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Mathematik

Grundlegende Ableitungsregeln

Differentiation mit mehreren Regeln

2.685

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29. Jan. 2026

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5 Seiten

Ableitungsregeln: Potenz-, Faktor- und Summenregel erklärt

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LATI

@lati.berlin

Ableitungsregeln sind das Grundhandwerkszeug der Differentialrechnung - ohne sie läuft... Mehr anzeigen

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# Ableitungsregeln 6-Arten: # Potenzregel: Der vorhandene Exponert wird als: - Faktor nach vorne gezogen - anschließend um 1 verringert

Grundlegende Ableitungsregeln

Die Potenzregel ist deine beste Freundin beim Ableiten: Der Exponent wandert als Faktor nach vorne und wird dann um 1 kleiner. Aus f(x)=3x5f(x) = 3x^5 wird also f′(x)=5⋅3x4=15x4f'(x) = 5 \cdot 3x^4 = 15x^4.

Bei der Faktorregel bleiben alle Zahlen vor dem x einfach stehen - nur der Exponent ändert sich. Die Konstantenregel ist noch einfacher: Konstanten wie +7 oder -3 verschwinden komplett beim Ableiten, weil sie die Steigung nicht beeinflussen.

Merktipp: Konstanten verschieben Funktionen nur nach oben oder unten, ändern aber nichts an der Steigung!

Diese drei Regeln reichen schon für die meisten Polynome aus und sind die Basis für alles Weitere.

# Ableitungsregeln 6-Arten: # Potenzregel: Der vorhandene Exponert wird als: - Faktor nach vorne gezogen - anschließend um 1 verringert

Summen-, Produkt- und Kettenregel

Die Summenregel macht's dir leicht: Einfach jeden Term einzeln ableiten und zusammenaddieren. Aus f(x)=3x5−4x2+3f(x) = 3x^5 - 4x^2 + 3 wird f′(x)=15x4−8xf'(x) = 15x^4 - 8x.

Komplizierter wird's bei der Produktregel: Wenn zwei Funktionen multipliziert werden, gilt f′(x)=u′⋅v+u⋅v′f'(x) = u' \cdot v + u \cdot v'. Bei f(x)=x⋅exf(x) = x \cdot e^x erhältst du f′(x)=1⋅ex+x⋅ex=ex(x+1)f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(x+1).

Die Kettenregel brauchst du bei verschachtelten Funktionen wie f(x)=(2x+1)3f(x) = (2x+1)^3. Hier multiplizierst du die äußere Ableitung mit der inneren: f′(x)=3(2x+1)2⋅2=6(2x+1)2f'(x) = 3(2x+1)^2 \cdot 2 = 6(2x+1)^2.

Praxistipp: Erkenne zuerst die Struktur deiner Funktion - ist sie eine Summe, ein Produkt oder verschachtelt?

# Ableitungsregeln 6-Arten: # Potenzregel: Der vorhandene Exponert wird als: - Faktor nach vorne gezogen - anschließend um 1 verringert

Spezielle Ableitungen und Produktregel-Vertiefung

Wurzeln schreibst du am besten als Potenzen um: x=x1/2\sqrt{x} = x^{1/2}, dann wird die Ableitung 12x−1/2\frac{1}{2}x^{-1/2}. Das macht die Potenzregel anwendbar.

Bei der Produktregel musst du aufpassen: f(x)=x2⋅x3f(x) = x^2 \cdot x^3 kannst du entweder zu x5x^5 vereinfachen dann $f'(x) = 5x^4$ oder die Produktregel anwenden. Das Ergebnis ist dasselbe, aber die Vereinfachung ist meist schneller.

Für f(x)=x⋅exf(x) = x \cdot e^x wendest du die Produktregel an: f′(x)=1⋅ex+x⋅ex=ex(x+1)f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(x+1). Die zweite Ableitung wird dann f′′(x)=ex(x+2)f''(x) = e^x(x+2).

