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mara
21.11.2025
Mathe
Abschnittsweise definierte Funktionen (Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Trassierung)
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21. Nov. 2025
•
mara
@xmqra
Abschnittsweise definierte Funktionen sind wie mathematische Chamäleons - sie wechseln... Mehr anzeigen
Stell dir vor, du klebst zwei verschiedene Funktionen zusammen - das Ergebnis sollte wie aus einem Guss aussehen! Abschnittsweise definierte Funktionen bestehen aus mehreren Teilfunktionen, die in verschiedenen Bereichen gelten.
Für einen perfekten Übergang an der Stelle x₀ müssen drei Bedingungen erfüllt sein. Sprungfrei bedeutet, dass beide Funktionen denselben y-Wert haben: f(x₀) = g(x₀). Knickfrei heißt, dass die Steigungen übereinstimmen: f'(x₀) = g'(x₀).
Krümmungsruckfrei ist der Übergang, wenn auch die zweiten Ableitungen gleich sind: f''(x₀) = g''(x₀). Erfüllst du alle drei Bedingungen, sieht der Übergang absolut natürlich aus - wie eine einzige, glatte Kurve.
Merktipp: Sprung-, knick- und krümmungsruckfrei = drei Gleichungen für Funktion, erste und zweite Ableitung!
Hier siehst du, wie's in der Praxis funktioniert! Du hast f(x) = ⅓x³ und suchst eine quadratische Funktion g(x) = ax² + bx + c, die bei x₀ = 1 perfekt anschließt.
Zuerst berechnest du die Ableitungen: f'(x) = x² und f''(x) = 2x sowie g'(x) = 2ax + b und g''(x) = 2a. Dann stellst du deine drei Gleichungen auf und löst das Gleichungssystem.
Das Ergebnis: g(x) = x² - x + ⅓. Diese Funktion schließt an der Stelle x = 1 so glatt an die ursprüngliche Funktion an, dass kein Unterschied sichtbar ist.
Praxistipp: Bei quadratischen Anschlussfunktionen hast du genau drei Parameter (a, b, c) für drei Bedingungen - das passt perfekt!
Stetigkeit ist eigentlich ganz einfach: Du kannst die Funktion zeichnen, ohne den Stift abzusetzen! Formal bedeutet das: Der Funktionswert f(x₀) muss gleich dem Grenzwert an dieser Stelle sein.
Damit eine Funktion an einer Stelle stetig ist, müssen der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert existieren und übereinstimmen. Außerdem muss der Funktionswert selbst existieren.
Ein klassisches Beispiel für eine behebbare Unstetigkeitsstelle ist f(x) = ²/ + 3. Bei x = 3 ist eine Lücke, aber die Funktion lässt sich zu f(x) = x vereinfachen - die Lücke wäre "heilbar".
Eselsbrücke: Stetig = Stift bleibt auf dem Papier. Keine Sprünge, keine Löcher, keine senkrechten Linien!
Nicht alle Funktionen sind überall stetig - manche haben Sprünge oder Polstellen. Bei Polstellen existiert weder der Funktionswert noch die Grenzwerte, weil die Funktion gegen unendlich läuft.
Bei Sprungstellen existieren zwar links- und rechtsseitige Grenzwerte, aber sie stimmen nicht überein. Ein typisches Beispiel: f(x) = x für x ≤ 1 und f(x) = -2 für x > 1.
An der Stelle x = 1 springt die Funktion von 1 auf -2. Der linksseitige Grenzwert ist 1, der rechtsseitige -2 - sie stimmen nicht überein, also ist die Funktion dort unstetig.
Wichtig: Auch wenn der Funktionswert existiert, kann eine Funktion unstetig sein, wenn die Grenzwerte nicht passen!
Eine Funktion ist differenzierbar, wenn die Ableitung an dieser Stelle existiert - anschaulich bedeutet das: Die Tangente ist eindeutig bestimmbar. Bei Knicken oder Spitzen ist das nicht möglich.
Das klassische Beispiel ist die Betragsfunktion |x|. Bei x = 0 hat sie einen Knick - von links kommend ist die Steigung -1, von rechts +1. Da die Steigungen nicht übereinstimmen, ist sie dort nicht differenzierbar.
Ein wichtiger Zusammenhang: Jede differenzierbare Funktion ist auch stetig, aber nicht umgekehrt! Du kannst also stetig sein ohne differenzierbar zu sein, aber nicht differenzierbar ohne stetig zu sein.
Faustregel: Knicke und Spitzen = nicht differenzierbar. Glatte Kurven = meist differenzierbar!
Trassierung ist wie Puzzleteile zusammenfügen - du konstruierst eine Funktion, die durch bestimmte Punkte läuft und vorgegebene Steigungen hat. Meist verwendest du kubische Funktionen f(x) = ax³ + bx² + cx + d.
Mit vier Parametern (a, b, c, d) kannst du vier Bedingungen erfüllen: zwei Punkte plus zwei Steigungen. Das ergibt ein Gleichungssystem, das du mit dem Taschenrechner lösen kannst.
