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11. Dez. 2025

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Grundlagen der Linearen Algebra: Vektoren, Funktionen und Systeme

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Lisa

@lisa.dcs

Heute tauchen wir in die Welt der 3D-Mathematik ein! Von... Mehr anzeigen

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Funktionsscharen Die Funktionsgleichung $f_a(x) = x^2 - ax$ (aER) beschrebt nicht ene enzelne Funktion sondern eine ganze kurven- schar, d

Funktionsscharen verstehen

Eine Funktionsschar wie fa(x)=x2−axf_a(x) = x^2 - ax ist nicht nur eine Funktion, sondern eine ganze Familie von Funktionen. Der Scharparameter a bestimmt, welche konkrete Funktion du erhältst.

Beim Ableiten behandelst du den Parameter a wie eine normale Zahl. Aus fa(x)=x2−axf_a(x) = x^2 - ax wird fa′(x)=2x−af'_a(x) = 2x - a.

Du musst oft Nullstellen, Extrema oder Wendepunkte in Abhängigkeit von a berechnen. Das bedeutet: Deine Lösungen enthalten den Parameter a und beschreiben, wie sich die Eigenschaften der Funktion ändern, wenn a sich ändert.

Verstehenshilfe: Stell dir vor, du drehst an einem Regler (Parameter a) und beobachtest, wie sich die Kurve verändert!

Funktionsscharen Die Funktionsgleichung $f_a(x) = x^2 - ax$ (aER) beschrebt nicht ene enzelne Funktion sondern eine ganze kurven- schar, d

Geraden im 3D-Raum

Eine Gerade im Raum beschreibst du mit der vektoriellen Geradengleichung: g⃗:x⃗=a⃗+rm⃗\vec{g}: \vec{x} = \vec{a} + r\vec{m}. Dabei ist a⃗\vec{a} der Stützvektor (ein fester Punkt), m⃗\vec{m} der Richtungsvektor und rr der Parameter.

Zum Zeichnen einer Geraden setzt du verschiedene r-Werte ein: r=0 gibt dir den Stützpunkt, r=1 und r=-1 geben weitere Punkte. Mit drei Punkten kannst du die Gerade gut skizzieren.

Die Punktprobe zeigt dir, ob ein Punkt auf der Geraden liegt. Setze die Punktkoordinaten in die Geradengleichung ein und löse nach r auf. Bekommst du für alle drei Gleichungen denselben r-Wert? Dann liegt der Punkt auf der Geraden!

Merkhilfe: Der Richtungsvektor zeigt dir, in welche Richtung die Gerade "läuft" - wie ein Pfeil, der die Richtung angibt!

Funktionsscharen Die Funktionsgleichung $f_a(x) = x^2 - ax$ (aER) beschrebt nicht ene enzelne Funktion sondern eine ganze kurven- schar, d

3D-Koordinatensystem und Punkte

Das 3D-Koordinatensystem ist wie das normale 2D-System, nur mit einer zusätzlichen z-Achse für die Höhe. Jeder Punkt hat drei Koordinaten: P(x|y|z).

Bei negativen Werten gehst du einfach in die entgegengesetzte Richtung der jeweiligen Achse. Ein Punkt wie P(-4|-5|-3) liegt im "hinteren unteren linken" Bereich des Koordinatensystems.

Die Koordinatenebenen teilen den Raum auf: Die x-y-Ebene z=0z=0, die x-z-Ebene y=0y=0 und die y-z-Ebene x=0x=0. Diese drei Ebenen sind wie die Wände und der Boden eines Raumes.

Tipp: Stell dir das 3D-System wie dein Zimmer vor - x ist links/rechts, y ist vor/zurück, z ist hoch/runter!

Funktionsscharen Die Funktionsgleichung $f_a(x) = x^2 - ax$ (aER) beschrebt nicht ene enzelne Funktion sondern eine ganze kurven- schar, d

Punkt-Ebene-Beziehungen

Du kannst auf zwei Wege prüfen, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt. Bei der Parameterform setzt du den Punkt gleich der Ebenengleichung und löst das entstehende Gleichungssystem.

Bei der Koordinatenform wie−5x−6y+2z=19wie -5x - 6y + 2z = 19 setzt du einfach die Punktkoordinaten ein. Kommt eine wahre Aussage raus? Dann liegt der Punkt auf der Ebene.

Die Parameterform ist oft aufwendiger, aber sie zeigt dir auch die Parameter r und s, mit denen du den Punkt in der Ebene "erreichen" kannst.

Praxistipp: Die Koordinatenform ist meist schneller - einfach einsetzen und rechnen!

Funktionsscharen Die Funktionsgleichung $f_a(x) = x^2 - ax$ (aER) beschrebt nicht ene enzelne Funktion sondern eine ganze kurven- schar, d

Lineare Gleichungssysteme lösen

Es gibt drei Standardverfahren: Gleichsetzungs-, Einsetzungs- und Additionsverfahren. Jedes hat seine Stärken je nach Aufgabentyp.