Zeitsparer: Prüfe immer erst, ob du Terme vereinfachen kannst, bevor du komplizierte Regeln anwendest!

# Ableitungsregeln 6-Arten: # Potenzregel: Der vorhandene Exponert wird als: - Faktor nach vorne gezogen - anschließend um 1 verringert

Kettenregel und Exponentialfunktionen

Die Kettenregel ist bei Exponentialfunktionen wie f(x)=e2x+1f(x) = e^{2x+1} unverzichtbar. Du leitest die äußere Funktion ab und multiplizierst mit der Ableitung der inneren Funktion: f′(x)=e2x+1⋅2=2e2x+1f'(x) = e^{2x+1} \cdot 2 = 2e^{2x+1}.

Bei (2x+1)3(2x+1)^3 gehst du genauso vor: äußere Ableitung 3(2x+1)23(2x+1)^2 mal innere Ableitung 22 ergibt 6(2x+1)26(2x+1)^2. Du könntest auch ausmultiplizieren, aber das ist viel aufwendiger.

Negative Exponenten wie bei f(x)=e−2xf(x) = e^{-2x} funktionieren gleich: f′(x)=e−2x⋅(−2)=−2e−2xf'(x) = e^{-2x} \cdot (-2) = -2e^{-2x}. Bei komplexeren Termen wie f(x)=(x3+3x2)⋅e−xf(x) = (x^3 + 3x^2) \cdot e^{-x} kombinierst du Produkt- und Kettenregel.

Erkennungsmerkmal: Siehst du eine Funktion in einer anderen Funktion "versteckt", brauchst du die Kettenregel!

# Ableitungsregeln 6-Arten: # Potenzregel: Der vorhandene Exponert wird als: - Faktor nach vorne gezogen - anschließend um 1 verringert

Höhere Ableitungen und Rekonstruktion

Höhere Ableitungen haben verschiedene Bedeutungen: f′(x)f'(x) zeigt die Steigung, f′′(x)f''(x) die Krümmung und Wendestellen, f′′′(x)f'''(x) hilft bei Sattelpunkten. Du wendest einfach die gleichen Regeln mehrmals hintereinander an.

Die Rekonstruktion dreht den Spieß um: Aus gegebenen Informationen wie Punkten und Steigungen baust du die ursprüngliche Funktion auf. Bei f(x)=a⋅ebxf(x) = a \cdot e^{bx} mit Punkt P(2|e) und Steigung m=1 an der Stelle x=2 setzt du die Bedingungen in die Funktion und ihre Ableitung ein.

Du erhältst dann ein Gleichungssystem: f(2)=ef(2) = e und f′(2)=1f'(2) = 1. Mit f′(x)=ab⋅ebxf'(x) = ab \cdot e^{bx} kannst du a und b bestimmen.

Strategie: Rekonstruktion ist wie Rückwärts-Ableiten - nutze alle gegebenen Informationen systematisch!



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Beliebtester Inhalt: Differentiation mit mehreren Regeln

Differenzierungsregeln: Produkt & Kette

Erlernen Sie die Anwendung der Produkt- und Kettenregel zur Ableitung zusammengesetzter Funktionen. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und Schritt-für-Schritt-Anleitungen zur Differenzierung von Funktionen wie f(x) = x³ und g(x) = 4x² + 3. Ideal für Studierende, die ihre Kenntnisse in der Differentialrechnung vertiefen möchten.

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Ableitungsregeln: Ketten- und Produktregel

Entdecken Sie die Ketten- und Produktregel der Differentiation mit anschaulichen Beispielen. Diese Zusammenfassung behandelt die Ableitung von Funktionen, einschließlich trigonometrischer Funktionen, und zeigt, wie innere und äußere Ableitungen angewendet werden. Ideal für Studierende, die die Grundlagen der Differenzierung verstehen möchten.