Im Beispiel führen die Bedingungen f(-2) = 2, f(2) = 0, f'(-2) = -½ und f(1) = 2 zur Lösung f(x) = -⅙x³ - ½x² + ⅙x + 13/3. Diese Funktion erfüllt alle vorgegebenen Bedingungen perfekt.
Tipp: Taschenrechner-Matrix spart Zeit! Vier Gleichungen mit vier Unbekannten händisch zu lösen ist mühsam.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Samantha Klich
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Timo S
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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mara
@xmqra
Abschnittsweise definierte Funktionen sind wie mathematische Chamäleons - sie wechseln ihre Form je nach Bereich, bleiben aber trotzdem eine zusammenhängende Funktion. Du lernst hier, wie solche Funktionen nahtlos ineinander übergehen und wann sie stetig oder differenzierbar sind.
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Für einen perfekten Übergang an der Stelle x₀ müssen drei Bedingungen erfüllt sein. Sprungfrei bedeutet, dass beide Funktionen denselben y-Wert haben: f(x₀) = g(x₀). Knickfrei heißt, dass die Steigungen übereinstimmen: f'(x₀) = g'(x₀).
Krümmungsruckfrei ist der Übergang, wenn auch die zweiten Ableitungen gleich sind: f''(x₀) = g''(x₀). Erfüllst du alle drei Bedingungen, sieht der Übergang absolut natürlich aus - wie eine einzige, glatte Kurve.
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Hier siehst du, wie's in der Praxis funktioniert! Du hast f(x) = ⅓x³ und suchst eine quadratische Funktion g(x) = ax² + bx + c, die bei x₀ = 1 perfekt anschließt.
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Das Ergebnis: g(x) = x² - x + ⅓. Diese Funktion schließt an der Stelle x = 1 so glatt an die ursprüngliche Funktion an, dass kein Unterschied sichtbar ist.
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Stetigkeit ist eigentlich ganz einfach: Du kannst die Funktion zeichnen, ohne den Stift abzusetzen! Formal bedeutet das: Der Funktionswert f(x₀) muss gleich dem Grenzwert an dieser Stelle sein.
Damit eine Funktion an einer Stelle stetig ist, müssen der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert existieren und übereinstimmen. Außerdem muss der Funktionswert selbst existieren.
Ein klassisches Beispiel für eine behebbare Unstetigkeitsstelle ist f(x) = ²/ + 3. Bei x = 3 ist eine Lücke, aber die Funktion lässt sich zu f(x) = x vereinfachen - die Lücke wäre "heilbar".
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Bei Sprungstellen existieren zwar links- und rechtsseitige Grenzwerte, aber sie stimmen nicht überein. Ein typisches Beispiel: f(x) = x für x ≤ 1 und f(x) = -2 für x > 1.
An der Stelle x = 1 springt die Funktion von 1 auf -2. Der linksseitige Grenzwert ist 1, der rechtsseitige -2 - sie stimmen nicht überein, also ist die Funktion dort unstetig.
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Eine Funktion ist differenzierbar, wenn die Ableitung an dieser Stelle existiert - anschaulich bedeutet das: Die Tangente ist eindeutig bestimmbar. Bei Knicken oder Spitzen ist das nicht möglich.
Das klassische Beispiel ist die Betragsfunktion |x|. Bei x = 0 hat sie einen Knick - von links kommend ist die Steigung -1, von rechts +1. Da die Steigungen nicht übereinstimmen, ist sie dort nicht differenzierbar.
Ein wichtiger Zusammenhang: Jede differenzierbare Funktion ist auch stetig, aber nicht umgekehrt! Du kannst also stetig sein ohne differenzierbar zu sein, aber nicht differenzierbar ohne stetig zu sein.
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Mit vier Parametern (a, b, c, d) kannst du vier Bedingungen erfüllen: zwei Punkte plus zwei Steigungen. Das ergibt ein Gleichungssystem, das du mit dem Taschenrechner lösen kannst.
Im Beispiel führen die Bedingungen f(-2) = 2, f(2) = 0, f'(-2) = -½ und f(1) = 2 zur Lösung f(x) = -⅙x³ - ½x² + ⅙x + 13/3. Diese Funktion erfüllt alle vorgegebenen Bedingungen perfekt.
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Smarte Tools NEU
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Erlerne die Schritte zur Bestimmung von Funktionsgleichungen für verschiedene Bedingungen. Diese Zusammenfassung behandelt die allgemeine Form von Funktionen, Ableitungen, das Aufstellen und Lösen linearer Gleichungssysteme sowie die Anwendung von Regression zur Lösung von Wertetabellen. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Fähigkeiten im Umgang mit Funktionen und deren Eigenschaften verbessern möchten.
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MatheDieser Lernzettel behandelt die Bestimmung ganzrationaler Funktionen 3. und 4. Grades. Er umfasst die allgemeine Funktionsgleichung, Ableitungen, Bedingungen für Hoch- und Tiefpunkte sowie die Lösung von linearen Gleichungssystemen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheDieser Lernzettel bietet eine umfassende Erklärung zur Verkettung von Funktionen, einschließlich detaillierter Beispiele und Anwendung der binomischen Formeln. Erlerne die Grundlagen der Funktionalität und die Schritte zur Vereinfachung zusammengesetzter Funktionen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Funktionalität vertiefen möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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