Beim Gleichsetzungsverfahren stellst du beide Gleichungen nach derselben Variable um und setzt sie gleich. Beim Einsetzungsverfahren löst du eine Gleichung nach einer Variable auf und setzt sie in die andere ein.

Das Additionsverfahren nutzt geschickte Addition/Subtraktion, um eine Variable zu eliminieren. Du multiplizierst oft eine Gleichung, damit sich beim Addieren eine Variable weghebt.

Erfolgsgeheimnis: Wähle das Verfahren, das am wenigsten Brüche und komplizierte Rechnungen erzeugt!

Funktionsscharen Die Funktionsgleichung $f_a(x) = x^2 - ax$ (aER) beschrebt nicht ene enzelne Funktion sondern eine ganze kurven- schar, d

Punkt-Strecke-Beziehungen

Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Strecke liegt, machst du zuerst eine normale Punktprobe für die Gerade durch die Endpunkte.

Der entscheidende Trick: Der Parameter r muss zwischen 0 und 1 liegen! Bei r=0 bist du am ersten Endpunkt, bei r=1 am zweiten. Dazwischen liegst du auf der Strecke.

Ist r<0 oder r>1, liegt der Punkt zwar auf der Geraden, aber außerhalb der Strecke. Entstehen Widersprüche, liegt er gar nicht auf der Geraden.

Checkpoint: Erst prüfen, ob der Punkt auf der Geraden liegt, dann checken, ob 0 ≤ r ≤ 1 - dann liegt er auf der Strecke!

Funktionsscharen Die Funktionsgleichung $f_a(x) = x^2 - ax$ (aER) beschrebt nicht ene enzelne Funktion sondern eine ganze kurven- schar, d

Abstandsberechnungen

Den Abstand zwischen zwei Punkten berechnest du mit der Abstandsformel - einer Erweiterung des Satzes von Pythagoras.

In 2D: ∣AB∣=(b1−a1)2+(b2−a2)2|AB| = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2} In 3D: ∣AB∣=(b1−a1)2+(b2−a2)2+(b3−a3)2|AB| = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2}

Die Formel ist logisch: Du bildest in jeder Koordinatenrichtung die Differenz, quadrierst sie, addierst alles und ziehst die Wurzel.

Merkregel: Differenz bilden, quadrieren, addieren, Wurzel ziehen - wie beim guten alten Pythagoras, nur mit mehr Dimensionen!

Funktionsscharen Die Funktionsgleichung $f_a(x) = x^2 - ax$ (aER) beschrebt nicht ene enzelne Funktion sondern eine ganze kurven- schar, d

Gerade-Ebene-Beziehungen

Es gibt drei Möglichkeiten für die Lage von Gerade und Ebene: Sie schneiden sich in einem Punkt, sind parallel, oder die Gerade liegt komplett in der Ebene.

Bei der eindeutigen Lösung findest du genau einen Parameter-Wert. Bei Parallelität entstehen Widersprüche wie 5=3. Liegt die Gerade in der Ebene, bekommst du wahre Aussagen wie 0=0.

Zum Lösen setzt du die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein und löst das entstehende lineare Gleichungssystem. Je nach Lösung erkennst du die Lagebeziehung.

Strategie: Erst das Gleichungssystem aufstellen, dann systematisch lösen - die Art der Lösung verrät dir die Lagebeziehung!

Funktionsscharen Die Funktionsgleichung $f_a(x) = x^2 - ax$ (aER) beschrebt nicht ene enzelne Funktion sondern eine ganze kurven- schar, d

Grundlagen der Vektoren

Ein Vektor ist eine Pfeilklasse - alle Pfeile mit gleicher Länge und Richtung gehören zum selben Vektor. Du schreibst ihn als Spaltenvektor mit seinen Komponenten.

Verschiebungsvektoren berechnest du aus zwei Punkten: PQ⃗=(q1−p1 q2−p2 q3−p3)\vec{PQ} = \begin{pmatrix} q_1 - p_1 \ q_2 - p_2 \ q_3 - p_3 \end{pmatrix}. Du gehst vom ersten zum zweiten Punkt.

Die Komponenten zeigen dir, wie weit du in jede Koordinatenrichtung gehen musst. Ein Vektor (2 −3 1)\begin{pmatrix} 2 \ -3 \ 1 \end{pmatrix} bedeutet: 2 nach rechts, 3 nach hinten, 1 nach oben.

Visualisierung: Stell dir Vektoren wie Wegbeschreibungen vor - sie sagen dir, in welche Richtung und wie weit du gehen sollst!

Funktionsscharen Die Funktionsgleichung $f_a(x) = x^2 - ax$ (aER) beschrebt nicht ene enzelne Funktion sondern eine ganze kurven- schar, d

Lösungsverhalten von Gleichungssystemen

Ein Gleichungssystem kann unlösbar, eindeutig lösbar oder unendlich viele Lösungen haben. Das erkennst du, wenn du beide Gleichungen nach y umstellst.

Unlösbar: Gleiche Steigung, aber verschiedene y-Achsenabschnitte (parallele Geraden). Eindeutig lösbar: Verschiedene Steigungen (Geraden schneiden sich in einem Punkt).