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Ableitungen zusammengesetzter Funktionen

Erfahren Sie, wie Sie zusammengesetzte Funktionen ableiten können, einschließlich der Anwendung der Kettenregel und Produktregel. Diese Zusammenfassung bietet klare Rechenwege und Beispiele zur Differenzierung von Funktionen, die aus mehreren Komponenten bestehen. Ideal für Studierende der Mathematik.

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Ableitungsregeln: Ketten- & Produktregel

Entdecken Sie die Kettenregel und Produktregel der Differentiation. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zur Ableitung verketteter und multiplizierter Funktionen. Ideal für Studierende, die ihre Kenntnisse in der Differentialrechnung vertiefen möchten.

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Ableitungen und Integrale

Entdecken Sie die wichtigsten Konzepte der Ableitung und Integration in der Mathematik für das Abitur. Dieser umfassende Leitfaden behandelt Differenzierungsregeln, Exponential- und Logarithmusfunktionen, die Kettenregel, sowie die Berechnung von Flächeninhalten zwischen Graphen. Ideal für Schüler im Leistungskurs Mathematik (2022).

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Analyse zusammengesetzter Funktionen

Erforschen Sie die Differenzierung zusammengesetzter Funktionen mit Fokus auf Produkt- und Kettenregel. Diese Zusammenfassung behandelt die Ableitung, Nullstellen, Extremstellen und das Grenzwertverhalten von Funktionen. Ideal für Studierende der Differential- und Integralrechnung.

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Ableitungen und Kettenlinien

Diese Zusammenfassung behandelt die Ableitung von Funktionen, einschließlich der Produkt- und Kettenregel. Sie umfasst die Berechnung von Ableitungen, die Analyse von Kettenlinien und die Anwendung auf praktische Probleme wie die Berechnung von Höhen und Winkeln. Ideal für Studierende der Differential- und Integralrechnung.

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Beliebtester Inhalt in Mathe

Quadratische Funktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen quadratischer Funktionen und Parabeln. Lernen Sie, wie man Funktionsgleichungen bestimmt, Nullstellen findet und die verschiedenen Formen (Scheitelpunkt-, allgemeine und faktorisierte Form) anwendet. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse vertiefen möchten.

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Kombinatorik und Wahrscheinlichkeiten

Entdecken Sie die Grundlagen der Stochastik, einschließlich Kombinatorik, Bernoulli-Experimente, bedingte Wahrscheinlichkeiten und die Vierfeldertafel. Erfahren Sie mehr über Histogramme, Erwartungswert und Standardabweichung sowie die Pfadregeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Ideal für Studierende der Statistik und Mathematik.

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Mathematik Abitur Zusammenfassung

Umfassende Zusammenfassung für das Mathematik Abitur, die Analysis, analytische Geometrie und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrationsregeln, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Untersuchung von Funktionen. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.

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Integrationsregeln und Anwendungen

Entdecken Sie die grundlegenden Rechenregeln für unbestimmte und bestimmte Integrale, einschließlich der Potenzregel, Summenregel und Substitutionsregel. Lernen Sie, wie man Stammfunktionen findet und die Fläche unter Graphen mit bestimmten Integralen berechnet. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften.

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Mathe Abi: Analysis, Vektoren, Stochastik

Umfassender Lernzettel für das Abitur in Mathematik, der die Themen Analysis, Vektoren und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrale, Vektorgeometrie, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mehr. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen.

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Integralrechnung Grundlagen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Einführung in die Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter und zwischen Graphen. Er behandelt wichtige Konzepte wie das Integralzeichen, die Bestimmung von Ober- und Untersummen, sowie die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.

MatheMathe
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Potenzfunktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Potenzfunktionen in der Mathematik. Diese Zusammenfassung behandelt die allgemeine Form, Symmetrie, Asymptoten, und die Auswirkungen von Exponenten auf den Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen auffrischen möchten.

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Binomische Formeln verstehen

Entdecke die drei Binomischen Formeln mit detaillierten Erklärungen und Beispielen. Lerne, wie man sie anwendet, um algebraische Ausdrücke zu vereinfachen und zu lösen. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in Algebra vertiefen möchten.

