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Mathematik

Stetigkeit und Unstetigkeiten von Funktionen

Differenzierbarkeit

MatheMathe989 aufrufe·Aktualisiert 4. Juli 2026·6 Seiten

Abschnittsweise definierte Funktionen – Grundlagen, Stetigkeit und Differenzierbarkeit

M
mara@xmqra

Abschnittsweise definierte Funktionen sind wie mathematische Chamäleons - sie wechseln...

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# Abschnittsweise definierte Funktioner Bsp. $f(x)=\begin{cases} \frac{1}{3}x^3, x \geq 0 \rightarrow f(x) = \frac{1}{3}x^3 \\- \frac{1}{4}

Abschnittsweise definierte Funktionen

Stell dir vor, du klebst zwei verschiedene Funktionen zusammen - das Ergebnis sollte wie aus einem Guss aussehen! Abschnittsweise definierte Funktionen bestehen aus mehreren Teilfunktionen, die in verschiedenen Bereichen gelten.

Für einen perfekten Übergang an der Stelle x₀ müssen drei Bedingungen erfüllt sein. Sprungfrei bedeutet, dass beide Funktionen denselben y-Wert haben: f(x₀) = g(x₀). Knickfrei heißt, dass die Steigungen übereinstimmen: f'(x₀) = g'(x₀).

Krümmungsruckfrei ist der Übergang, wenn auch die zweiten Ableitungen gleich sind: f''(x₀) = g''(x₀). Erfüllst du alle drei Bedingungen, sieht der Übergang absolut natürlich aus - wie eine einzige, glatte Kurve.

Merktipp: Sprung-, knick- und krümmungsruckfrei = drei Gleichungen für Funktion, erste und zweite Ableitung!

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# Abschnittsweise definierte Funktioner Bsp. $f(x)=\begin{cases} \frac{1}{3}x^3, x \geq 0 \rightarrow f(x) = \frac{1}{3}x^3 \\- \frac{1}{4}

Praktisches Beispiel: Quadratische Anschlussfunktion

Hier siehst du, wie's in der Praxis funktioniert! Du hast fxx = ⅓x³ und suchst eine quadratische Funktion gxx = ax² + bx + c, die bei x₀ = 1 perfekt anschließt.

Zuerst berechnest du die Ableitungen: f'xx = x² und f''xx = 2x sowie g'xx = 2ax + b und g''xx = 2a. Dann stellst du deine drei Gleichungen auf und löst das Gleichungssystem.

Das Ergebnis: gxx = x² - x + ⅓. Diese Funktion schließt an der Stelle x = 1 so glatt an die ursprüngliche Funktion an, dass kein Unterschied sichtbar ist.

Praxistipp: Bei quadratischen Anschlussfunktionen hast du genau drei Parameter (a, b, c) für drei Bedingungen - das passt perfekt!

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# Abschnittsweise definierte Funktioner Bsp. $f(x)=\begin{cases} \frac{1}{3}x^3, x \geq 0 \rightarrow f(x) = \frac{1}{3}x^3 \\- \frac{1}{4}

Stetigkeit verstehen

Stetigkeit ist eigentlich ganz einfach: Du kannst die Funktion zeichnen, ohne den Stift abzusetzen! Formal bedeutet das: Der Funktionswert f(x₀) muss gleich dem Grenzwert an dieser Stelle sein.

Damit eine Funktion an einer Stelle stetig ist, müssen der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert existieren und übereinstimmen. Außerdem muss der Funktionswert selbst existieren.

Ein klassisches Beispiel für eine behebbare Unstetigkeitsstelle ist fxx = x−3x-3²/x−3x-3 + 3. Bei x = 3 ist eine Lücke, aber die Funktion lässt sich zu fxx = x vereinfachen - die Lücke wäre "heilbar".

Eselsbrücke: Stetig = Stift bleibt auf dem Papier. Keine Sprünge, keine Löcher, keine senkrechten Linien!

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# Abschnittsweise definierte Funktioner Bsp. $f(x)=\begin{cases} \frac{1}{3}x^3, x \geq 0 \rightarrow f(x) = \frac{1}{3}x^3 \\- \frac{1}{4}

Unstetigkeitsstellen erkennen

Nicht alle Funktionen sind überall stetig - manche haben Sprünge oder Polstellen. Bei Polstellen (wie 1/x bei x = 0) existiert weder der Funktionswert noch die Grenzwerte, weil die Funktion gegen unendlich läuft.

Bei Sprungstellen existieren zwar links- und rechtsseitige Grenzwerte, aber sie stimmen nicht überein. Ein typisches Beispiel: fxx = x für x ≤ 1 und fxx = -2 für x > 1.

An der Stelle x = 1 springt die Funktion von 1 auf -2. Der linksseitige Grenzwert ist 1, der rechtsseitige -2 - sie stimmen nicht überein, also ist die Funktion dort unstetig.

Wichtig: Auch wenn der Funktionswert existiert, kann eine Funktion unstetig sein, wenn die Grenzwerte nicht passen!

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# Abschnittsweise definierte Funktioner Bsp. $f(x)=\begin{cases} \frac{1}{3}x^3, x \geq 0 \rightarrow f(x) = \frac{1}{3}x^3 \\- \frac{1}{4}

Differenzierbarkeit

Eine Funktion ist differenzierbar, wenn die Ableitung an dieser Stelle existiert - anschaulich bedeutet das: Die Tangente ist eindeutig bestimmbar. Bei Knicken oder Spitzen ist das nicht möglich.