Unendlich viele Lösungen: Die Gleichungen sind identisch nach dem Umstellen - es ist eigentlich dieselbe Gerade, nur unterschiedlich geschrieben.

Durchblick: Stelle beide Gleichungen in die Form y = mx + b um - dann siehst du sofort, welcher Fall vorliegt!



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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Funktionsscharen verstehen

Eine Funktionsschar wie fa(x)=x2−axf_a(x) = x^2 - ax ist nicht nur eine Funktion, sondern eine ganze Familie von Funktionen. Der Scharparameter a bestimmt, welche konkrete Funktion du erhältst.

Beim Ableiten behandelst du den Parameter a wie eine normale Zahl. Aus fa(x)=x2−axf_a(x) = x^2 - ax wird fa′(x)=2x−af'_a(x) = 2x - a.

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Eine Gerade im Raum beschreibst du mit der vektoriellen Geradengleichung: g⃗:x⃗=a⃗+rm⃗\vec{g}: \vec{x} = \vec{a} + r\vec{m}. Dabei ist a⃗\vec{a} der Stützvektor (ein fester Punkt), m⃗\vec{m} der Richtungsvektor und rr der Parameter.

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Das 3D-Koordinatensystem ist wie das normale 2D-System, nur mit einer zusätzlichen z-Achse für die Höhe. Jeder Punkt hat drei Koordinaten: P(x|y|z).

Bei negativen Werten gehst du einfach in die entgegengesetzte Richtung der jeweiligen Achse. Ein Punkt wie P(-4|-5|-3) liegt im "hinteren unteren linken" Bereich des Koordinatensystems.

Die Koordinatenebenen teilen den Raum auf: Die x-y-Ebene z=0z=0, die x-z-Ebene y=0y=0 und die y-z-Ebene x=0x=0. Diese drei Ebenen sind wie die Wände und der Boden eines Raumes.

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Du kannst auf zwei Wege prüfen, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt. Bei der Parameterform setzt du den Punkt gleich der Ebenengleichung und löst das entstehende Gleichungssystem.

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Gerade-Ebene-Beziehungen

Es gibt drei Möglichkeiten für die Lage von Gerade und Ebene: Sie schneiden sich in einem Punkt, sind parallel, oder die Gerade liegt komplett in der Ebene.

Bei der eindeutigen Lösung findest du genau einen Parameter-Wert. Bei Parallelität entstehen Widersprüche wie 5=3. Liegt die Gerade in der Ebene, bekommst du wahre Aussagen wie 0=0.

Zum Lösen setzt du die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein und löst das entstehende lineare Gleichungssystem. Je nach Lösung erkennst du die Lagebeziehung.

Strategie: Erst das Gleichungssystem aufstellen, dann systematisch lösen - die Art der Lösung verrät dir die Lagebeziehung!

Funktionsscharen Die Funktionsgleichung $f_a(x) = x^2 - ax$ (aER) beschrebt nicht ene enzelne Funktion sondern eine ganze kurven- schar, d

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Grundlagen der Vektoren

Ein Vektor ist eine Pfeilklasse - alle Pfeile mit gleicher Länge und Richtung gehören zum selben Vektor. Du schreibst ihn als Spaltenvektor mit seinen Komponenten.

Verschiebungsvektoren berechnest du aus zwei Punkten: PQ⃗=(q1−p1 q2−p2 q3−p3)\vec{PQ} = \begin{pmatrix} q_1 - p_1 \ q_2 - p_2 \ q_3 - p_3 \end{pmatrix}. Du gehst vom ersten zum zweiten Punkt.

Die Komponenten zeigen dir, wie weit du in jede Koordinatenrichtung gehen musst. Ein Vektor (2 −3 1)\begin{pmatrix} 2 \ -3 \ 1 \end{pmatrix} bedeutet: 2 nach rechts, 3 nach hinten, 1 nach oben.

Visualisierung: Stell dir Vektoren wie Wegbeschreibungen vor - sie sagen dir, in welche Richtung und wie weit du gehen sollst!

Funktionsscharen Die Funktionsgleichung $f_a(x) = x^2 - ax$ (aER) beschrebt nicht ene enzelne Funktion sondern eine ganze kurven- schar, d

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Lösungsverhalten von Gleichungssystemen

Ein Gleichungssystem kann unlösbar, eindeutig lösbar oder unendlich viele Lösungen haben. Das erkennst du, wenn du beide Gleichungen nach y umstellst.

Unlösbar: Gleiche Steigung, aber verschiedene y-Achsenabschnitte (parallele Geraden). Eindeutig lösbar: Verschiedene Steigungen (Geraden schneiden sich in einem Punkt).

Unendlich viele Lösungen: Die Gleichungen sind identisch nach dem Umstellen - es ist eigentlich dieselbe Gerade, nur unterschiedlich geschrieben.

Durchblick: Stelle beide Gleichungen in die Form y = mx + b um - dann siehst du sofort, welcher Fall vorliegt!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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