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Bruchrechnung verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Bruchrechnung: Erweitern, Kürzen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Brüchen. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und Erklärungen zu echten, unechten und gleichnamigen Brüchen sowie zu Kehrwerten. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in der Bruchrechnung vertiefen möchten.

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Beliebtester Inhalt

Der zerbrochene Krug: Analyse

Diese umfassende Analyse von 'Der zerbrochene Krug' von Heinrich von Kleist bietet eine detaillierte Kapitelzusammenfassung, Charakterisierungen, historische Kontexte, sowie den Aufbau und die sprachlichen Merkmale des Dramas. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder tiefere Einblicke in Kleists Werk gewinnen möchten.

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Der zerbrochene Krug von Heinrich von Kleist

Hier steht so ziemlich alles drinnen von Zusammenfassungen der einzelnen Auftritte bis hin zu den einzelnen Perosn und noch einiges mehr

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Der zerbrochene Krug

Szenenzusammenfassunfen, Figurenkonstellationen, Aufbau des Stücks, Sprache und Stilbesonderheiten, Aussageabsicht, Thematik, Interpretation

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Abilernzettel Heimsuchung 2025

Figurenkonstellation, Kapitel Zusammenfassung, Charaktere, Motive, Deutungsansätze,

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Inhaltsverzeichnis Heimsuchung Jenny Erpenbeck

Zusammenfassung der Kapitel aus Heimsuchung Q1

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Szenenanalyse Der Zerbrochene Krug

Szenenanalyse behandelt einen Ausschnitt aus dem 7. Auftritt (S.29-31 V.498-536) aus dem Lustspiel „Der Zerbrochene Krug“ von Heinrich von Kleist.

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Literarische Erörterung: Der zerbrochene Krug

Literarische Erörterung der Abilektüre mit Auflistung wichtiger Textstellen

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Der zerbrochene Krug Lernzettel & Zusammenfassung

Der zerbrochene Krug, Die wichtigsten Informationen zusammengefasst, Lernzettel

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der zerbrochene Krug übersicht

Mindmap zum zerbrochenem Krug

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

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Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

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Stefan S

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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

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Grundlegende Ableitungsregeln

Differentiation mit mehreren Regeln

 

Mathe

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2.685

•

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Ableitungsregeln: Potenz-, Faktor- und Summenregel erklärt

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Ableitungsregeln sind das Grundhandwerkszeug der Differentialrechnung - ohne sie läuft nichts in der Analysis! Du lernst hier die wichtigsten Regeln, mit denen du fast jede Funktion ableiten kannst, von einfachen Polynomen bis hin zu komplexen verschachtelten Funktionen.

# Ableitungsregeln 6-Arten: # Potenzregel: Der vorhandene Exponert wird als: - Faktor nach vorne gezogen - anschließend um 1 verringert

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Grundlegende Ableitungsregeln

Die Potenzregel ist deine beste Freundin beim Ableiten: Der Exponent wandert als Faktor nach vorne und wird dann um 1 kleiner. Aus f(x)=3x5f(x) = 3x^5 wird also f′(x)=5⋅3x4=15x4f'(x) = 5 \cdot 3x^4 = 15x^4.

Bei der Faktorregel bleiben alle Zahlen vor dem x einfach stehen - nur der Exponent ändert sich. Die Konstantenregel ist noch einfacher: Konstanten wie +7 oder -3 verschwinden komplett beim Ableiten, weil sie die Steigung nicht beeinflussen.

Merktipp: Konstanten verschieben Funktionen nur nach oben oder unten, ändern aber nichts an der Steigung!

Diese drei Regeln reichen schon für die meisten Polynome aus und sind die Basis für alles Weitere.

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Summen-, Produkt- und Kettenregel

Die Summenregel macht's dir leicht: Einfach jeden Term einzeln ableiten und zusammenaddieren. Aus f(x)=3x5−4x2+3f(x) = 3x^5 - 4x^2 + 3 wird f′(x)=15x4−8xf'(x) = 15x^4 - 8x.