Das klassische Beispiel ist die Betragsfunktion |x|. Bei x = 0 hat sie einen Knick - von links kommend ist die Steigung -1, von rechts +1. Da die Steigungen nicht übereinstimmen, ist sie dort nicht differenzierbar.

Ein wichtiger Zusammenhang: Jede differenzierbare Funktion ist auch stetig, aber nicht umgekehrt! Du kannst also stetig sein ohne differenzierbar zu sein, aber nicht differenzierbar ohne stetig zu sein.

Faustregel: Knicke und Spitzen = nicht differenzierbar. Glatte Kurven = meist differenzierbar!

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# Abschnittsweise definierte Funktioner Bsp. $f(x)=\begin{cases} \frac{1}{3}x^3, x \geq 0 \rightarrow f(x) = \frac{1}{3}x^3 \\- \frac{1}{4}

Trassierung in der Praxis

Trassierung ist wie Puzzleteile zusammenfügen - du konstruierst eine Funktion, die durch bestimmte Punkte läuft und vorgegebene Steigungen hat. Meist verwendest du kubische Funktionen fxx = ax³ + bx² + cx + d.

Mit vier Parametern (a, b, c, d) kannst du vier Bedingungen erfüllen: zwei Punkte plus zwei Steigungen. Das ergibt ein Gleichungssystem, das du mit dem Taschenrechner lösen kannst.

Im Beispiel führen die Bedingungen f−2-2 = 2, f(2) = 0, f'−2-2 = -½ und f(1) = 2 zur Lösung fxx = -⅙x³ - ½x² + ⅙x + 13/3. Diese Funktion erfüllt alle vorgegebenen Bedingungen perfekt.

Tipp: Taschenrechner-Matrix spart Zeit! Vier Gleichungen mit vier Unbekannten händisch zu lösen ist mühsam.

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Differenzierbarkeit

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Abschnittsweise definierte Funktionen – Grundlagen, Stetigkeit und Differenzierbarkeit

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mara@xmqra

Abschnittsweise definierte Funktionen sind wie mathematische Chamäleons - sie wechseln ihre Form je nach Bereich, bleiben aber trotzdem eine zusammenhängende Funktion. Du lernst hier, wie solche Funktionen nahtlos ineinander übergehen und wann sie stetig oder differenzierbar sind.

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# Abschnittsweise definierte Funktioner Bsp. $f(x)=\begin{cases} \frac{1}{3}x^3, x \geq 0 \rightarrow f(x) = \frac{1}{3}x^3 \\- \frac{1}{4}

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Merktipp: Sprung-, knick- und krümmungsruckfrei = drei Gleichungen für Funktion, erste und zweite Ableitung!

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# Abschnittsweise definierte Funktioner Bsp. $f(x)=\begin{cases} \frac{1}{3}x^3, x \geq 0 \rightarrow f(x) = \frac{1}{3}x^3 \\- \frac{1}{4}

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Praktisches Beispiel: Quadratische Anschlussfunktion

Hier siehst du, wie's in der Praxis funktioniert! Du hast fxx = ⅓x³ und suchst eine quadratische Funktion gxx = ax² + bx + c, die bei x₀ = 1 perfekt anschließt.

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Das Ergebnis: gxx = x² - x + ⅓. Diese Funktion schließt an der Stelle x = 1 so glatt an die ursprüngliche Funktion an, dass kein Unterschied sichtbar ist.

Praxistipp: Bei quadratischen Anschlussfunktionen hast du genau drei Parameter (a, b, c) für drei Bedingungen - das passt perfekt!

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Stetigkeit ist eigentlich ganz einfach: Du kannst die Funktion zeichnen, ohne den Stift abzusetzen! Formal bedeutet das: Der Funktionswert f(x₀) muss gleich dem Grenzwert an dieser Stelle sein.

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Nicht alle Funktionen sind überall stetig - manche haben Sprünge oder Polstellen. Bei Polstellen (wie 1/x bei x = 0) existiert weder der Funktionswert noch die Grenzwerte, weil die Funktion gegen unendlich läuft.

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Differenzierbarkeit

Eine Funktion ist differenzierbar, wenn die Ableitung an dieser Stelle existiert - anschaulich bedeutet das: Die Tangente ist eindeutig bestimmbar. Bei Knicken oder Spitzen ist das nicht möglich.

Das klassische Beispiel ist die Betragsfunktion |x|. Bei x = 0 hat sie einen Knick - von links kommend ist die Steigung -1, von rechts +1. Da die Steigungen nicht übereinstimmen, ist sie dort nicht differenzierbar.

Ein wichtiger Zusammenhang: Jede differenzierbare Funktion ist auch stetig, aber nicht umgekehrt! Du kannst also stetig sein ohne differenzierbar zu sein, aber nicht differenzierbar ohne stetig zu sein.

Faustregel: Knicke und Spitzen = nicht differenzierbar. Glatte Kurven = meist differenzierbar!

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# Abschnittsweise definierte Funktioner Bsp. $f(x)=\begin{cases} \frac{1}{3}x^3, x \geq 0 \rightarrow f(x) = \frac{1}{3}x^3 \\- \frac{1}{4}

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