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24. Jan. 2026
•
Phillis Conrads
@phillisconrads
Lineare Algebra ist ein super wichtiges Thema in der Oberstufe... Mehr anzeigen
Matrizen sind eigentlich nur rechteckige Zahlenanordnungen - stell dir eine Tabelle vor! Es gibt verschiedene Typen, die du unbedingt kennen solltest.
Die Nullmatrix besteht nur aus Nullen, während bei der transponierten Matrix einfach Zeilen und Spalten vertauscht werden. Eine quadratische Matrix hat gleich viele Zeilen wie Spalten - das ist wichtig für viele Rechnungen.
Bei Dreiecksmatrizen sind alle Elemente oberhalb oder unterhalb der Hauptdiagonale null. Die Diagonalmatrix geht noch weiter: nur auf der Diagonale stehen Zahlen, der Rest ist null. Die Einheitsmatrix ist eine spezielle Diagonalmatrix mit lauter Einsen auf der Diagonale.
Vektoren sind eigentlich nur Matrizen mit einer Zeile oder Spalte. Du unterscheidest zwischen Spalten- und Zeilenvektoren, und kannst sie durch Transponieren ineinander umwandeln.
Merktipp: Zwei Matrizen sind nur gleich, wenn sie den gleichen Typ (m×n) haben UND alle Elemente identisch sind!
Matrizen begegnen dir überall im Alltag - zum Beispiel bei Verkaufszahlen verschiedener Artikel an mehreren Ständen. Jede Position in der Matrix hat einen Zeilenindex i und Spaltenindex j, geschrieben als aᵢⱼ.
Addition und Subtraktion funktionieren super einfach: Du rechnest jedes Element einzeln. Aber Achtung - das geht nur bei gleichen Formaten! Eine 3×2-Matrix kannst du nicht mit einer 2×3-Matrix addieren.
Die wichtigsten Rechenregeln sind: A + B = B + A (kommutativ), A + 0 = A (neutrales Element) und + C = A + (assoziativ). Bei der Skalar-Multiplikation multiplizierst du einfach jedes Element mit der Zahl.
Eine wichtige Sache: Matrizen können nicht dividiert werden! Du kannst sie addieren, subtrahieren und multiplizieren - das war's.
Praxis-Tipp: Nutze den Taschenrechner für größere Matrizen - das spart Zeit in Klausuren!
Die Matrizenmultiplikation ist trickreicher als Addition - hier multiplizierst du Zeile mal Spalte nach dem Falk-Schema. Wichtig: A×B ≠ B×A! Die Reihenfolge zählt.
Achtung bei den Dimensionen: Du kannst A(m×n) × B(n×p) nur multiplizieren, wenn die Spaltenanzahl von A gleich der Zeilenanzahl von B ist. Das Ergebnis wird dann eine (m×p)-Matrix.
In der Wirtschaft sind Verflechtungsmatrizen mega praktisch. Du hast Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrizen (A), Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrizen (B) und Rohstoff-Endprodukt-Matrizen (C). Mit Produktionsvektoren (PE, PZ) rechnest du aus, was du brauchst.
Kostenvektoren (kR, kZ, kE) helfen dir, die Kosten zu berechnen. Merke dir: Produktionsvektoren werden von rechts multipliziert, Kostenvektoren von links!
Klausur-Tipp: Bei Verflechtungsaufgaben immer erst die Dimensionen checken - das verhindert Fehler!
Variable Kosten bestehen aus Rohstoffkosten plus Fertigungskosten: K = Kv + kfix. Der Gewinn errechnet sich als G = E - K, wobei E die Erlöse sind.
Um Gesamtkosten zu berechnen, nutzt du: Kv = kR × C × PE + kZ × B × PE + kE × PE. Das sieht kompliziert aus, ist aber nur die Summe aller variablen Kosten für deine gewünschte Produktionsmenge.
Erlöse berechnest du einfach als Preis mal Menge: E = Preisvektor × PE. Den Preisvektor bekommst du meist in der Aufgabe gegeben.
Wenn Unbekannte in Matrizen gegeben sind, setzt du die bekannten Werte ein und löst die entstehenden Gleichungen. Nutze logisches Denken und den Taschenrechner für komplexere Systeme.
Erfolgs-Strategie: Arbeite systematisch - erst alle bekannten Werte einsetzen, dann Schritt für Schritt die Unbekannten berechnen!
Es gibt zwei clevere Methoden, um Rohstoffkosten zu berechnen - beide führen zum gleichen Ergebnis, aber der Rechenweg ist anders.
Methode 1: Zuerst berechnest du die Rohstoffkosten für 1 ME Endprodukt , dann multiplizierst du mit der gewünschten Produktionsmenge .
Methode 2: Du berechnest erst den gesamten Rohstoffbedarf (C × PE), dann multiplizierst du mit dem Rohstoffkostenvektor .
Vier wichtige Fragetypen kommen immer wieder vor: Verkaufsprognosen (Matrix × Faktor), Rohstoffbedarf (A × PE), Rohstoffkosten für Zwischenprodukte (kR × A) und benötigte Zwischenprodukte (B × PE).
Bei allen Berechnungen achte auf die richtige Reihenfolge der Multiplikation und die Dimensionen der Matrizen!
Prüfungs-Hack: Beide Methoden beherrschen lohnt sich - manchmal ist eine einfacher als die andere!