Komplizierter wird's bei der Produktregel: Wenn zwei Funktionen multipliziert werden, gilt f′(x)=u′⋅v+u⋅v′f'(x) = u' \cdot v + u \cdot v'. Bei f(x)=x⋅exf(x) = x \cdot e^x erhältst du f′(x)=1⋅ex+x⋅ex=ex(x+1)f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(x+1).

Die Kettenregel brauchst du bei verschachtelten Funktionen wie f(x)=(2x+1)3f(x) = (2x+1)^3. Hier multiplizierst du die äußere Ableitung mit der inneren: f′(x)=3(2x+1)2⋅2=6(2x+1)2f'(x) = 3(2x+1)^2 \cdot 2 = 6(2x+1)^2.

Praxistipp: Erkenne zuerst die Struktur deiner Funktion - ist sie eine Summe, ein Produkt oder verschachtelt?

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Spezielle Ableitungen und Produktregel-Vertiefung

Wurzeln schreibst du am besten als Potenzen um: x=x1/2\sqrt{x} = x^{1/2}, dann wird die Ableitung 12x−1/2\frac{1}{2}x^{-1/2}. Das macht die Potenzregel anwendbar.

Bei der Produktregel musst du aufpassen: f(x)=x2⋅x3f(x) = x^2 \cdot x^3 kannst du entweder zu x5x^5 vereinfachen dann $f'(x) = 5x^4$ oder die Produktregel anwenden. Das Ergebnis ist dasselbe, aber die Vereinfachung ist meist schneller.

Für f(x)=x⋅exf(x) = x \cdot e^x wendest du die Produktregel an: f′(x)=1⋅ex+x⋅ex=ex(x+1)f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(x+1). Die zweite Ableitung wird dann f′′(x)=ex(x+2)f''(x) = e^x(x+2).

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Kettenregel und Exponentialfunktionen

Die Kettenregel ist bei Exponentialfunktionen wie f(x)=e2x+1f(x) = e^{2x+1} unverzichtbar. Du leitest die äußere Funktion ab und multiplizierst mit der Ableitung der inneren Funktion: f′(x)=e2x+1⋅2=2e2x+1f'(x) = e^{2x+1} \cdot 2 = 2e^{2x+1}.

Bei (2x+1)3(2x+1)^3 gehst du genauso vor: äußere Ableitung 3(2x+1)23(2x+1)^2 mal innere Ableitung 22 ergibt 6(2x+1)26(2x+1)^2. Du könntest auch ausmultiplizieren, aber das ist viel aufwendiger.

Negative Exponenten wie bei f(x)=e−2xf(x) = e^{-2x} funktionieren gleich: f′(x)=e−2x⋅(−2)=−2e−2xf'(x) = e^{-2x} \cdot (-2) = -2e^{-2x}. Bei komplexeren Termen wie f(x)=(x3+3x2)⋅e−xf(x) = (x^3 + 3x^2) \cdot e^{-x} kombinierst du Produkt- und Kettenregel.

Erkennungsmerkmal: Siehst du eine Funktion in einer anderen Funktion "versteckt", brauchst du die Kettenregel!

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Höhere Ableitungen und Rekonstruktion

Höhere Ableitungen haben verschiedene Bedeutungen: f′(x)f'(x) zeigt die Steigung, f′′(x)f''(x) die Krümmung und Wendestellen, f′′′(x)f'''(x) hilft bei Sattelpunkten. Du wendest einfach die gleichen Regeln mehrmals hintereinander an.

Die Rekonstruktion dreht den Spieß um: Aus gegebenen Informationen wie Punkten und Steigungen baust du die ursprüngliche Funktion auf. Bei f(x)=a⋅ebxf(x) = a \cdot e^{bx} mit Punkt P(2|e) und Steigung m=1 an der Stelle x=2 setzt du die Bedingungen in die Funktion und ihre Ableitung ein.

