Mathe für die 9. Klasse: Zahlenmengen bis Scheitelpunktform

Zahlenmengen und Quadratwurzeln

Natürliche Zahlen (ℕ) sind die Zahlen, die du zum Zählen verwendest: 1, 2, 3, 4... Ganze Zahlen (ℤ) erweitern das um negative Zahlen und die Null. Rationale Zahlen (ℚ) sind alle Brüche und Dezimalzahlen, die abbrechend oder periodisch sind.

Irrationale Zahlen wie √2 oder π haben unendlich viele, nicht-periodische Nachkommastellen. Zusammen mit den rationalen Zahlen bilden sie die reellen Zahlen (ℝ).

Bei Quadratwurzeln gilt: √x ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert x ergibt. Du kannst Wurzeln mit gleichem Radikand addieren: 5√2 + 3√2 = 8√2. Beim Multiplizieren gilt: √a · √b = √(a·b).

Tipp: Beim teilweisen Radizieren zerlegst du den Radikand geschickt: √20 = √(4·5) = 2√5

Quadratwurzeln ohne Taschenrechner berechnen

Du kannst Quadratwurzeln auch ohne Taschenrechner bestimmen! Bei der Intervallschachtelung näherst du dich schrittweise an das Ergebnis an. Für √3 testest du erst 1² = 1 und 2² = 4, also liegt √3 zwischen 1 und 2.

Dann probierst du 1,7² = 2,89 und 1,8² = 3,24 - √3 liegt also zwischen 1,7 und 1,8. So machst du immer weiter, bis du genau genug bist.

Das Heron-Verfahren ist noch effizienter: Du startest mit zwei Zahlen, deren Produkt dein gesuchter Radikand ist. Dann bildest du immer wieder den Mittelwert und teilst durch ihn - so kommst du schnell zum Ergebnis.

Wurzelterme enthalten Variablen unter der Wurzel. Wichtig: Die Definitionsmenge umfasst nur Werte, die den Radikand nicht negativ machen!

Merksatz: Beim Rationalmachen des Nenners multiplizierst du Zähler und Nenner mit der Wurzel

Funktionen und ihre Eigenschaften

Lineare Funktionen haben die Form y = mx + t, wobei m die Steigung und t den y-Achsenabschnitt angibt. Die Steigung berechnest du mit m = Δy/Δx. Diese Funktionen sind für alle reellen Zahlen definiert.

Bei gebrochen-rationalen Funktionen wie y = a/$x+b$ + c musst du aufpassen: Sie sind nicht definiert, wenn der Nenner null wird. Das ist wichtig für die Definitionsmenge!

Die Scheitelpunktform f$x$ = a$x+xs$² + ys zeigt dir sofort den Scheitelpunkt: (-xs|ys). Wenn a positiv ist, öffnet sich die Parabel nach oben, wenn negativ nach unten. Die Wertemenge bestimmst du über den höchsten oder tiefsten Punkt.

Nullstellen findest du, indem du die Funktion gleich null setzt: Für f$x$ = 2x+3 rechnest du 0 = 2x+3, also x = -1,5.

Praxis-Tipp: Erstelle immer eine Wertetabelle zum Zeichnen - das macht Funktionen viel anschaulicher!