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
Du kannst die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Genau! Genieße kostenlosen Zugang zu Lerninhalten, vernetze dich mit anderen Schülern und hol dir sofortige Hilfe – alles direkt auf deinem Handy.
App Store
Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
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Anna
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Thomas R
iOS-Nutzer
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Basil
Android-Nutzer
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David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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Elisha
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Paul T
iOS-Nutzer
Phillis Conrads
@phillisconrads
Lineare Algebra ist ein super wichtiges Thema in der Oberstufe - und keine Sorge, es ist machbarer als es aussieht! Hier lernst du alles über Matrizen und ihre verschiedenen Arten, wie du mit ihnen rechnest und wie sie in der... Mehr anzeigen
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Matrizen sind eigentlich nur rechteckige Zahlenanordnungen - stell dir eine Tabelle vor! Es gibt verschiedene Typen, die du unbedingt kennen solltest.
Die Nullmatrix besteht nur aus Nullen, während bei der transponierten Matrix einfach Zeilen und Spalten vertauscht werden. Eine quadratische Matrix hat gleich viele Zeilen wie Spalten - das ist wichtig für viele Rechnungen.
Bei Dreiecksmatrizen sind alle Elemente oberhalb oder unterhalb der Hauptdiagonale null. Die Diagonalmatrix geht noch weiter: nur auf der Diagonale stehen Zahlen, der Rest ist null. Die Einheitsmatrix ist eine spezielle Diagonalmatrix mit lauter Einsen auf der Diagonale.
Vektoren sind eigentlich nur Matrizen mit einer Zeile oder Spalte. Du unterscheidest zwischen Spalten- und Zeilenvektoren, und kannst sie durch Transponieren ineinander umwandeln.
Merktipp: Zwei Matrizen sind nur gleich, wenn sie den gleichen Typ (m×n) haben UND alle Elemente identisch sind!
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Matrizen begegnen dir überall im Alltag - zum Beispiel bei Verkaufszahlen verschiedener Artikel an mehreren Ständen. Jede Position in der Matrix hat einen Zeilenindex i und Spaltenindex j, geschrieben als aᵢⱼ.
Addition und Subtraktion funktionieren super einfach: Du rechnest jedes Element einzeln. Aber Achtung - das geht nur bei gleichen Formaten! Eine 3×2-Matrix kannst du nicht mit einer 2×3-Matrix addieren.
Die wichtigsten Rechenregeln sind: A + B = B + A (kommutativ), A + 0 = A (neutrales Element) und + C = A + (assoziativ). Bei der Skalar-Multiplikation multiplizierst du einfach jedes Element mit der Zahl.
Eine wichtige Sache: Matrizen können nicht dividiert werden! Du kannst sie addieren, subtrahieren und multiplizieren - das war's.
Praxis-Tipp: Nutze den Taschenrechner für größere Matrizen - das spart Zeit in Klausuren!
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Die Matrizenmultiplikation ist trickreicher als Addition - hier multiplizierst du Zeile mal Spalte nach dem Falk-Schema. Wichtig: A×B ≠ B×A! Die Reihenfolge zählt.
Achtung bei den Dimensionen: Du kannst A(m×n) × B(n×p) nur multiplizieren, wenn die Spaltenanzahl von A gleich der Zeilenanzahl von B ist. Das Ergebnis wird dann eine (m×p)-Matrix.
In der Wirtschaft sind Verflechtungsmatrizen mega praktisch. Du hast Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrizen (A), Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrizen (B) und Rohstoff-Endprodukt-Matrizen (C). Mit Produktionsvektoren (PE, PZ) rechnest du aus, was du brauchst.
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Variable Kosten bestehen aus Rohstoffkosten plus Fertigungskosten: K = Kv + kfix. Der Gewinn errechnet sich als G = E - K, wobei E die Erlöse sind.
Um Gesamtkosten zu berechnen, nutzt du: Kv = kR × C × PE + kZ × B × PE + kE × PE. Das sieht kompliziert aus, ist aber nur die Summe aller variablen Kosten für deine gewünschte Produktionsmenge.
Erlöse berechnest du einfach als Preis mal Menge: E = Preisvektor × PE. Den Preisvektor bekommst du meist in der Aufgabe gegeben.
Wenn Unbekannte in Matrizen gegeben sind, setzt du die bekannten Werte ein und löst die entstehenden Gleichungen. Nutze logisches Denken und den Taschenrechner für komplexere Systeme.
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Es gibt zwei clevere Methoden, um Rohstoffkosten zu berechnen - beide führen zum gleichen Ergebnis, aber der Rechenweg ist anders.
Methode 1: Zuerst berechnest du die Rohstoffkosten für 1 ME Endprodukt , dann multiplizierst du mit der gewünschten Produktionsmenge .
Methode 2: Du berechnest erst den gesamten Rohstoffbedarf (C × PE), dann multiplizierst du mit dem Rohstoffkostenvektor .
Vier wichtige Fragetypen kommen immer wieder vor: Verkaufsprognosen (Matrix × Faktor), Rohstoffbedarf (A × PE), Rohstoffkosten für Zwischenprodukte (kR × A) und benötigte Zwischenprodukte (B × PE).
Bei allen Berechnungen achte auf die richtige Reihenfolge der Multiplikation und die Dimensionen der Matrizen!
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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Elisha
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