Du erhältst dann ein Gleichungssystem: f(2)=ef(2) = e und f′(2)=1f'(2) = 1. Mit f′(x)=ab⋅ebxf'(x) = ab \cdot e^{bx} kannst du a und b bestimmen.

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Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen

Entdecken Sie die Methoden zur Lösung von Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen. Diese Zusammenfassung behandelt den Ablauf zur Bestimmung von Maxima und Minima, inklusive Beispiele für Körper, Funktionen und Integrale. Ideal für Studierende, die sich auf Klausuren vorbereiten und ein tiefes Verständnis für die Anwendung der Differenzialrechnung entwickeln möchten.

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Beliebtester Inhalt: Differentiation mit mehreren Regeln

Differenzierungsregeln: Produkt & Kette

Erlernen Sie die Anwendung der Produkt- und Kettenregel zur Ableitung zusammengesetzter Funktionen. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und Schritt-für-Schritt-Anleitungen zur Differenzierung von Funktionen wie f(x) = x³ und g(x) = 4x² + 3. Ideal für Studierende, die ihre Kenntnisse in der Differentialrechnung vertiefen möchten.

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Ableitungsregeln: Ketten- und Produktregel

Entdecken Sie die Ketten- und Produktregel der Differentiation mit anschaulichen Beispielen. Diese Zusammenfassung behandelt die Ableitung von Funktionen, einschließlich trigonometrischer Funktionen, und zeigt, wie innere und äußere Ableitungen angewendet werden. Ideal für Studierende, die die Grundlagen der Differenzierung verstehen möchten.

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Ableitungen zusammengesetzter Funktionen

Erfahren Sie, wie Sie zusammengesetzte Funktionen ableiten können, einschließlich der Anwendung der Kettenregel und Produktregel. Diese Zusammenfassung bietet klare Rechenwege und Beispiele zur Differenzierung von Funktionen, die aus mehreren Komponenten bestehen. Ideal für Studierende der Mathematik.

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Ableitungsregeln: Ketten- & Produktregel

Entdecken Sie die Kettenregel und Produktregel der Differentiation. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zur Ableitung verketteter und multiplizierter Funktionen. Ideal für Studierende, die ihre Kenntnisse in der Differentialrechnung vertiefen möchten.

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Ableitungen und Integrale

Entdecken Sie die wichtigsten Konzepte der Ableitung und Integration in der Mathematik für das Abitur. Dieser umfassende Leitfaden behandelt Differenzierungsregeln, Exponential- und Logarithmusfunktionen, die Kettenregel, sowie die Berechnung von Flächeninhalten zwischen Graphen. Ideal für Schüler im Leistungskurs Mathematik (2022).

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Analyse zusammengesetzter Funktionen

Erforschen Sie die Differenzierung zusammengesetzter Funktionen mit Fokus auf Produkt- und Kettenregel. Diese Zusammenfassung behandelt die Ableitung, Nullstellen, Extremstellen und das Grenzwertverhalten von Funktionen. Ideal für Studierende der Differential- und Integralrechnung.

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Ableitungen und Kettenlinien

Diese Zusammenfassung behandelt die Ableitung von Funktionen, einschließlich der Produkt- und Kettenregel. Sie umfasst die Berechnung von Ableitungen, die Analyse von Kettenlinien und die Anwendung auf praktische Probleme wie die Berechnung von Höhen und Winkeln. Ideal für Studierende der Differential- und Integralrechnung.

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Beliebtester Inhalt in Mathe

Quadratische Funktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen quadratischer Funktionen und Parabeln. Lernen Sie, wie man Funktionsgleichungen bestimmt, Nullstellen findet und die verschiedenen Formen (Scheitelpunkt-, allgemeine und faktorisierte Form) anwendet. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse vertiefen möchten.

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Kombinatorik und Wahrscheinlichkeiten

Entdecken Sie die Grundlagen der Stochastik, einschließlich Kombinatorik, Bernoulli-Experimente, bedingte Wahrscheinlichkeiten und die Vierfeldertafel. Erfahren Sie mehr über Histogramme, Erwartungswert und Standardabweichung sowie die Pfadregeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Ideal für Studierende der Statistik und Mathematik.

