(ωt). Bei t = 0 startet die Geschwindigkeit bei null - das passt perfekt zu unseren Anfangsbedingungen.

Diagramm B und C fallen durch, weil sie positive Sinus-Funktionen zeigen oder die Nullstellen an den falschen Stellen haben. Die Physik lässt sich nicht austricksen - die mathematischen Zusammenhänge müssen stimmen.

Die Geschwindigkeitsamplitude berechnest du mit vₘₐₓ = A·ω = 0,09 m · 2π/1,2s2π/1,2 s ≈ 0,47 m/s. Das ist die höchste Geschwindigkeit, die das Pendel beim Durchgang durch die Ruhelage erreicht.

Denkhilfe: Stelle dir vor, du schaukelst - am höchsten Punkt bist du langsam, in der Mitte am schnellsten!

Mechanische Schwingungen – Seite 7

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Reagenzglas-Schwingung Lösung

Die Periodendauer berechnest du aus den gegebenen Werten: T = 4 s / 9 Schwingungen ≈ 0,44 s. Das ist ziemlich schnell für so eine Schwingung!

Für die Maximalgeschwindigkeit gilt vₘₐₓ = A·ω, wobei A = 0,05 m (die zusätzliche Eintauchtiefe) und ω = 2π/T ist. Das ergibt etwa vₘₐₓ ≈ 0,71 m/s.

Die Masse des Reagenzglases erhältst du aus der Differentialgleichung: m = ρ·A·g·T²/(4π²). Mit ρ = 1000 kg/m³, A = π·(0,01 m)², g = 9,81 m/s² und T = 0,44 s kommst du auf eine sehr kleine Masse.

Realitätscheck: Die winzige berechnete Masse zeigt, dass das Reagenzglas praktisch leer sein muss - nur mit wenigen Schrotkugeln beschwert!

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