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Mathematik Abitur Zusammenfassung

Umfassende Zusammenfassung für das Mathematik Abitur, die Analysis, analytische Geometrie und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrationsregeln, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Untersuchung von Funktionen. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.

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Integrationsregeln und Anwendungen

Entdecken Sie die grundlegenden Rechenregeln für unbestimmte und bestimmte Integrale, einschließlich der Potenzregel, Summenregel und Substitutionsregel. Lernen Sie, wie man Stammfunktionen findet und die Fläche unter Graphen mit bestimmten Integralen berechnet. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften.

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Mathe Abi: Analysis, Vektoren, Stochastik

Umfassender Lernzettel für das Abitur in Mathematik, der die Themen Analysis, Vektoren und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrale, Vektorgeometrie, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mehr. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen.

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Integralrechnung Grundlagen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Einführung in die Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter und zwischen Graphen. Er behandelt wichtige Konzepte wie das Integralzeichen, die Bestimmung von Ober- und Untersummen, sowie die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.

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Potenzfunktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Potenzfunktionen in der Mathematik. Diese Zusammenfassung behandelt die allgemeine Form, Symmetrie, Asymptoten, und die Auswirkungen von Exponenten auf den Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen auffrischen möchten.

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Binomische Formeln verstehen

Entdecke die drei Binomischen Formeln mit detaillierten Erklärungen und Beispielen. Lerne, wie man sie anwendet, um algebraische Ausdrücke zu vereinfachen und zu lösen. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in Algebra vertiefen möchten.

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Bruchrechnung verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Bruchrechnung: Erweitern, Kürzen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Brüchen. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und Erklärungen zu echten, unechten und gleichnamigen Brüchen sowie zu Kehrwerten. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in der Bruchrechnung vertiefen möchten.

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Beliebtester Inhalt

Der zerbrochene Krug: Analyse

Diese umfassende Analyse von 'Der zerbrochene Krug' von Heinrich von Kleist bietet eine detaillierte Kapitelzusammenfassung, Charakterisierungen, historische Kontexte, sowie den Aufbau und die sprachlichen Merkmale des Dramas. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder tiefere Einblicke in Kleists Werk gewinnen möchten.

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Der zerbrochene Krug von Heinrich von Kleist

Hier steht so ziemlich alles drinnen von Zusammenfassungen der einzelnen Auftritte bis hin zu den einzelnen Perosn und noch einiges mehr

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Der zerbrochene Krug

Szenenzusammenfassunfen, Figurenkonstellationen, Aufbau des Stücks, Sprache und Stilbesonderheiten, Aussageabsicht, Thematik, Interpretation

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Abilernzettel Heimsuchung 2025

Figurenkonstellation, Kapitel Zusammenfassung, Charaktere, Motive, Deutungsansätze,

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Inhaltsverzeichnis Heimsuchung Jenny Erpenbeck

Zusammenfassung der Kapitel aus Heimsuchung Q1

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Szenenanalyse Der Zerbrochene Krug

Szenenanalyse behandelt einen Ausschnitt aus dem 7. Auftritt (S.29-31 V.498-536) aus dem Lustspiel „Der Zerbrochene Krug“ von Heinrich von Kleist.

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Literarische Erörterung: Der zerbrochene Krug

Literarische Erörterung der Abilektüre mit Auflistung wichtiger Textstellen

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Der zerbrochene Krug Lernzettel & Zusammenfassung

Der zerbrochene Krug, Die wichtigsten Informationen zusammengefasst, Lernzettel

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der zerbrochene Krug übersicht

Mindmap zum zerbrochenem Krug

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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

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Stefan S

iOS-Nutzer

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Anna

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Thomas R

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Basil

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David K

iOS-Nutzer

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Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Xander S

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Elisha

iOS-Nutzer

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Paul T

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